Démonstrations mathématiques

Calcul algébrique usuel

• Propriétés des fractions \( : \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc \)

• Propriétés des puissances de x (pour des exposants naturels) \( : x^a x^b = x^{a+b}\)

Binômes

• Binôme de Newton \( : (a + b)^n = \sum \binom{n}{p} a^{n-p}b^p \)

• Identité géométrique \( : a^n - b^n = (a-b) \sum a^{n-p-1}b^p \)

• Propriétés du binôme \( : \binom{n}{p} = \binom{n -1}{p -1 } + \binom{n - 1}{p} \)

Combinatoire et dénombrement

• Formules de combinatoire et dénombrement \( : \binom{n}{p} = \frac{n!}{p! (n-p)!} \)

Algèbre linéaire

• Propriétés des matrices \( : (A \times B)_{i,j} = \sum a_{i,k} \times b_{k,j} \)

Géométrie du triangle

• Théorème de Pythagore et sa réciproque \( : a \perp b \Longleftrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \)

• Théorème de Thalès et sa réciproque \( : BC \parallel DE \Longleftrightarrow \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \)

• Lois géométriques du triangle \( : S_{abc} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

• Similarité de deux triangles

Géométrie du cercle

• Triangle rectangle inscrit dans le cercle

• Calcul de Pi \( (\pi)\) par méthode géométrique

• Puissance d'un point par rapport à un cercle \( : \overline{OA} \times \overline{OB} = \overline{OC} \times \overline{OD} \)

Espace et vecteurs

• Calculs de surfaces et de volumes par intégration \(: S_{sphere} = 4\pi R^2 \)

• Propriétés du produit scalaire \( : \vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times cos(\vec{u}, \vec{v})\)

• Propriétés du produit vectoriel \( : || \vec{u} \land \vec{v} || = || \vec{u}|| \times || \vec{v}|| \times sin(\vec{u}, \vec{v}) \)

• Géométrie analytique dans l'espace \( : M \in \mathcal{P}(A, \vec{n}) \hspace{0.1em} \Longleftrightarrow \hspace{0.1em} ax + by + cz + d = 0 \)

Trigonométrie

• Formules de duplications/additions trigonométriques \( : sin(2\alpha), \ sin(\alpha + \beta)... \)

• Formules trigonométriques d'Euler \( : e^{ix} = cos(x) + i.sin(x) \)

Nombres complexes

• Propriétés de nombres complexes \(: arg(z^n) = n . arg(z) \)

• Formule de Moivre \( : \Bigl[cos(\theta) + i \hspace{0.2em} sin(\theta)\Bigr]^n = cos(n\theta) + i \hspace{0.2em} sin(n\theta) \)

Fonctions usuelles

• Fonctions logarithme et exponentielle \( : ln(ab) = ln(a) + ln(b) \)

Polynômes et équations

• Résolution d'équations du second degré \( : P_2(X) = aX^2 + bX + c = 0\)

• Résolution d'équations du troisième degré \( : P_3(X) = aX^3 + bX^2 + cX + d = 0\)

• Interpolation polynomiale Langrangienne \( : L(X) = y_0 L_0(X) + y_1 L_1(X) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} y_n L_n(X) \)

Calcul différentiel

• Règle de L'Hôpital \( : \enspace \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} \)

• Dérivabilité \(: f'(x) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

• Dérivées des fonctions usuelles \(: (x^n)' = nx^{n - 1} \)

• Dérivées des fonctions trigonométriques \( : arcsin(x)' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)

• Dérivées d'opérations sur les fonctions \( : (f \circ g)' = g'(f' \circ g) \)

Étude de fonctions

• Convexité \( : f \enspace convexe \enspace sur \enspace I \Longleftrightarrow f(x) \geqslant f'(a)(x - a) + f(a) \)

• Théorème des accroissements finis \( : \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} \)

• Méthode de Newton : une méthode pour approximer la valeur d'un nombre \( : a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} \)

• Longueur d'une courbe sur un intervalle \( : {\displaystyle L_{\bigl[a, b \bigr]}(f) \approx \int_a^b \sqrt{1 + \bigl[f'(t)\bigr]^2} \ dt} \)

Calcul intégral

• Propriétés de l'intégrale \(: {\displaystyle \int^x } \bigl(\lambda f + \mu g \bigr) \ dt = \lambda {\displaystyle \int^x } f \ dt + \mu {\displaystyle \int^x } g \ dt \)

• Lien entre intégrales et primitives \( : F(x) = F(a) + {\displaystyle \int_a^x } f(t) \ dt \)

• Primitives usuelles et méthodes générales d'intégration \( : {\displaystyle \int_a^b } (f'g) \hspace{0.2em}dt = \Bigl[fg\Bigr]_{a}^b - {\displaystyle \int_a^b } (fg') \hspace{0.2em}dt \)

• Méthodes d'intégration des fractions rationnelles \( : {\displaystyle \int^x } \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \ ln \left| \frac{x-x_1}{x-x_2} \right| \)

• Méthodes d'intégration des fractions rationnelles avec racines carrées \( : {\displaystyle \int^x } \frac{dt}{\sqrt{a^2 + t^2}} = ln \left|\sqrt{ a^2 + x^2 } + x\right| \)

• Primitives des fonctions trigonométriques \( : {\displaystyle \int^x } tan(t) \ dt = - ln|cos(x)| \)

Équations différentielles

• Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 à coefficient continu \( : y' + a(x)y = f(x) \)

• Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 2 à coefficients constants \( : y'' + ay' + by= f(x) \)

• Principe de superposition

Analyse asymptotique

• Formule de Taylor-Young avec reste intégral \( : f_{n,a}(x) = \hspace{0.2em} f(a) + f'(a)(x - a) \hspace{0.2em} + ...\hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} {\displaystyle \int^x } \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^n \hspace{0.2em} dt \)

Suites

• Propriétés des suites numériques \( : {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigl[ u_n \bigr] = l \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^n u_n \right] = l } \)

• La suite de Fibonacci et le nombre d'or \( : F_n = \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}} - \frac{(1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}} \)

Sommes

• Sommes usuelles \( : {\displaystyle \sum_{k = 0}^n} k = \frac{n(n+1)}{2} \)

• Propriétés des sommes \( : {\displaystyle \sum_{k=0}^n \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] = a_{n+1} - a_{0} } \)

Séries

• Critères de convergence des séries \( : {\displaystyle \int_{1}^{n + 1} f(t) \ dt \leqslant \sum_{k = 0}^n f(k) \leqslant \sum_{k = 1}^n \int_{0}^n f(t) \ dt } \)

• Propriétés des séries convergentes \( : {\displaystyle \sum_{k = 0}^{+ \infty} (\lambda \ a_k) = \lambda \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_k } \)

Divisibilité

• Algorithme d'Euclide \( : b \nmid a \Longleftrightarrow a = bq + R \)

• Propriétés de la divisibilité \( : ka/kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/b \)

• Propriétés du PGCD de deux entiers naturels \( : a = bq + R \Longrightarrow PGCD(a, b) = PGCD(b, R) \)

Nombres premiers

• Propriétés des nombres premiers \( : p \nmid a \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 \)

Arithmétique modale

• Propriétés des congruences \( : a \equiv b \hspace{0.2em} \bigl[ n \bigr] \Longleftrightarrow n/(a -b) \)

• Théorème de Bézout et son corollaire \( : a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow au + bv = 1 \)

• Théorème de Gauss et son corollaire \( : a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c \)

• Petit théorème de Fermat et son corollaire \( : a^p \equiv a \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] \)