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Le théorème de Bézout et son corollaire

Le théorème de Bézout nous dit que :

$$ \Bigl[ \forall (a, b) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \ a \wedge b = 1 \Bigr] \Longleftrightarrow \Bigl[ \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \Bigr] \qquad \bigl(\text{Théorème de Bézout} \bigr) $$

Le corollaire du théorème de Bézout nous dit que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^3, $$
$$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*} \qquad \bigl(\text{Théorème de Bézout (corollaire)} \bigr) $$

On a de même, pour un produit simple :

$$ \forall (a, b, c, d) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^4, $$
$$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} $$

Et on peut ainsi généraliser ce corollaire à tout produit d'entiers relatifs :

$$ \forall (n,m) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2, \ \forall (a_1, a_2,... \ a_n) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^n, \ \forall (b_1, b_2,... \ b_m) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^m, $$
$$ \left[ \ \prod_{i = 1}^n a_i \ \right] \wedge \Biggl[ \ \prod_{j = 1}^m b_j \ \Biggr] = 1 \Longleftrightarrow \forall (i, j) \in [\![1, n ]\!] \times [\![1, m ]\!], \enspace \Bigl \{a_i \wedge b_j = 1 \Bigr \} $$

Démonstration

Théorème de Bézout

Soient \((a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.

  1. Implication de gauche à droite

    Prenons pour hypothèse que \(a \) et \(b \) sont premiers entre eux.

    Autrement dit que,

    $$a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow PGCD(a , b) = 1 $$

    On sait par l'identité de Bézout que :

    $$ \forall (a, b) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2, \enspace a > b, $$
    $$ \delta = a \wedge b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = \delta $$

    Étant donné que nous avons comme hypothèse que \( a \wedge b = 1\), alors :

    $$ \forall (a, b) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$
    $$ a \wedge b = 1 \Longrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$

  2. Réciproque

    Réciproquement, prenons maintenant l'hypothèse que :

    $$\exists (u, v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 $$

    Considérons un diviseur \( d \) commun à \( a \) et à \( b\).

    On sait par les propriétés de la divisibilité que :

    $$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2, \enspace \exists (u , v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$
    $$ a/b \enspace et \enspace a/c \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/(ub + vc) $$

    \( d \) étant un diviseur commun à \( a \) et à \( b\), il divise \( a \), \( b \) ainsi que toute combinaison linéaire de \( a \) et de \( b \).

    $$ d/a \enspace et \enspace d/b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} d/(au + bv) $$

    Or, \(au + bv = 1\), donc \( d / 1\).

    Le seul nombre qui divise \( 1\) est lui-même, alors \( d = 1\).

    C'est le seul diviseur commun à \( a \) et à \( b\), alors \( a \wedge b = 1 \).

    $$ a \wedge b = 1 $$

    Soit,

    $$ \forall (a, b) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, $$
    $$ \exists (u, v) \in\hspace{0.1em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \Longrightarrow a \wedge b = 1 $$

  3. Équivalence

    À partir des deux implications précédentes, il en résulte une équivalence,

    $$ \Bigl[ \forall (a, b) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \ a \wedge b = 1 \Bigr] \Longleftrightarrow \Bigl[ \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = 1 \Bigr] \qquad \bigl(\text{Théorème de Bézout} \bigr) $$

Corollaire du théorème de Bézout

Soient \((a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3 \) trois entiers relatifs.

  1. Implication de gauche à droite

    Si \(a \wedge bc = 1 \), alors avec le théorème de Bézout , on a :

    $$ a \wedge bc = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bcv = 1 $$

    Et dans ce cas :

    $$ au + b (cv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge b = 1 $$
    $$ au + c (bv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge c = 1 $$

    Et finalement,

    $$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.1em}\mathbb{Z}^3, $$
    $$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*} $$

  2. Réciproque

    Si on a : \( \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*}\)

    Alors, toujours avec le théorème de Bézout ,

    $$ \exists (u, v, u', v') \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^4, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} au + bv = 1 \hspace{2.8em} (1) \\ au' + cv' = 1 \qquad (2) \end{gather*} $$

    En effectuant le produit \((1) \times (2) \), on a :

    $$ (au + bv)(au' + cv') = 1 $$
    $$ auau' + aucv' + bvau' + bv cv' = 1 $$
    $$ a \hspace{0.1em} \underbrace { (uau' + ucv' + bvu')} _\text{ \(= \hspace{0.1em} U \)} \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} bc \hspace{0.1em} \underbrace { (vv') } _\text{ \(= \hspace{0.1em} V \)} \hspace{0.1em} = 1 $$
    $$ a U + bcV = 1 \Longleftrightarrow a \wedge bc = 1 , \enspace \text{avec} \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} U = uau' + ucv' + bvu'\\ V = vv' \end{gather*} $$

    Soit,

    $$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.1em}\mathbb{Z}^3, $$
    $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*} \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge bc = 1 $$

  3. Équivalence

    À partir des deux implications précédentes, il en résulte l'équivalence suivante :

    $$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^3, $$
    $$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*} \qquad \bigl(\text{Théorème de Bézout (corollaire)} \bigr) $$

  4. Produit de deux nombres

    1. Implication de gauche à droite

      Si à présent nous prenons comme hypothèse que \(ab \wedge cd = 1 \), alors avec le théorème de Bézout , on a :

      $$ ab \wedge cd = 1 \Longleftrightarrow \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace abu + cdv = 1 $$

      Et dans ce cas, peut réappliquer quatre fois le théorème à partir de cette équivalence :

      $$ \left \{ \begin{gather*} a(bu) + c(dv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge c = 1 \\ a(bu) + d(cv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge d = 1 \\ b(au) + c(dv) = 1 \Longleftrightarrow b \wedge c = 1 \\ b(au) + d(cv) = 1 \Longleftrightarrow b \wedge d = 1 \end{gather*} \right \}$$

      Et finalement,

      $$ \forall (a, b, c, d) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^4, $$
      $$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} $$
    2. Réciproque

      Si l'on repart à présent de l'implication précédente et que l'on tente de vérifer sa réciproque, on a comme hypothèse que :

      $$ \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} $$

      En appliquant le théorème de Bézout , on a :

      $$ \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} \Longleftrightarrow $$
      $$ \exists (u_1, v_1, u_2, v_2, u_3, v_3, u_4, v_4) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^8, \enspace \left \{ \begin{gather*} au_1 + cv_1 = 1 \\ au_2 + dv_2 = 1 \\ bu_3 + cv_3 = 1 \\ bu_4 + dv_4 = 1 \\ \end{gather*} \right \}$$

      En effet, en effectuant la multiplication de ces quatre expressions ensemble :

      $$(au_1 + cv_1)(au_2 + dv_2)(bu_3 + cv_3)( bu_4 + dv_4) = 1 $$

      En distribuant toute cette expression, on obtiendra un arbre de ce type, où chaque terme contiendra soit \(\textcolor{rgb(232 124 124)}{ab}\) soit \(\textcolor{rgb(93 183 129)}{cd}\) :

      $$ \begin{gather*} au_1 \hspace{4em} cv_1 \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.04em} \searrow \hspace{0.04em} \swarrow \hspace{0.04em} \downarrow \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.04em} \swarrow \hspace{0.04em} \searrow \hspace{0.04em} \downarrow \\ au_2 \hspace{4em} dv_2 \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.04em} \searrow \hspace{0.04em} \swarrow \hspace{0.04em} \downarrow \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.04em} \swarrow \hspace{0.04em} \searrow \hspace{0.04em} \downarrow \\ bu_3 \hspace{4em} cv_3 \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.04em} \searrow \hspace{0.04em} \swarrow \hspace{0.04em} \downarrow \\ \hspace{1em} \downarrow \hspace{0.04em} \swarrow \hspace{0.04em} \searrow \hspace{0.04em} \downarrow \\ bu_4 \hspace{4em} dv_4 \\ \end{gather*} $$
      $$ \begin{gather*} \ \ \ \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{a} u_1 au_2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{b} u_3 b u_4 \qquad (1^{\text{ère}} \text{ colonne}) \\ + \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{a} u_1 au_2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{b} u_3 d v_4 \qquad (3 \text{ premiers éléments de la } 1^{\text{ère}} \text{ colonne} - \ 4^{\text{ème}} \text{ élément de la } 2^{\text{nde}}) \\ + \ \textcolor{rgb(232 124 124)}{a} u_1 au_2 c v_3 \textcolor{rgb(232 124 124)}{b} u_4 \qquad (2 \text{ premiers éléments de la } 1^{\text{ère}} \text{ colonne} - \ 3^{\text{ème}} \text{ élément de la } 2^{\text{nde}} - \ 4^{\text{ème}} \text{ élément de la } 1^{\text{ère}} ) \\ + \ ... \\ + \ \textcolor{rgb(93 183 129)}{c} v_1 \textcolor{rgb(93 183 129)}{d} v_1 b u_3 dv_4 \qquad (2 \text{ premiers éléments de la } 2^{\text{nde}} \text{ colonne} - \ 3^{\text{ème}} \text{ élément de la } 1^{\text{ère}} - \ 4^{\text{ème}} \text{ élément de la } 2^{\text{nde}} ) \\ + \ \textcolor{rgb(93 183 129)}{c} v_1 \textcolor{rgb(93 183 129)}{d} v_1 cv_3 b u_4 \qquad (3 \text{ premiers éléments de la } 2^{\text{nde}} \text{ colonne} - \ 4^{\text{ème}} \text{ élément de la } 1^{\text{ère}}) \\ + \ \textcolor{rgb(93 183 129)}{c} v_1 \textcolor{rgb(93 183 129)}{d} v_1 cv_3 dv_4 \qquad (2^{\text{nde}} \text{ colonne}) \\ \end{gather*} $$

      tel que, après avoir regroupé tous les termes selon \(ab\) ou \(cd\) : \(\exists (U, V) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2, \ abU + cdV = 1\).

      En effet, pour démontrer plus simplement que tous les chemins possibles des suites de multiplications contiendront au moins une fois \(\textcolor{rgb(232 124 124)}{ab}\) ou \(\textcolor{rgb(93 183 129)}{cd}\), on peut utiliser les règles de logique booléennes :

      Avec le schéma ci-dessus montrant tous les chemins possibles, on voit que \(\mathbb{E}\), l'ensemble des chemins possibles vaut :

      $$ \mathbb{E} = (a \lor c) \land (a \lor d) \land (b \lor c) \land (b \lor d) $$

      Les expressions \(\lor\) et \(\land\) étant associatives, on peut écrire :

      $$ \mathbb{E} = \Bigl[ (a \lor c) \land (a \lor d) \Bigr] \land \Bigl[ (b \lor c) \land (b \lor d) \Bigr] $$

      On factorise maintenant les deux expressions entre crochets :

      $$ \mathbb{E} = \Bigl[ a \lor (c \land d) \Bigr] \land \Bigl[ b \lor (c \land d) \Bigr] $$

      On factorise une deuxième fois :

      $$ \mathbb{E} = ( a \land b ) \land ( c \land d ) $$

      On aura bien pour chaque terme au moins une fois \(\textcolor{rgb(232 124 124)}{ab}\) ou \(\textcolor{rgb(93 183 129)}{cd}\).

    3. Équivalence

      À partir des deux implications précédentes, il en résulte l'équivalence suivante :

      $$ \forall (a, b, c, d) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^4, $$
      $$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} $$

  5. Généralisation pour un produit

    En appliquant le raisonnement précédent mais à tout produit, on peut alors alors généraliser ce corollaire en disant que :

    $$ \forall (n,m) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2, \ \forall (a_1, a_2,... \ a_n) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^n, \ \forall (b_1, b_2,... \ b_m) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^m, $$
    $$ \left[ \ \prod_{i = 1}^n a_i \ \right] \wedge \Biggl[ \ \prod_{j = 1}^m b_j \ \Biggr] = 1 \Longleftrightarrow \forall (i, j) \in [\![1, n ]\!] \times [\![1, m ]\!], \enspace \Bigl \{a_i \wedge b_j = 1 \Bigr \} $$
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