Le théorème de Gauss et son corollaire

Le théorème de Gauss nous dit que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, $$

$$ (a \mid bc) \text{ et } (a \wedge b = 1) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid c \qquad \bigl(\text{Théorème de Gauss} \bigr) $$

Corollaire du théorème de Gauss

Le corollaire du théorème de Gauss nous dit que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, $$

$$ (a \mid c) \text{ et } (b \mid c), \enspace \text{avec} \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} ab \mid c \qquad \bigl(\text{Théorème de Gauss (corollaire)} \bigr) $$

Démonstration

Théorème de Gauss

Soit $(a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3$ trois entiers relatifs.

Prenons pour hypothèse que $ a \mid bc $ et que $ a $ et $ b $ sont premiers entre eux.

Si : $\Biggl \{ \begin{gather*} a \mid bc \\ a \wedge b = 1 \end{gather*}$

Par le théorème de Bézout , on sait que :

$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, $$

$$ a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$

Alors,

$$ \exists (k, u, v) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, \Biggl \{ \begin{gather*} bc = ka \qquad (1) \\ au + bv = 1 \qquad (2) \end{gather*} $$

Avec $ (2) $, on a :

$$ au + bv = 1$$

$$ acu + bcv = c $$

Or, grâce à $ (1) $, on sait que $ bc = ka $, soit :

$$ acu + kav = c $$

$$ a \underbrace{(cu + kv)} _\text{$ \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z} $} = c $$

On a alors $ a \mid c $.

Soit finalement,

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, $$

$$ (a \mid bc) \text{ et } (a \wedge b = 1) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid c \qquad \bigl(\text{Théorème de Gauss} \bigr) $$

Corollaire du théorème de Gauss

Soit $(a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3$ trois entiers relatifs.

Prenons pour hypothèse que $ a \mid c $, $ b \mid c $ et que $ a $ et $ b $ sont premiers entre eux.

Si : $ \Biggl \{ \begin{gather*} a \mid c \\ b \mid c \end{gather*}$

Alors,

$$ \exists (k, k') \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \Biggl \{ \begin{gather*} c = ka \qquad (1) \\ c = k'b \qquad (2) \end{gather*} $$

Alors, de $ (1) $ et $ (2) $ on tire que :

$$ ka = k'b $$

On a alors $ b \mid ak $, mais $ a \wedge b = 1 $.

Or, par le théorème de Gauss , on a vu plus haut que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, \enspace (a \mid bc) \text{ et } (a \wedge b = 1) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid c $$

D'où l'on peut en conclure que $ b \mid k $, soit que :

$$ \exists K \in \mathbb{Z}, \enspace k = Kb $$

Mais $ c = ka $, soit,

$$ c = Kba $$

On s'aperçoit finalement que $ ab \mid c $.

Soit finalement,

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, $$