Démonstrations
Soit \((a, k) \in (\mathbb{Z}^*)^2 \) deux entiers relatifs non nuls, \(b \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.
Si \( ka \mid kb \), alors :
$$ kb = kak' \Longleftrightarrow b = ak'$$
Alors, \(a \mid b \).
$$ \forall (a, k) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall b \in \mathbb{Z}, $$
$$ ka \mid kb \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid b $$
Soit \((a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2 \) deux entiers relatifs non nuls, \(c \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.
Si \( a \mid b \) et \( b \mid c \), alors :
$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}^2, \enspace \begin{cases} b = ka \\ c = k'b \end{cases} $$
Soit,
$$ c = \hspace{0.2em} \underbrace{kk'} _{ \in \hspace{0.1em} \mathbb{Z} } a $$
Donc \( a \mid c \). On a bien :
$$ \forall (a, b) \in (\mathbb{Z}^*)^2, \enspace \forall c \in \mathbb{Z}, $$
$$ (a \mid b) \text{ et } (b \mid c) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid c $$
Soit \(a \in \mathbb{Z}^* \) un entier relatif non nul, \((b , c) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.
Si \( a \mid b \) et \( a \mid c \), alors :
$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}^2, \enspace \begin{cases} b = ka \\ c = k'a \end{cases}$$
Soit,
$$ b + c = \hspace{0.2em} \underbrace{(k +k')} _{ \in \hspace{0.1em} \mathbb{Z} } a $$
Donc \( a \mid (b + c) \). On a bien :
$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, $$
$$ (a \mid b) \text{ et } (a \mid c) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid (b + c) $$
On aura alors aussi, par extension :
$$ (a \mid b) \text{ et } (a \mid c) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid (b - c) $$
Soient \(a \in \mathbb{Z}^* \) un entier relatif non nul, \((b , c) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.
Si \( a \mid b \) et \( a \mid c \), alors :
$$ \exists (k, k') \in \mathbb{Z}^2, \enspace \begin{cases} b = ka \\ c = k'a \end{cases}$$
Par ailleurs,
$$ \forall (u , v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace \begin{cases} ub = uka \\ vc = vk'a \end{cases}$$
Soit,
$$ ub + vc = \hspace{0.2em} \underbrace{(uk + vk')} _{ \in \hspace{0.1em} \mathbb{Z} } a $$
Donc \( a \mid (ub + vc) \). On a bien :
$$ \forall a \in (\mathbb{Z}^*), \enspace \forall (b , c) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace \forall (u , v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, $$
$$ (a \mid b) \text{ et } (a \mid c) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid (ub + vc) $$
On dira que \( a \) divise toutes les combinaisons linéaires de \( b \) et de \( c \).
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