Le formulaire complet de mathématiques

L'algorithme d'Euclide

Soient \( (a, b) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2, \enspace a > b \).

L'algorithme d'Euclide nous dit que :

1. Si \( b \) divise \( a \)
   $$ \exists q \in \mathbb{N}, $$
   $$ b / a \ \Longrightarrow \ a = bq \ \Longrightarrow \ PGCD(a, b) = b $$
2. Si \( b\) ne divise pas \( a\)
   $$ \exists q \in \mathbb{N}, \enspace \exists R \in [\![0, (b-1) ]\!] , $$
   $$ b \nmid a \ \Longrightarrow \ a = bq + R $$

   Le \( PGCD(a, b) \) est le dernier reste non nul \( R_n \) de la division euclidienne de \( a \) par \( b \) tel que :

   $$ a = \textcolor{rgb(192 52 52)}{b} q_0 + \textcolor{rgb(54 152 46)}{R_0} $$

   Tant que le reste ne divise pas le diviseur de la division précédente , on continue l'algorithme.

   On redécompose alors à chaque étape le nouvel élément :

   $$ b = \textcolor{rgb(192 52 52)}{R_0} q_1 + \textcolor{rgb(54 152 46)}{R_1} \ \Longrightarrow \ R_0 = \textcolor{rgb(192 52 52)}{R_1} q_2 + \textcolor{rgb(54 152 46)}{R_2} \ \Longrightarrow \ R_k = \textcolor{rgb(192 52 52)}{R_{k + 1}} q_{k + 2} + \textcolor{rgb(54 152 46)}{R_{k + 2}} $$
   $$ jusque \ \Longrightarrow R_{n - 3} = q_{n -1 }\textcolor{rgb(192 52 52)}{R_{n - 2}} + \textcolor{rgb(54 152 46)}{R_{n -1}} $$

   Tant que le reste \( R_{n - 1} \) ne divise toujours pas \( R_{n - 2} \), le reste \( R_{n - 2} \) peut s'écrire :

   $$ R_{n - 2} = q_{n}\textcolor{rgb(192 52 52)}{R_{n - 1}} + \textcolor{rgb(54 152 46)}{R_{n}} $$

   Jusqu'au moment où enfin \( R_n \) divise \( R_{n - 1} \), alors \( R_{n - 1} \) s'écrira :

   $$ R_{n - 1} = q_{n + 1}\textcolor{rgb(192 52 52)}{R_{n}} $$

   À ce moment, par remontée de l'algorithme en injectant tour à tour les valeurs précédentes jusque \( a \) et \( b \), on se rendra compte que l'on pourra toujours factoriser par \(R_{n} \). Et alors :

   $$ PGCD(a, b) = R_{n} $$

   \( \forall n \in \mathbb{N}\), \(\forall k \in [\![0, n ]\!] \), \tant que le reste \(R_{k} \) ne divise pas le reste \(R_{k -1 } \) :

   $$ a \nmid b \Longrightarrow PGCD(a, b) = PGCD(b, R_0) = PGCD(R_0, R_1) = \enspace ... \enspace = PGCD(R_{n - 1}, R_n) = R_n \neq 0$$

Le petit théorème de Fermat

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) un entier relatif et \(p \in \mathbb{P}\) un nombre premier.

Le petit théorème de Fermat nous dit que :

Les propriétés de la divisibilité

Simplification

Transitivité

Addition des dividendes

Combinaison linéaire des dividendes

Récapitulatif des propriétés de la divisibilité

Les propriétés des congruences

Avec les congruences, même si l'on a des nombres négatifs dans une équation, on essaie toujours de se ramener à des nombres positifs.

Soient \((a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2\) deux entiers naturels, avec \( a > b\).

On dit que \(a\) est congru \(b\) modulo \(n\), s'ils ont le même reste \(R\) dans la division euclidienne par \(n\).

Équivalence de congruence

Nombre congru à zéro

Réflexivité

Symétrie

Transitivité

Réduction du diviseur

Addition

Par conséquent on peut aussi voir cette propriété sous forme de combinaison linéaire,

Multiplication

Multiplication par un nombre

Simplification par un nombre premier avec le diviseur

On ne peut simplifier une congruence de chaque côté par un nombre, uniquement si ce nombre est premier avec le diviseur de l'équation.

Puissances

Récapitulatif des proriétés des congruences

Les propriétés des nombres premiers

L'ensemble \(\mathbb{P}\) est l'ensemble des nombres premiers :

On appelle nombre premier, un nombre \(p \in \mathbb{P}\) qui a uniquement comme diviseur lui-même et \(1\).

De même, on dira que deux nombres \((a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2\) sont premiers entre eux si leur unique diviseur commun est \(1\).

Deux nombres premiers sont premiers entre eux

deux nombres premiers sont premiers entre eux.

Décomposition d'un nombre en facteurs premiers

Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) se décompose de manière unique en produit facteurs premiers.

Tout nombre supérieur à 2 possède au moins un diviseur premier

Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) possède au moins un diviseur premier.

Tout nombre non premier supérieur à 4 possède au moins un diviseur strict

Tout entier naturel \(n \geqslant 4 \) non premier possède au moins un diviseur strict \(d_0 \) tel que \( d_0 \leqslant \sqrt{n} \).

Lien de primalité entre un nombre premier et tout entier relatif

Lemme d'Euclide

Corollaire du lemme d'Euclide

Récapitulatif des propriétés des nombres premiers

Les propriétés du PGCD de deux entiers naturels

Pour tout \( (a, b) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2, \enspace a > b \), on note :

• \( \delta = a \wedge b = PGCD(a, b) \);

Le \( PGCD(a, b) \) est le plus grand diviseur commun à \( a \) et \( b \).

C'est le dernier reste \( R_n \) non nul de la division euclidienne de \( a \) par \( b \) dans l'algorithme d'Euclide .

• \( \mathcal{D}(a, b)\) l'ensemble des diviseurs communs à \( a \) et à \( b \);

• \( \mathcal{D}(\delta)\) l'ensemble des diviseurs de \( PGCD(a, b) \).

Égalité entre les diviseurs de a et de b et les diviseurs de leur PGCD

L'ensemble des diviseurs communs à \( a \) et à \( b \) est l'ensemble des diviseurs de \( PGCD(a, b) \).

Égalité entre les PGCD successifs de l'algorithme d'Euclide

Décomposition en facteurs premiers

Soit la décomposition de \(a \) et de \(b \) en facteurs premiers :

Alors,

Identité de Bézout

Décomposition de deux nombres en lien avec leur PGCD

Linéarité

Lien entre PGCD et PPCM

Récapitulatif des propriétés du PGCD

Le théorème de Bézout et son corollaire

Théorème de Bézout

Le théorème de Bézout nous dit que :

Corollaire du théorème de Bézout

Le corollaire du théorème de Gauss nous dit que :

On a de même, pour un produit simple :

Et on peut ainsi généraliser ce corollaire à tout produit d'entiers relatifs :

Le théorème de Gauss et son corollaire

Théorème de Gauss

Le théorème de Gauss nous dit que :

Corollaire du théorème de Gauss

Le corollaire du théorème de Gauss nous dit que :

Le binôme de Newton \(: (a + b)^n \)

Le binôme de Newton nous dit que :

On peut utiliser le triangle de Pascal pour trouver les coefficients binomiaux \(\binom{n}{p}\).

Les formules de combinatoire et dénombrement

Toutes les formules qui vont suivre auront toujours deux cas :

• sans répétition
• avec répétition : dans ce cas, il y aura une barre au-dessus pour signifier "avec répétition"

Par exemple, si on note les arrangements sans répétition \(A_n\), on notera \(\overline{A_n}\) ceux avec répétition possible.

Permutations

Le nombre de permutations des éléments d'un ensemble (sans répétition)

Pour tout ensemble \(E\) de \(n\) éléments, le nombre de permutations possibles sans répétition vaut :

Le nombre de permutations des éléments d'un ensemble (avec répétition)

Pour tout ensemble \(E = \{e_1, e_2, e_3, \ ..., \ e_n \}\) avec \(k_1, k_2, k_3, ...,k_{n}\) le nombre d'occurrences de chaque élément, le nombre de permutations possibles vaut :

Arrangements (avec ordre)

Le nombre d'arrangements des éléments d'un ensemble (sans répétition)

Le nombre d'arrangements sans répétition de \(p\) éléments pris dans un ensemble de \(n\) éléments vaut :

Le nombre d'arrangements des éléments d'un ensemble (avec répétition)

Le nombre d'arrangements avec répétition de \(p\) éléments pris dans un ensemble de \(n\) éléments vaut :

Combinaisons (sans ordre)

Le nombre de façons de prendre des éléments distincts d'un ensemble (sans répétition)

Le nombre de façons de prendre \(p\) éléments (distincts et sans répétition) dans un ensemble de \(n\) éléments vaut :

(\(\Longrightarrow\) voir les propriétés du binôme )

Le nombre de façons de prendre des éléments distincts d'un ensemble (avec répétition)

Le nombre de façons de prendre \(p\) éléments (distincts et avec répétition) dans un ensemble de \(n\) éléments vaut :

Le nombre de parties possibles d'un ensemble

Le nombre de parties possibles d'un ensemble \(E = \{e_1, e_2, e_3, \ ..., e_n\}\), c'est-à-dire :

vaut :

Récapitulatif des formules de combinatoire et dénombrement

L'identité géométrique

On appelle identité géométrique, ou formule de Bernouilli , l'expression suivante :

Les propriétés des fractions

Opérations élémentaires

Multiplication

Multiplier des fractions entre elles revient à multiplier tous les numérateurs (resp. tous les dénominateurs) entre eux.

Division

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Addition / soustraction

Additionner (resp. soustraire) des fractions entre elles nécessitent de le mettre sous un dénominateur commun.

Propriétés

Produit en croix

Rapport entre les sommes des numérateurs et dénominateurs respectifs

Les mêmes relations sont possibles en remplaçant tous les \( (+) \) par des \( (-) \).

Rapport entre les sommes et les différences respectives

Addition des numérateurs et dénominateurs entre eux

La même relation est possible en remplaçant le \( (+) \) par un \( (-) \).

1. Généralisation

De manière générale, avec une série de \(n \) numérateurs et de \(m \) dénominateurs :

$$ \forall F \in \mathbb{Q}, \enspace \forall (a, c, e ...) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^n, \enspace (b, d, f...) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^m, \enspace \ \Bigl \{ (b \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\pm} d \textcolor{rgb(54 152 46)}{\pm} f \textcolor{rgb(192 52 52)}{\pm} ...) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ F = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ ... \ \Longrightarrow F = \frac{a \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\pm} c \textcolor{rgb(54 152 46)}{\pm} e \textcolor{rgb(192 52 52)}{\pm} \ ...}{b \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\pm} d \textcolor{rgb(54 152 46)}{\pm} f \textcolor{rgb(192 52 52)}{\pm} \ ...}$$
$$ (\text{avec les signes de même couleurs étant les mêmes}) $$

Tableau récapitulatif des propriétés des fractions

Les propriétés des matrices

Pour ce qui suivre, il est important de poser les définitions suivantes :

1. Opérations sur les matrices
1. Addition de matrices

Soient deux matrices \((A,B) \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n,p} (\mathbb{K})^2\) de même taille.

$$ \forall (i, j) \in [\![1, n]\!] \times [\![1, p]\!],$$
$$(A + B)_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j} $$

Autrement dit, on additionne chaque élément de la matrice de gauche avec l'élément de même position de celle de droite :

$$ A + B = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1, p} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2, p} \\ \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \ddots & \hspace{0.5em} \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \dots & a_{n, p} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & \dots & b_{1, p} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & \dots & b_{2, p} \\ \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \ddots & \hspace{0.5em} \vdots \\ b_{n,1} & b_{n,2} & b_{n,3} & \dots & b_{n, p} \end{pmatrix} $$
$$ A + B = \begin{pmatrix} a_{1,1} + b_{1,1} & a_{1,2} + b_{1,2} & a_{1,3} + b_{1,3} & \dots & a_{1, p} + b_{1, p} \\ a_{2,1} + b_{2,1} & a_{2,2} + b_{2,2} & a_{2,3} + b_{2,3} & \dots & a_{2, p} + b_{2,p} \\ \hspace{2em} \vdots & \hspace{2em} \vdots & \hspace{2em} \vdots & \ddots & \hspace{2em} \vdots \\ a_{n,1} + b_{n,1} & a_{n,2} + b_{n,2} & a_{n,3} + b_{n,3} & \dots & a_{n, p} + b_{n,p} \end{pmatrix} $$
2. Produit matriciel

Soient deux matrices \(A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n,p} (\mathbb{K})\) et \(B \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{p,q} (\mathbb{K})\).

Pour multiplier deux matrices, on a besoin que le matrice de gauche ait le même nombre de colonnes que le nombre de lignes de la matrice de droite (ici \(p\)). Le résultat est une matrice \(AB \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n,q} (\mathbb{K})\), donc avec \(n\) lignes et \(q\) colonnes.

$$ \forall (i, j) \in [\![1, n]\!] \times [\![1, q]\!],$$
$$(A \times B)_{i,j} = \sum_{k = 1}^p a_{i,k} \times b_{k,j} $$

Par exemple :

$$ A \times B = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1, p} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2, p} \\ \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \ddots & \hspace{0.5em} \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \dots & a_{n, p} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & \dots & b_{1, q} \\ b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & \dots & b_{2, q} \\ \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \ddots & \hspace{0.5em} \vdots \\ b_{p,1} & b_{p,2} & b_{p,3} & \dots & b_{p, q} \end{pmatrix} $$
$$ A \times B = \begin{pmatrix} \Bigl[a_{1,1} b_{1,1} + a_{1,2} b_{2,1} \ + \ ... \ + \ a_{1,p} b_{p,1} \Bigr] & \Bigl[a_{1,1} b_{1,2} + a_{1,2} b_{2,2} \ + \ ... \ + \ a_{1,p} b_{p,2}\Bigr] & \hspace{1em} \dots \dots \dots \hspace{1em} & \Bigl[a_{1,1} b_{1,q} + a_{1,2} b_{2,q} \ + \ ... \ + \ a_{1,p} b_{p,q}\Bigr] \\ \Bigl[a_{2,1} b_{1,1} + a_{2,2} b_{2,1} \ + \ ... \ + \ a_{2,p} b_{p,1}\Bigr] & \Bigl[a_{2,1} b_{1,2} + a_{2,2} b_{2,2} \ + \ ... \ + \ a_{2,p} b_{p,2}\Bigr] & \hspace{1em} \dots \dots \dots \hspace{1em} & \Bigl[a_{2,1} b_{1,q} + a_{2,2} b_{2,q} \ + \ ... \ + \ a_{2,p} b_{p,q}\Bigr] \\ \hspace{8em} \vdots & \hspace{8em} \vdots & \hspace{1em} \ddots & \hspace{8em} \vdots \\ \hspace{8em} \vdots & \hspace{8em} \vdots & \hspace{1em} \ddots & \hspace{8em} \vdots \\ \Bigl[a_{n,1} b_{1,1} + a_{n,2} b_{2,1} \ + \ ... \ + \ a_{n,p} b_{p,1}\Bigr] & \Bigl[a_{n,1} b_{1,2} + a_{2,2} b_{2,2} \ + \ ... \ + \ a_{n,p} b_{p,2}\Bigr] & \hspace{1em} \dots \dots \dots \hspace{1em} & \Bigl[a_{n,1} b_{1,q} + a_{n,2} b_{2,q} \ + \ ... \ + \ a_{n,p} b_{p,q}\Bigr] \end{pmatrix} $$

Attention, de manière générale le produit matriciel n'est pas commutatif : \( (A \times B) \neq (B \times A) \) .

3. Multiplication d'une matrice par un scalaire \(\lambda\)

Soit une matrice \(A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n,p} (\mathbb{K})\).

Lorsque l'on multiplie une matrice par un scalaire, cela affecte tous ses éléments.

$$ \forall (i, j) \in [\![1, n]\!] \times [\![1, p]\!],$$
$$(\lambda A)_{i,j} = \lambda \ a_{i,j} $$

Par exemple :

$$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1, p} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2, p} \\ \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \ddots & \hspace{0.5em} \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \dots & a_{n, p} \end{pmatrix} $$
$$ \lambda A = \begin{pmatrix} \lambda \ a_{1,1} & \lambda \ a_{1,2} & \lambda \ a_{1,3} & \dots & \lambda \ a_{1, p} \\ \lambda \ a_{2,1} & \lambda \ a_{2,2} & \lambda \ a_{2,3} & \dots & \lambda \ a_{2, p} \\ \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \ddots & \hspace{0.5em} \vdots \\ \lambda \ a_{n,1} & \lambda \ a_{n,2} & \lambda \ a_{n,3} & \dots & \lambda \ a_{n, p} \end{pmatrix} $$
4. Combinaison linéaire de matrices

Soient deux matrices \((A,B) \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n,p} (\mathbb{K})^2\) de même taille et \((\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2\).

Avec les propriétés précédentes d' addition et de multiplication par un scalaire , on peut créer des combinaisons linéaires de matrices et alors :

$$(\lambda A + \mu B)_{i,j} = \lambda \ a_{i,j} + \mu \ b_{i,j} $$
5. Transposition d'une matrice

Soit la matrice carrée \(A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) de taille \(n\).

La transposition d'une matrice consiste à inverser les indices de lignes et de colonnes de chaque élément. On note \(A^T\) (ou parfois \(^t A\)) la transposée de la matrice \(A\).

$$ \forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^2,$$
$$ \left(A^T \right)_{i,j} \hspace{0.03em} = a_{j,i} $$

Par exemple :

$$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{1,2}} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{1,3}} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{\dots} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{1, n}} \\ \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{2,1}} & a_{2,2} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{2,3}} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{\dots} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{2, n}} \\ \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{3,1}} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{3,2}} & a_{3,3} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{\dots} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{3, n}} \\ \hspace{1em} \textcolor{rgb(54 152 46)}{\vdots} & \hspace{1em} \textcolor{rgb(54 152 46)}{\vdots} & \hspace{1em} \textcolor{rgb(54 152 46)}{\vdots} & \ddots & \hspace{1em} \textcolor{rgb(192 52 52)}{\vdots} \\ \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{n,1}} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{n,2}} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{n,3}} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{\dots} & a_{n, n} \\ \end{pmatrix} $$

Alors, sa transposée est :

$$ A^T = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{2,1}} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{3,1}} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{\dots} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{n, 1}} \\ \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{1,2}} & a_{2,2} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{3,2}} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{\dots} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{n, 2}} \\ \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{1,3}} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{2,3}} & a_{3,3} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{\dots} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{n, 3}} \\ \hspace{0.8em} \textcolor{rgb(192 52 52)}{\vdots} & \hspace{0.8em} \textcolor{rgb(192 52 52)}{\vdots} & \hspace{0.8em} \textcolor{rgb(192 52 52)}{\vdots} & \ddots & \hspace{0.8em} \textcolor{rgb(54 152 46)}{\vdots} \\ \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{1,n}} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{2,n}} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{a_{3,n}} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{\dots} & a_{n, n} \\ \end{pmatrix} $$

Seule la diagonale reste intacte, car si \(i = j\), alors \(a_{i,j} = a_{j,i}\).

6. Inversion d'une matrice

Soit une matrice \(A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n,p} (\mathbb{K})\).

L'inverse de la matrice \(A\) est la matrice notée \(A^{-1}\) et de même taille, telle que : \(A A^{-1} = I_n\).




Pour vérifier si une matrice est inversible, on doit calculer son déterminant, et :

$$ A \text{ est inversible } \Longleftrightarrow det(A) \neq 0 $$
7. Comatrice

Soit la matrice carrée \(A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) de taille \(n\).

La comatrice de la matrice \(A\) est la matrice notée \(com(A)\), telle que :

$$ \forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^2,$$
$$ com(A)_{i,j} \hspace{0.03em} = C_{i,j} $$
$$ \text{où } \ \left \{ \begin{gather*} C_{i,j} : \text{cofacteurs de l'élément } a_{i, j} \\ M_{i, j} : \text{mineure de l'élément } a_{i, j} \end{gather*} \right \} $$

\(C_{i, j}\) : cofacteurs de l'élément \(a_{i, j}\)

$$ C_{i,j} = (-1)^{i + j} \times det(M_{i, j}) $$

\(M_{i, j}\) : mineure de l'élément \(a_{i, j}\)

La mineure de \(a_{i, j}\) est la sous-matrice de \(A\) privée de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\).

Par exemple, à partir de la matrice \(A\) suivante, la mineure \(\textcolor{rgb(85, 109, 229)}{M_{1,1}}\) apparaît en bleu :

$$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1, p} \\ a_{2,1} & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{2,2}} & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{2,3}} & \dots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{2, p}} \\ \hspace{0.5em} \vdots & \hspace{0.5em} \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\vdots} & \hspace{0.5em} \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\vdots} & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\ddots} & \hspace{0.5em} \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\vdots} \\ a_{n,1} & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{n,2}} & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{n,3}} & \dots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{n, p}} \end{pmatrix} $$

Soit,

$$ \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{ M_{1,1} = \begin{pmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2, p} \\ \vdots & \hspace{0.5em} \vdots & \ddots & \hspace{0.5em} \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\vdots} \\ a_{n,2} & a_{n,3} & \dots & a_{n, p} \end{pmatrix} } $$

Par exemple, à partir de la matrice \(A\) suivante :

$$ A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{pmatrix} $$

Sa comatrice vaut :

$$ com(A) = \begin{pmatrix} \textcolor{rgb(54 152 46)}{+}\begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{-}\begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{+}\begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} \\ \textcolor{rgb(192 52 52)}{-}\begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{+}\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{-}\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} \\ \textcolor{rgb(54 152 46)}{+}\begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix} & \textcolor{rgb(192 52 52)}{-}\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,3} \end{vmatrix} & \textcolor{rgb(54 152 46)}{+}\begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix} \end{pmatrix} $$
8. Écriture matricielle d'un système d'équations linéaires

Un système d'équations linéaires \( (S)\), où les inconnues sont les variables \(x_{i,j}\), peut s'écrire sous forme de système de produit matriciel :

$$ (S) \enspace \left \{ \begin{gather*} a_1 x_{1,1} + a_2 x_{1,2} + a_3 x_{1,3} + \hspace{0.1em}... \hspace{0.1em}+ a_n x_{1,p} = b_1 \\ a_1 x_{2,1} + a_2 x_{2,2} + a_3 x_{2,3} + \hspace{0.1em}... \hspace{0.1em}+ a_n x_{2,p} = b_2 \\ ........................ ............. \ = \ ..\\ a_1 x_{n,1} + a_2 x_{n,2} + a_3 x_{n,3} + \hspace{0.1em}... \hspace{0.1em}+ a_n x_{n,p} = b_n \\ \end{gather*} \right \} $$
$$ \Longleftrightarrow$$
$$ \underbrace{ \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} & x_{1,3} & \dots & x_{1, p} \\ x_{2,1} & x_{2,2} & x_{2,3} & \dots & x_{2, p} \\ \hspace{0.8em} \vdots & \hspace{0.8em} \vdots & \hspace{0.8em} \vdots & \ddots & \hspace{0.8em} \vdots \\ x_{n,1} & x_{n,2} & x_{n,3} & \dots & x_{n, p} \\ \end{pmatrix} } _\text{X} \times \underbrace{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \hspace{0.3em}\vdots \\ a_n \end{pmatrix} } _\text{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \hspace{0.3em}\vdots \\ b_n \end{pmatrix} } _\text{B} \ \Longleftrightarrow \ MA = B, \ \text{avec} \enspace \left \{ \begin{gather*} X \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n,p} (\mathbb{K}) \\ A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{1,p} (\mathbb{K}) \\ B \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{1,p} (\mathbb{K}) \end{gather*} \right \} $$
9. Trace d'une matrice

Soit la matrice carrée \(A \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})\) de taille \(n\).

On appelle la trace d'une matrice la somme des éléments diagonaux :

$$ A = \begin{pmatrix} \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{1,1}} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{2,2}} & a_{2,3} & \dots & a_{2,n} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{3,3}} & \dots & a_{3,n} \\ \hspace{0.1em}\vdots & \hspace{0.1em} \vdots & \hspace{0.1em} \vdots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\ddots} & \hspace{0.1em} \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \dots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{a_{n,n}} \end{pmatrix} $$
$$Tr(A) = \sum_{k = 1}^n a_{k,k} = a_{1,1} + a_{2,2} \ + \ ... \ + a_{n,n}$$
2. Matrices spécifiques
1. Matrice diagonale

Une matrice diagonale est une matrice carrée où tous les éléments sont nuls en dehors de la diagonale principale :

$$ D_n = \begin{pmatrix} \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{d_{1,1}} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{d_{2,2}} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{d_{3,3}} & \dots & 0 \\ \hspace{0.1em}\vdots & \hspace{0.1em} \vdots & \hspace{0.1em} \vdots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\ddots} & \hspace{0.1em} \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{d_{n,n}} \end{pmatrix} $$
$$ \forall (i, j) \in [\![1, n]\!]^2, \ (i \neq j) \Longrightarrow d_{i,j} = 0$$

On note aussi la matrice diagonale \(D_n\) uniquement en fonction des éléments de sa diagonale : \(D_n = diag(\lambda_1, \lambda_2, \ ..., \lambda_n)\).

2. Matrice identité

La matrice identité \(I_n\) est définie par :

$$ I_n = \begin{pmatrix} \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{1} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{1} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\ddots} & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{1} \\ \end{pmatrix} $$

C'est la matrice carrée de taille \(n\) avec la valeur \(1\) sur sa diagonale principale, et \(0\) partout ailleurs. C'est un cas particulier de matrice diagonale. Par exemple,

$$ I_3 = \begin{pmatrix} \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{1} & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{1} & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{1} \end{pmatrix} $$
3. Matrice des uns

La matrice des uns \(J_n\) est la matrice carrée de taille \(n\) où tous les éléments valent \(1\):

$$ J_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \textcolor{rgb(85, 109, 229)}{\ddots} & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ \end{pmatrix} $$

Par exemple,\(J_3\) vaut :

$$ J_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} $$

Le produit matriciel

Associativité

Distributivité

Bilinearité

Multiplication par l'identité

Produit de matrices diagonales

1. Produit de deux matrices diagonales
$$ \forall \Bigl[ D_1 = diag(\lambda_1, \lambda_2, \ ..., \lambda_n), \ D_2 = diag(\mu_1, \mu_2, \ ..., \mu_n) \Bigr] \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})^2, $$
$$ D_1 \times D_2 = D_2 \times D_1 = diag \left(\lambda_1 \mu_1, \lambda_2 \mu_2, \ ..., \lambda_n \mu_n \right) $$
2. Puissance de matrice diagonale
$$ \forall \Bigl[ D = diag(\lambda_1, \lambda_2, \ ..., \lambda_n) \Bigr] \in \hspace{0.03em} \mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}), $$
$$ D^m = diag \left(\lambda_1^m, \lambda_2^m, \ ..., \lambda_n^m \right) $$

Matrice, comatrice, transposée et déterminant

Lien entre matrice, comatrice, transposée et déterminant

Transposition de matrices

Linéarité de la transposée

Transposée d'un produit

Inversion de matrices

Calcul de l'inverse

Inverse de l'inverse

Inverse de la transposée

Inverse du produit

Par ailleurs, les expressions \((3)\) et \((7)\) se comportent de la même manière :

Alors, l'ordre de transposition ou d' inversion n'a pas d'importance,

Traces de matrices

Linéarité de la trace

Trace d'un produit

Puissances de matrices

Puissances de la matrice des uns

Soit \(J_n\) la matrice des uns de taille \(n\).

Binôme de Newton et Identité géométrique

Tableau récapitulatif des propriétés des matrices

Les propriétés des puissances de x (pour des exposants naturels)

Soient \( n\in \mathbb{N}\) un entier naturel et \( x \in \mathbb{R}\) un réel.

On appelle \(x^n\) un nombre \(x\) multiplié \(n\) fois par lui-même :

Toutes ces formules sont démontrées uniquement pour des exposants naturels \((n \in \mathbb{N})\).

Produit/quotient de puissances (de même base)

Nombre élevé à la puissance zéro

Inverse d'une puissance

Puissance d'un produit/quotient

Puissance d'une puissance

Récapitulatif des puissances de x

Les propriétés du binôme \(: \binom{n}{p}\)

Soient \((p,n) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels avec \( p \leqslant n \).

On appelle \(\binom{n}{p} \) ("\( p \) parmis \( n \)") le nombre de façons de prendre \( p \) éléments parmis \( n \) éléments d'un ensemble.

On l'appelle aussi le binôme, il répond à la formule suivante :

"0 parmis n" / "n parmis n"

"1 parmis n"

Symétrie

Formule du pion

Formule de Pascal

Somme horizontale de 0 à n

Somme verticale de r à n

Récapitulatif des propriétés du binôme

Le calcul de Pi \( (\pi) \) par méthode géométrique

Nous allons calculer une formule du nombre \(\pi \) en passant par une méthode géométrique.

Pour cela, nous allons passer par plusieurs itérations successives.

Le nombre \(\pi \) correspond au rapport entre le demi-périmètre d'un cercle de rayon \( R = 1\).

La formule théorique que nous allons démontrer est :

(avec \( n\) le nombre de \( 2\) présents à la suite sous la seconde racine)

Calculs de surfaces et de volumes par intégration

Les surfaces

Le calcul de la surface du cercle

La surface du cercle de rayon \( R\) vaut :

Le calcul de la surface de la sphère

La surface de la sphère de rayon \( R\) vaut :

Le calcul de la surface du cône

Le cône est une pyramide à base circulaire. Il est caractérisé par sa hauteur \( h\), le rayon \( r\) de sa base ainsi que son apothème \(a\).

Les volumes

Le calcul du volume de la sphère

Le volume de la sphère de rayon \( R\) vaut :

Le calcul du volume du cône

Le volume d'un cône de hauteur \( h\) avec une base circulaire de rayon \( r\) vaut :

La formule de Moivre

Soit \( n \in \mathbb{Z}\) un entier relatif, et \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, tel que :

La formule de Moivre nous dit que :

Les formules des opérations trigonométriques

Les formules de duplication

Les fonctions sinus et cosinus

De même, leurs expressions en fonction de \( \tan(\alpha)\) :

La fonction tangente

Les formules d'addition des paramètres

Les fonctions sinus et cosinus

La fonction tangente

Formules du binôme

Les formules de transformation produit vers somme

Les fonctions sinus et cosinus

Les formules de transformation somme vers produit

Les fonctions sinus et cosinus

La fonction tangente

Récapitulatif des formules de duplication et d'addition trigonométriques

Les formules trigonométriques d'Euler

Formule d'Euler : écriture exponentielle d'un nombre complexe

Formules trigonométriques d'Euler

La géométrie analytique dans l'espace

Soit un répère orthonormé dans l'espace à trois dimensions \((O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})\).

Les droites et plans

Équation paramétrique d'une droite

L'équation paramétrique d'une droite \(\mathcal{D}\) dans l'espace, passant par un point \(A\bigl(x_0, y_0, z_0\bigr)\) et dirigée par un vecteur \(\vec{u}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix} \) (avec \(a, b, c \) non nuls tous les trois) est :

Équation d'un plan

L'équation d'un plan \((\mathcal{P})\) dans l'espace, passant par un point \(A\bigl(x_0, y_0, z_0\bigr)\) et orthogonal à un vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\) (avec \(a, b, c \) non nuls tous les trois) est :

Distance d'un point à un plan

Soit un plan \(\mathcal{P}\) orthogonal au vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\) (avec \(a, b, c \) non nuls tous les trois), ayant pour équation :

La distance d'un point \(A\bigl(x_0, y_0, z_0\bigr)\) par rapport à ce plan \((\mathcal{P})\) se projettant orthogonalement sur ce même plan en \(H\bigl(x, y, z\bigr)\) vaut :

Projection d'un vecteur sur un plan

La projection d'un vecteur \(\vec{u}\) sur un plan \(\mathcal{P}\) de vecteur normal \(\vec{n}\) vaut :

Projection d'une somme de vecteurs sur un plan

La projection d'une somme de vecteurs dans un plan est la somme des projections de chaque vecteur

Les figures géométriques

Équation d'une sphère

La sphère \((\mathcal{S})\) de rayon \(R\) et centrée en \(A\bigl(x_0, y_0, z_0\bigr)\) a pour équation dans l'espace :

Équation d'un cylindre

Le cylindre \((\mathcal{C})\) de rayon \(r\) et centré en \(A\bigl(x_0, y_0, z_0\bigr)\) a pour équation dans l'espace :

Équation d'un cône

Le cône \((\mathcal{C})\) de demi-angle \( \theta\), et centré en \(A\bigl(x_0, y_0, z_0\bigr)\) a pour équation dans l'espace :

Systèmes de coordonnées

Passer des coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques

1. Coordonnées longitude-latitude

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} x = R \ \cos(\varphi) \ \cos(\theta) \\ y = R \ \cos(\varphi) \ \sin(\theta) \\ z = R \ \sin(\varphi) \end{gather*} \qquad (\theta : longitude- \varphi : latitude) $$
$$\text{avec} \enspace \left \{ \begin{gather*} R =\sqrt{x^2 +y^2 +z^2 } \\ \theta = \operatorname{Arctan} \left( \frac{y}{x} \right) \\ \varphi = \operatorname{Arcsin} \left( \frac{z}{R} \right) \end{gather*} \right \}$$
2. Coordonnées longitude-colatitude

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} x = R \ \sin(\psi) \ \cos(\theta) \\ y = R \ \sin(\psi) \ \sin(\theta) \\ z = R \ \cos(\psi) \end{gather*} \qquad (\theta : longitude- \psi : colatitude) $$
$$\text{avec} \enspace \left \{ \begin{gather*} R =\sqrt{x^2 +y^2 +z^2 } \\ \theta = \operatorname{Arctan} \left( \frac{y}{x} \right) \\ \psi = \operatorname{Arccos} \left( \frac{z}{R} \right) \end{gather*} \right \}$$

Les lois géométriques du triangle

Dans un contexte d'un triangle quelconque \(\{a, b, c\}\), avec chaque angle opposé respectivement à sa longueur, tel que :

Et tel que la figure suivante :

Relations entre longueurs et angles

Loi des sinus

Théorème d'Al-Kashi

Méthodes de calcul d'aires

Formule de l'aire

Formule de Héron

La fomule de Héron nous dit que :

Pour tout triplet de longueurs \((a, b, c)\) d'un triangle :

Les propriétés des nombres complexes

Les modules \( : |z|\)

On note \( |z| \) le module d'un nombre complexe \( z \).

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ |z| = \sqrt{x^2 + y^2 } \end{gather*} \)

Modules de l'opposé et du conjugué

Module du produit

In the same way,

Module d'un complexe élevé à une puissance entière

Les arguments \( : \arg(z) \)

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \)

On note \( \arg(z) \) l'argument d'un complexe \( z \).

Arguments des conjugué et opposé

Argument du produit

Argument de l'inverse

Argument du quotient

Argument d'un complexe élevé à une puissance entière

Les conjugués \( : \overline{z}\)

On note \( \overline{z} \) le conjugué d'un nombre complexe \( z \).

Soit \( (x, y) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \enspace z \in \mathbb{C}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} z = x + iy \\ \overline{z} = x -iy \end{gather*} \)

Conjugué de la somme

De la même manière,

Conjugué d'un produit

Conjugué d'un quotient

Complexe multiplié par son conjugué

Conjugué d'un complexe élevé à une puissance entière

Récapitulatif des formules des propriétés des nombres complexes

Les propriétés du produit scalaire

Soient \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) deux vecteurs.

On note \(||\vec{u}|| \) et \(||\vec{v}|| \) les normes respectives des vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\), et \( (\vec{u} , \vec{v})\) l'angle formé par les deux vecteurs.

On appelle le produit scalaire \( \vec{u}\cdot\vec{v} \), le nombre réel résultant de :

C'est la norme du projeté orthogonal du vecteur \( \vec{u}\) sur le vecteur \( \vec{v}\), multiplié par la norme du vecteur \( \vec{v}\).

Commutativité

Vecteurs orthogonaux

Carré scalaire

Produit scalaire par les coordonnées des vecteurs

Bilinéarité

Par ailleurs, en effectuant le produit scalaire \( (\lambda\vec{u})\cdot(\mu\vec{v})\), on obtient :

Distributivité par rapport à l'addition

Et aussi la distributivé à gauche :

Identités remarquables

On a les mêmes formules que les identités remarquables .

Expression en fonction des normes

Projection d'un vecteur sur un vecteur

La projection vectorielle de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) vaut :

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

Les propriétés du produit vectoriel

Soient \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) deux vecteurs différents du vecteur nul.

On appelle produit vectoriel \( \vec{u} \land \vec{v} \), un nouveau vecteur issu de \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) tel que :

Le produit vectoriel \( \vec{u} \land \vec{v} \) est orthogonal aux deux vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\).

Coordonnées cartésiennes

Norme

Identité de Lagrange

Colinéarité de deux vecteurs

Anticommutativité

Distributivité par rapport à l'addition

Et aussi la distributivé à gauche :

Liberté de la constante

Formule de Gibbs

Identité de Jacobi

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

La puissance d'un point par rapport à un cercle

Cas 1 : Point intérieur au cercle

Si un point \( O\) est l'intersection entre deux cordes \( (AB )\) et \( (CD )\) d'un cercle à l'intérieur de celui-ci, et telles que la figure suivante :

Alors, les deux triangles \( AOC \) et \( DOB \) sont semblables , et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point \(O\) vaut :

Cas 2 : Point extérieur au cercle

Si un point \( O\) est l'intersection entre deux cordes \( (AC )\) et \( (DB )\) d'un cercle à l'extérieur de celui-ci, et telles que la figure suivante :

Alors, les deux triangles \( ABO \) et \( DCO \) sont semblables , et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point \(O\) vaut :

Cas 3 : Point extérieur au cercle avec une tangente

Si un point \( O\) est l'intersection entre une corde \( (AC )\) du cercle et une tangente à ce même cercle passant par \( T\), et telles que la figure suivante :

Alors, les deux triangles \( OAT \) et \( CTO \) sont semblables , et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point \(O\) vaut :

Cas 4 : Point extérieur au cercle avec deux tangentes

Si un point \( O\) est l'intersection entre deux tangentes au cercle passant respectivement par \( T\) et \( T'\), et telles que la figure suivante :

Alors, le triangle \( OTT' \) est un triangle isocèle, et dans ce cas :

La similarité de deux triangles

Deux triangles sont dit semblables lorsqu'ils ont leurs longueurs respectives proportionnelles et leurs angles respectivement égaux.

Cela implique alors un rapport \(k\) entre les longueurs respectives, correspondant à un agrandissement, une réduction ou une conservation (si \(k = 1\)).

Il existe principalement trois cas de similarités de triangles.

Cas 1 : Trois côtés respectifs proportionnels

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs trois côtés respectifs proportionnels .

Cas 2 : Deux angles égaux deux-à-deux

Deux triangles sont semblables s'ils ont au moins deux angles deux-à-deux égaux .

Cas 3 : Un angle en commun et deux longueurs proportionnelles

Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle commun et qu'ils ont les deux longueurs respectives proportionnelles .

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore nous dit que :

Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres.

Prenons le cas d'un triangle rectangle \(\{a, b, c\}\), rectangle entre \( a\) et \( b\) tel que la figure suivante :

On a :

Réciproque du théorème de Pythagore

Sa réciproque nous dit le contraire :

Dans un triangle \(\{a, b, c\}\), où \( c\) est le plus grand côté :

Équivalence du théorème de Pythagore

Les deux implications précédentes forment alors l'équivalence :

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Dans un triangle, le théorème de Thalès implique des rapports de proportionnalité entre les longueurs.

Soit un triangle quelconque, dans lequel on trace une parallèle à un des côtes, et tel que le figure suivante :

Théorème de Thalès

Le théorème de Thalès nous dit que, dans un triangle \(ABD\), si il existe une droite \(BC\) coupant \(AD\) et \(AE\) respectivement en \(B\) et \(C\) telle que \(BC \parallel DE\), alors cela implique les rapports suivants entre les longueurs :

Il est de même possible de l'appliquer dans un triangle inversé, telle que la figure suivante :

1. Extension du théorème

Enfin, par extension du théorème de Thalès , si nous avons établi les égalités suivantes entre les rapports :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB'}{AD'} = \frac{BB'}{DD'} $$

Ces rapports s'appliqueront de même à toutes les droites projetées (orthogonalement ou non) sur le côté \( DD' \).


$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB_1}{AD_1} = \frac{AB_2}{AD_2}= \frac{AB'}{AD'} $$

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès nous dit que si dans un triangle \( ADE \), avec une droite \( BC \) coupant \( AD \) et \( AE \) respectivement en \( B \) et \( C \), tel que la figure suivante :

Alors cela implique une relation de parallélisme :

Par ailleurs, dans ce cas-ci seulement une des trois égalités des rapports est suffisante pour impliquer un parallélisme, et :

Équivalence du théorème de Thalès

Les deux implications forment l'équivalence :

Le triangle rectangle inscrit dans le cercle

Dans un cercle, si un triangle inscrit a pour plus grand côté le diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.

La convexité d'une fonction

On appelle la convexité d'une fonction \(f\) sa forme générale, plutôt en forme de bol ( convexe ) ou plutôt en forme de cave ( concave ).

On la définit plus précisément en fonction de la position de ses tangentes et des cordes de la fonction.

Soit une fonction \(f\) de classe \( \mathbb{C}^{2}\) sur son ensemble de définition \( D_f \) et un intervalle quelconque \(I\).

Le signe de la dérivée seconde indique la convexité

Tout comme la dérivée indique le sens des variations d'une fonction, le signe de la dérivée seconde indique la convexité.

Et,

L'inégalité des tangentes

Une fonction \( f \) est dite convexe sur un intervalle \( I \), si toute tangente en un point se situe au-dessous de la courbe. A contrario , elle est concave si toute tangente se situe au-dessus de la courbe.

L'inégalité de convexité

Une fonction \( f \) est dite convexe sur un intervalle \( I \), si toute corde qui relie deux points de cet intervalle se situe au-dessus de la courbe. A contrario , elle est concave si toute corde se situe au-dessous de la courbe.

La dérivabilité d'une fonction

La dérivée est une notion clef dans l’analyse de fonctions, car elle sous-tend toute la science physique.

Notion de dérivabilité

Soit une fonction \( f :x \longmapsto f(x) \) continue sur son ensemble de définition.

1. Nombre dérivé

On appelle \( f'(a) \) le nombre dérivé de la fonction \( f \) au point \( (x=a )\) tel que :

$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Si (et seulement si) ce nombre existe, on dit alors que \( f \) est dérivable en un point \(a\).

$$ f \text{ est dérivable en } a \Longleftrightarrow \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}= f'(a) \in \mathbb{R} $$

En déterminant l'expression générale de la fonction dérivée \(f'\), on pourra définir où est-ce que la fonction \(f\) est dérivable.

2. Fonction dérivée

La fonction \(f'\), dérivée de la fonction \( f \) s'exprime ainsi :

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

C'est la limite du taux de variation quand \( h \to 0 \).

On pourra aussi la retrouver sous cette forme :

$$ f'(x) = \lim_{t \to x} \enspace \frac{f(t) - f(x)}{t - x} $$

À ce moment-là, ce sera la limite du taux de variation quand \( x \to a \).

La dérivabilité implique la continuité

Le signe de la dérivée indique le sens de variation

De plus, si et seulement si \(f'\) change de signe entre avant et après un certain point \(a\), la fonction \(f\) admet un extremum local en ce point.

Équation de la tangente au point a

Nous avons dans la définition de la dérivée que le nombre dérivé correspondait à la pente de la tangente à la courbe d'une fonction.

Cette droite admet pour équation au point d'abscisse \((x = a)\) :

De plus, dans le cas d' une fonction convexe (resp. concave) , cette tangente se situe toujours au dessous (resp. au dessus) de la courbe.

Lien entre développement limité d'ordre 1 et dérivabilité

Les dérivées d'opérations sur les fonctions

Soient par défaut deux fonctions \( f, g \), dépendantes de la variable \( x \) telles que :

Fonction multipliée par une constante : \( (\lambda f )' \)

Lorsqu'on dérive une fonction multipliée par une constante \( \lambda \in \mathbb{R} \), on peut sortir celle-ci et dériver la fonction à part.

Somme de deux fonctions : \( (f+g )' \)

De la même manière,

Combinaison linéaire de deux fonctions : \( (\lambda f+ \mu g )' \)

La dérivée d'une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire de chaque fonction dérivée.

1. Généralisation
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (f,g), \enspace \forall k \in [\![ 1, n ]\!], \enspace \forall \lambda_k \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^n,$$
$$ \Biggl( \sum_{k=0}^n \lambda_k f_k \Biggl)' = \sum_{k=0}^n \lambda_k f'_k $$

Produit de deux fonctions : \( (fg )' \)

1. Simple derivation
$$ \forall (f,g),$$
$$ \left ( f g \right)' = f'g + g'f $$
2. Derivation successives : la formule de Leibniz

Soient deux fonctions \(f, g\) de classe \( \mathbb{C}^{\infty}\) sur un intervalle \(I\). On note \(f^{(n)}\) la dérivée \(n\)-ième de \(f\).

La formule de Leibniz nous dit que :

$$ \forall n\in \hspace{0.04em} \mathbb{N}, \enspace \forall (f,g), $$
$$ (fg)^{(n)} = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} f^{(n-p)} \hspace{0.1em} g^{(p)} \qquad \text{(Formule de Leibniz)} $$

Inverse de fonction : \( (1 / g )' \)

Quotient de deux fonctions : \( (f / g )' \)

Composée de deux fonctions : \( (f \circ g )' \)

1. Composée de deux fonctions

Soient deux fonctions \( f, g \).

$$ g : I \longmapsto J , \enspace x \longmapsto g(x) $$
$$ f : J \longmapsto K, \enspace y = g(x) \longmapsto f(y) = f \left(g(x)\right) $$

On définit une fonction composée \( (f \circ g) \) comme :

$$ (f \circ g)(x) = f \left(g(x)\right) $$

Elle admet comme dérivée :

$$ \forall (f,g),$$
$$ (f \circ g)' = g'(f' \circ g) $$

Soit :

$$ (f \circ g)' = g'.f' \left(g\right) $$

On appelle cela aussi une dérivation en chaîne.

2. Généralisation: n'importe quelle composition de fonctions

Définissons un nouvel opérateur de composition:

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \Biggl( \overset{n}{\underset{k=1}{\bigcirc f_k}} \ \Biggr )(x) = \Bigl(f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ \ ... \ \circ f_{n-1} \circ f_{n}\Bigr)(x) $$

On définit alors une nouvelle fonction \(\Psi_n (x) \) :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \Psi_n (x) = \ \Biggl( \overset{n}{\underset{k=1}{\bigcirc f_k}} \ \Biggr ) (x) $$

Alors, on peut modéliser ce résultat par,

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \forall k \in [\![1, n ]\!], \ \forall f_k \in \hspace{0.04em} f^k,$$
$$ \Psi_n' = f'_n \times \prod_{k=1}^{n-1}\Biggl[ f'_{n-k} \circ \Biggl( \overset{n}{\underset{j= (n - k) + 1}{\bigcirc f_j}} \ \Biggr ) \Biggr] \\ $$
$$ \text{avec} \enspace \Psi_n (x) = \Biggl( \overset{n}{\underset{k=1}{\bigcirc f_k}} \ \Biggr ) (x) = \Bigl(f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ \ ... \ \circ f_{n-1} \circ f_{n}\Bigr)(x) $$

Et sous la forme développée,

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \ \forall k \in [\![1, n ]\!], \ \forall f_k \in \hspace{0.04em} f^k,$$
$$ \Psi_n' = \Biggl( \overset{n}{\underset{k=1}{\bigcirc f_k}} \ \Biggr )'= f_n' \times \bigl( f_{n-1}' \circ f_n \bigr) \times \ ... \ \times \bigl(f_1' \circ f_2 \circ \ ... \ \circ f_{n-1} \circ f_n \bigr)$$

Récapitulatif des dérivées de fonctions composées

Fonction réciproque : \( (f^{-1} )' \)

Soit une fonction \( f \) telle que :

On définit sa fonction réciproque par :

La fonction réciproque admet comme dérivée \( (f^{-1})' \) :

Récapitulatif des dérivées d'opérations de fonctions

Les dérivées des fonctions trigonométriques

Pour toutes ces fonctions trigonométriques, on aura pour chacune leur fonction réciproque .

Entre une fonction et sa fonction réciproque , on a la relation :

Un exemple avec la fonction \(\sin(x)\) et \(\operatorname{Arcsin}(x)\) :

Attention à ne pas confondre la notation "\( f^{-1} \)" des fonctions réciproques avec celle de l'inverse .

En effet, on note "\( \cos^{-1}, \ \sin^{-1}, \ \tan^{-1}... \)" pour les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques \( (arcsin, \ arccos, \ \operatorname{Arctan}...) \), mais c'est une notation différente de "\( f^{-1} \)" qui signifie en général la fonction inverse \( (x^{-1} = \frac{1}{x}) \) .

Les fonctions trigonométriques de base : \(\sin(x), \cos(x), \tan(x)\)

En appliquant le théorème de Thalès , on voit bien la relation :

La fonction sinus \(: \sin(x)\)

La fonction \( \sin(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction cosinus \(: \cos(x)\)

La fonction \( \cos(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction tangente \(: \tan(x)\)

La fonction \( \tan(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions trigonométriques de base réciproques : \(\operatorname{Arcsin}(x)\), \(\operatorname{Arccos}(x)\), \( \operatorname{Arctan}(x)\)

La fonction arcsinus \(: \operatorname{Arcsin}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arcsin}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sin(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction arccosinus \(: \operatorname{Arccos}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arccos}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cos(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction arctangente \(: \operatorname{Arctan}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arctan}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \tan(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions trigonométriques sécantes : \(\csc(x), \sec(x), \cot(x)\)

Les trois fonctions trigonométriques sécantes sont les fonctions \( \csc(x), \sec(x) \) et \( \cot(x) \).

Elles sont respectivement les inverses des fonctions \( \sin(x), \cos(x) \) et \( \tan(x) \).

En appliquant le théorème de Thalès , on voit bien les relations :

La fonction cosécante \(: \csc(x)\)

La fonction \( \csc(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

On remarque par ailleurs que :

La fonction sécante \(: \sec(x)\)

La fonction \( \sec(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

On remarque par ailleurs que :

La fonction cotangente \(: \cot(x)\)

La fonction \( \cot(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions trigonométriques sécantes réciproques : \(\operatorname{Arccsc}(x)\), \(\operatorname{Arcsec}(x)\), \( \operatorname{Arccot}(x)\)

La fonction arccosécante \(: \operatorname{Arccsc}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arccsc}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \csc(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction arcsécante \(: \operatorname{Arcsec}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arcsec}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sec(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction arccotangente \(: \operatorname{Arccot}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arccot}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cot(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions hyperboliques : \(\sinh(x), \cosh(x), \tanh(x)\)

Les trois fonctions hyperboliques sont les fonctions \( \sinh(x), \cosh(x) \) et \( \tanh(x) \).

Elles sont le pendant respectif des fonctions \( \sin(x), \cos(x) \) et \( \tan(x) \), notamment au niveau des propriétés.

La fonction sinus hyperbolique \(: \sinh(x)\)

La fonction \( \sinh(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction cosinus hyperbolique \(: \cosh(x)\)

La fonction \( \cosh(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction tangente hyperbolique \(: \tanh(x)\)

La fonction \( \tanh(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions hyperboliques réciproques : \( \operatorname{Arcsinh}(x)\), \(\operatorname{Arccosh}(x)\), \( \operatorname{Arctanh}(x)\)

La fonction arcsinus hyperbolique \(: \operatorname{Arcsinh}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arcsinh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sinh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

Elle admet pour dérivée :

La fonction arccosinus hyperbolique \(: \operatorname{Arccosh}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arccosh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cosh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

Elle admet pour dérivée :

La fonction arctangente hyperbolique \(: \operatorname{Arctanh}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arctanh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \tanh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions sécantes hyperboliques : \(\operatorname{csch}(x), \operatorname{sech}(x), \operatorname{coth}(x)\)

Les trois fonctions sécantes hyperboliques sont les fonctions \( \operatorname{csch}(x), \operatorname{sech}(x) \) et \(\operatorname{coth}(x) \).

Elles sont respectivement les inverses des fonctions \( \sinh(x), \cosh(x) \) et \( \tanh(x) \).

La fonction cosécante hyperbolique \(: \operatorname{csch}(x)\)

La fonction \( \operatorname{csch}(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

On remarque par ailleurs que :

La fonction sécante hyperbolique \(: \operatorname{sech}(x)\)

La fonction \( \operatorname{sech}(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

On remarque par ailleurs que :

La fonction cotangente hyperbolique \(: \operatorname{coth}(x)\)

La fonction \( \operatorname{coth}(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions sécantes hyperboliques réciproques : \(\operatorname{Arccsch}(x)\), \(\operatorname{Arcsech}(x)\), \( \operatorname{Arccoth}(x)\)

La fonction arccosécante hyperbolique \(: \operatorname{Arccsch}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arccsch}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{csch}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction arcsécante hyperbolique \(: \operatorname{Arcsech}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arcsech}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{sech}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction arccotangente hyperbolique \(: \operatorname{Arccoth}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arccoth}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{coth}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

Récapitulatif des dérivées de fonctions trigonométriques

Les dérivées des fonctions usuelles

La fonction constante : \( (\lambda )' \)

Une fonction constante est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction affine : \( (ax + b )' \)

Une fonction affine est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction valeur absolue : \( |x|' \)

Une fonction valeur absolue est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction carrée : \( (x^2 )' \)

La fonction carrée est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions puissances de x : \( (x^n)' \)

Dans cette partie, de nombreuses fois \(x\) se trouvera au dénominateur, alors pour raisons de simplicité nous avons retiré le cas où \((x = 0)\).

On définit alors spécifiquement une fonction puissance de \(x\) par :

Elle admet pour dérivée :

Les fonctions puissances de n : \( (n^x)'\)

Dans cette partie, par simplicité on retirera le cas où \(n \) se trouvera sous un logarithme , alors par simplicité nous avons retiré le cas où \((n = 0)\).

Alors, on définit spécifiquement la fonction puissance de \(n\) de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction racine carrée : \( (\sqrt{x})' \)

La fonction racine carrée est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction inverse \( : \hspace{0.03em} \left(\frac{1}{x}\right)' \)

La fonction inverse est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction logarithme népérien : \(\Bigl[ \ln(x) \Bigr]'\)

1. La fonction \(\ln(x)\)

La la fonction logarithme népérien est définie comme étant fonction réciproque de fonction exponentielle \((e^x)\) :

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace f(x) = \ln(x) = (e^x)^{-1}$$

Elle est aussi définie par une intégrale :

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \ln(x) = \int^x_1 \frac{dt}{t}$$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
$$ \Bigl[ \ln(x) \Bigr]' = \frac{1}{x} $$
2. La fonction \(\ln|x|\)

La la fonction logarithme népérien en valeur absolue est définie de la manière suivante :

$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace f(x) = \ln|x| = \Biggl \{ \begin{gather*} \forall x \in \mathbb{R_-^*}, \ f(x) = \ln(-x) \\ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \ f(x) = \ln(x) \end{gather*} $$

Elle admet pour dérivée :

$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, $$
$$ \Bigl[ \ \ln|x| \ \Bigr]' = \frac{1}{x} $$

La fonction logarithme en base n \( : \Bigl[ log_n(x) \Bigr] '\)

La fonction logarithme en base \(n\) \((n \in \mathbb{R})\) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour dérivée :

La fonction exponentielle : \((e^x)'\)

La fonction exponentielle est définie comme étant fonction réciproque de la fonction logarithme népérien \((\ln(x))\) :

Elle admet pour dérivée elle-même :

Récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles

Les fonctions logarithmes et exponentielles

Les fonctions logarithmes \(: \ln(x), log_a(x)\)

Les deux fonctions \(log_a(x)\) et \(\ln(x)\) étant définies de manière équivalente à un coefficient près \(\ln(a)\), les propriétés qui vont suivre seront vraies pour toutes les fonctions logarithmiques.

Définition du logarithme naturel

De même, on a :

Logarithme d'un produit \(: \ln(ab)\)

Logarithme d'un inverse \(: \ln \left(\frac{1}{a} \right)\)

Logarithme d'un quotient \(: \ln \left(\frac{a}{b} \right)\)

Logarithme d'une puissance \(: \ln \left( a^n \right)\)

Lien entre logarithme de base a, b et logarithme naturel \( : log_a(x), log_b(x), \ln(x)\)

De manière générale pour deux logarithmes respectivement en base \(a\), \(b\) ou \(e\) (logarithme naturel),

Les fonctions exponentielles \(: e^x, a^x \)

Les fonctions exponentielles, étant définies comme étant la fonction réciproque du logarithme (respectivement à sa base), ont toutes les propriétés réciproques des logarithmes.

Définition d'une fonction exponentielle

Produit d'une exponentielle

Inverse d'une exponentielle

Quotient d'une exponentielle

Puissance d'une exponentielle

Valeur de \(e\)

Lien entre exponentielles de base a, b ou e \( : a^x, b^x, e^x\)

Récapitulatif des formules des fonctions logarithmes et exponentielles

Les formules de Taylor-Young et Taylor-Laplace

Soit une fonction \( f : x \longmapsto f(x) \) de classe \( \mathcal{C}^n \) et \( f^{(n)} \) sa dérivée \( n \)-ième.

Formule de Taylor-Young

La formule de Taylor-Young nous dit qu'une fonction \( f \), centrée en \( x = a \), peut s'écrire sous la forme de somme d'un développement limité \( (DL_n(a)) \) et d'un reste \(R_n\), tel que :

En voici la forme décomposée :

Où la notation \( o\bigl((x - a)^n\bigr) \) représente le reste de Landau (un petit "o"), signifiant que le reste est négligeable devant \( (x - a)^n \) quand \( x \to a \) :

Par ailleurs, en posant \( (x = a + h) \), on a la formule sous cette nouvelle forme :

Formule de Taylor-Laplace

Dans la formule de Taylor-Laplace, le reste est quantifié par une intégrale.

Soit,

Récapitulatif des principaux développements limités

Une autre notation utilisée pour caractériser le reste d'un développement limité est la notation de Landau \(o(x^n)\).

Dans notre cas spécifique, on étudie des développements limités au voisinage de \(( a = 0 ) \), donc :

L'interpolation polynomiale Lagrangienne

Soient \( n \hspace{0.1em} \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \) un entier naturel, et une série de couples d'antécédents/images \( \Bigl \{ \bigl \{x_i, y_i \bigr \}_{ i \hspace{0.1em} \in \hspace{0.04em} n} \Bigr \}\).

L'interpolation polynomiale Lagrangienne nous dit qu'il est possible de construire un polynôme unique passant par chaque point de cette série de valeurs.

Cette méthode permet alors de déterminer l'expression de cette fonction polynomiale .

Il y aura deux manières de générer ce polynôme :

Par la construction directe d'un polynôme \(L(X) = \sum L_j(X)\)

Par la construction d'un polynôme \(P_n(X)\), en trouvant l'unique solution pour les coefficients \(\bigl \{a_0, \ a_1, \ ..., \ a_n \bigr \} \) inconnues du système \( (S) \)

Étant donné le système \( (S) \) suivant :

On peut trouver ses solutions au moins de deux manières différentes :

1. En résolvant directement le système \( (S) \) par substitution ou par un pivot de Gauss
$$ P_n(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \hspace{0.1em}... \hspace{0.1em}+ a_n X^n $$

Avec \( \bigl \{a_0, \ a_1, \ ..., \ a_n \bigr \} \) comme valeurs de la solution unique du système \( (S)\)

2. En résolvant le système matriciel correspondant \( (S^*) \)
$$ (S^*) \enspace \Longleftrightarrow \enspace \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n \\ \end{pmatrix} } _\text{X} \times \underbrace{ \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ a_2 \\ . \\ a_n \\ \end{pmatrix} } _\text{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ . \\ y_n \\ \end{pmatrix} } _\text{Y} $$

Et à ce moment-là :

$$ P_n(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \hspace{0.1em}... \hspace{0.1em}+ a_n X^n $$

$$ \forall k \in [\![ 0, n]\!], \enspace a_k = \frac{det(X_k)}{det(X)}$$

Où \(X_k\) représente la matrice carrée formée par la matrice \(X\) dans laquelle on a interverti sa \(k\)-ième colonne avec la matrice colonne \(Y\).

Le lien entre intégrales et primitives

Soit une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I = \bigl[a, b \bigr]\).

Théorème fondamental du calcul intégral

À partir d'une intégrale définie, il est possible de déterminer une primitive \(S \) de \(f\).

Cette primitive sera la primitive de \(f\) qui s'annule en \(a\) :

On pourra alors définir une primitive à l'aide de cette intégrale :

Inversement, à partir d'une primitive \(F\) de la fonction \(f\), il est possible de déterminer l'intégrale entre deux bornes \(a\) et \(x\).

Ou plus précisément, pour deux bornes fixes \(a\) et \(b\) :

La longueur d'une courbe sur un intervalle

Soit une fonction \(f\) continue sur un intervalle \(I = \bigl[a, b \bigr]\), et \( n \in \mathbb{N}\) un entier naturel.

La longueur de la courbe de \(f\) sur l'intervalle \(I\) vaut :

Par ailleurs, on peut aussi exprimer cette longueur sous la forme d'une intégrale de Riemann :

La méthode de Newton

Cette méthode consiste à calculer une certaine valeur plus ou moins connue, mais que l'on souhaiterait approximer plus précisément. La méthode se fait par itération successive.

Soit \( f \) une fonction convexe (resp. concave) et strictement croissante (resp. décroissante) et positive sur un intervalle \( I \) et \( a_0 \) un réel appartenant à \( I \) tel que \( f(a_0) > 0 \) (resp. \( f(a_0) < 0 \)).

La méthode consisite à déterminer le réel \( x_0 \in I \), tel que : \( f(x_0) = 0 \)

Généralement, on va déterminer la valeur de \( x_0 \) pour laquelle \( f \) s'annule sur \( I \).

Et cette valeur équivaut à :

Les méthodes d'intégration des fractions rationnelles

Avec un dénominateur du second degré seul \( : {\displaystyle \int^x} \frac{1}{Q_2(t)} \ dt \)

• \( \alpha) \) Le discriminant est positif \(: \Delta > 0 \)
$$\forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{x_1, x_2 \bigr \} \Bigr],$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \ \ln \left| \frac{x-x_1}{x-x_2} \right|, \hspace{2em} \text{avec } \left \{ \begin{gather*} x_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\ x_2 = \frac{- p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{gather*} \right \} \qquad \bigl(si \ \Delta = p^2 - 4q > 0 \bigr) $$

Dans le cas spécifique où \((p=0, \ q-1)\), on a en prime une définition explicite de la fonction \(\operatorname{Arctanh}\) :

$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$
$$\operatorname{Arctanh}(x) = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right|$$
• \( \beta) \) Le discriminant est nul \(: \Delta = 0 \)
$$\forall x \in \hspace{0.04em} \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.04em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ -\frac{p}{2} \Bigr \} \biggr],$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = - \frac{1}{ x + \frac{p}{2} } \qquad \bigl(si \ \Delta = p^2 - 4q = 0 \bigr) $$
• \( \gamma) \) Le discriminant est négatif \(: \Delta < 0 \)
$$\forall x \in \mathbb{R},$$
$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \ \operatorname{Arctan} \left (\frac{x + \frac{p}{2}}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \right ) \qquad \bigl(si \ \Delta = p^2 - 4q < 0 \bigr) $$

Avec un numérateur du premier degré et un dénominateur du second degré \( : {\displaystyle \int^x} \frac{P_1(t)}{Q_2(t)} \ dt \)

Récapitulatif des méthodes d'intégration et primitives

Les méthodes d'intégration des fractions rationnelles avec racines carrées

Soit \(a \in \mathbb{R}\) un nombre réel.

Intégrales en \(\sqrt{a^2 - t^2}\)

1. Fraction avec une racine au dénominateur \( : \frac{1}{\sqrt{a^2 - t^2}}\)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, \ \forall x \in \hspace{0.04em} \Bigl [-|a|, \hspace{0.2em} |a| \Bigr], $$
$$ \int^x \frac{dt}{\sqrt{a^2 - t^2}} = \operatorname{Arcsin}\left(\frac{x}{|a|}\right) $$
2. Fraction avec \(t\) et une racine au dénominateur \( : \frac{1}{t\sqrt{a^2 - t^2}}\)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, \ \forall x \in \hspace{0.04em} \Bigl]-|a|, \hspace{0.2em} 0 \Bigr[ \hspace{0.04em} \cup \hspace{0.04em} \Bigl]0, \hspace{0.2em} |a| \Bigr[ , $$
$$ \int^x \frac{dt}{t\sqrt{a^2 - t^2}} = \frac{1}{2a} \ln\left|\sqrt{a^2 - x^2} - a \right| + \frac{1}{2a} \ln\left|\sqrt{a^2 - x^2} + a\right| $$
3. Fraction avec \(t^2\) et une racine au dénominateur \( : \frac{1}{t^2\sqrt{a^2 - t^2}}\)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, \ \forall x \in \hspace{0.04em} \Bigl]-|a|, \hspace{0.2em} 0 \Bigr[ \hspace{0.04em} \cup \hspace{0.04em} \Bigl]0, \hspace{0.2em} |a| \Bigr[ ,$$
$$ \int^x \frac{dt}{t^2\sqrt{a^2 - t^2}} = - \frac{1}{a^2} \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} $$
4. Racine simple \( : \sqrt{a^2 - t^2} \)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, \ \forall x \in \hspace{0.04em} \Bigl [-|a|, \hspace{0.2em} |a| \Bigr], $$
$$ \int^x \sqrt{a^2 - t^2} \ dt = \frac{a^2}{2} \operatorname{Arcsin}\left(\frac{x}{|a|}\right) + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} $$

Intégrales en \(\sqrt{a^2 + t^2}\)

1. Fraction avec une racine au dénominateur \( : \frac{1}{\sqrt{a^2 + t^2}}\)
1. En posant \( t = |a| \ \sinh(u)\)
$$\forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, \ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, $$
$$ \int^x \frac{dt}{\sqrt{a^2 + t^2}} = \operatorname{Arcsinh}\left(\frac{x}{|a|} \right) $$
2. En posant \( t = |a| \ \tan(u)\)
$$ \Bigl[ \forall (a,x) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2 \Bigr] \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ (0,0) \Bigr \} , $$
$$ \int^x \frac{dt}{\sqrt{a^2 + t^2}} = \ln \left|\sqrt{ a^2 + x^2 } + x\right|$$

Les deux expressions précédentes ayant un membre commun, elles sont égales à une constante près et ont a en prime une définition explicite de la fonction \(\operatorname{Arcsinh}\) avec \(a = 1\) :

$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ \operatorname{Arcsinh}(x) = \ln \left| x + \sqrt{ 1 + x^2 } \right| $$
2. Fraction avec \(t\) et une racine au dénominateur \( : \frac{1}{t\sqrt{a^2 + t^2}}\)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^+, \ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*,$$
$$ \int^x \frac{dt}{t\sqrt{a^2 + t^2}} = \frac{1}{2a} \ln\left|\sqrt{a^2 + x^2}-a\right| - \frac{1}{2a} \ln \left|\sqrt{a^2 + x^2} + a\right| $$
3. Fraction avec \(t^2\) et une racine au dénominateur \( : \frac{1}{t^2\sqrt{a^2 + t^2}}\)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^+, \ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, $$
$$ \int^x \frac{dt}{t^2\sqrt{a^2 + t^2}} =- \frac{1}{a^2} \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}$$
4. Racine simple \( : \sqrt{a^2 + t^2} \)
$$ \Bigl[ \forall (a,x) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2 \Bigr] \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ (0,0) \Bigr \} , $$
$$ \int^x \sqrt{a^2 + t^2} \ dt = \frac{x \ \sqrt{a^2 +x^2} + a^2 \ \ln\left|\sqrt{a^2 +x^2} + x \right|}{2} $$

Intégrales en \(\sqrt{t^2 - a^2}\)

1. Fraction avec une racine au dénominateur \( : \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}}\)
1. En posant \(t = |a| \ \cosh(u) \)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^+, \ \forall x \in \hspace{0.04em} ]a, +\infty[, $$
$$ \int^x \frac{dt}{\sqrt{t^2 - a^2}} = \operatorname{Arccosh}\left( \frac{x}{a}\right) $$
2. En posant \(t = |a| \ \sec(u) \)
$$ \Bigl[ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, \ \forall x \in \Bigl] -\infty, -|a| \Bigr[ \hspace{0.04em} \cup \hspace{0.04em} \Bigl]|a|, +\infty \Bigr[ \Bigr] \lor \Bigl[ (x = 0) \land (x > 0) \Bigr],$$
$$\int^x \frac{dt}{\sqrt{t^2 - a^2}} = \ln \left| \sqrt{ x^2 - a^2 } + x \right| $$

Les deux expressions précédentes ayant un membre commun, elles sont égales à une constante près et ont a en prime une définition explicite de la fonction \(\operatorname{Arccosh}\) avec \(a = 1\) :

$$ \forall x \in [1, +\infty[,$$
$$ \operatorname{Arccosh}(x) = \ln \left| x + \sqrt{ x^2 - 1} \right| $$
2. Fraction avec \(t\) et une racine au dénominateur \( : \frac{1}{t\sqrt{t^2 - a^2}}\)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^+, \ \forall x \in \Bigl] -\infty, -|a| \Bigr[ \hspace{0.04em} \cup \hspace{0.04em} \Bigl]|a|, +\infty \Bigr[,$$
$$ \int^x \frac{dt}{t\sqrt{t^2 - a^2}} = \frac{1}{a} \operatorname{Arctan} \left(\frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a} \right) $$
3. Fraction avec \(t^2\) et une racine au dénominateur \( : \frac{1}{t^2\sqrt{t^2 - a^2}}\)
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^+, \ \forall x \in \Bigl] -\infty, -|a| \Bigr[ \hspace{0.04em} \cup \hspace{0.04em} \Bigl]|a|, +\infty \Bigr[, $$
$$ \int^x \frac{dt}{t^2\sqrt{t^2 - a^2}} =\frac{1}{a^2} \frac{\sqrt{ x^2 - a^2 } }{x}$$
4. Racine simple \( : \sqrt{ t^2 - a^2} \)
$$ \Bigl[ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, \ \forall x \in \Bigl] -\infty, -|a| \Bigr[ \hspace{0.04em} \cup \hspace{0.04em} \Bigl]|a|, +\infty \Bigr[ \Bigr] \lor \Bigl[ (x = 0) \land (x > 0) \Bigr], $$
$$ \int^x \sqrt{t^2 - a^2} \ dt = \frac{ x\sqrt{x^2 - a^2} - a^2 \ \ln \left| x+ \sqrt{x^2 - a^2} \ \right| }{2} $$

Récapitulatif des méthodes d'intégration et primitives

Les primitives des fonctions trigonométriques

Les fonctions trigonométriques de base : \(\sin(x), \cos(x), \tan(x)\)

La fonction sinus \( : {\displaystyle \int^x} \sin(t) \ dt \)

La fonction \( \sin(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction cosinus \( : {\displaystyle \int^x} \cos(t) \ dt \)

La fonction \( \cos(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction tangente \( : {\displaystyle \int^x} \tan(t) \ dt \)

La fonction \( \tan(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

Les fonctions trigonométriques de base réciproques : \(\operatorname{Arcsin}(x)\), \(\operatorname{Arccos}(x)\), \( \operatorname{Arctan}(x)\)

La fonction arcsinus \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arcsin}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arcsin}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sin(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction arccosinus \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arccos}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arccos}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cos(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction arctangente \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arctan}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arctan}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \tan(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

Les fonctions trigonométriques sécantes : \(\csc(x), \sec(x), \cot(x)\)

La fonction cosécante \( : {\displaystyle \int^x} \csc(t) \ dt \)

La fonction \( \csc(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitives :

1. Par les fonctions trigonométriques sécantes
$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ k\pi \bigr \} \Bigr],$$
$$\int^x \csc(t) \ dt = \ln \left|\csc(x) -\cot(x) \right|$$
2. En passant par les règles de Bioche
$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ k\pi \bigr \} \Bigr],$$
$$\int^x \csc(t) \ dt = \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}\right) \right| $$

La fonction sécante \( : {\displaystyle \int^x} \sec(t) \ dt \)

La fonction \( \sec(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitives :

1. Par les fonctions trigonométriques sécantes
$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr \} \biggr], $$
$$\int^x \sec(t) \ dt = \ln \left|\sec(x) + \tan(x) \right|$$
2. En passant par les règles de Bioche
$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr \} \biggr], $$
$$\int^x \sec(t) \ dt = \ln \left| \tan\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| $$

La fonction cotangente \( : {\displaystyle \int^x} \cot(t) \ dt \)

La fonction \( \cot(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

Les fonctions trigonométriques sécantes réciproques : \(\operatorname{Arccsc}(x)\), \(\operatorname{Arcsec}(x)\), \( \operatorname{Arccot}(x)\)

La fonction arccosécante \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arccsc}(x)(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arccsc}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \csc(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction arcsécante \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arcsec}(x)(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arcsec}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sec(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction arccotangente \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arccot}(x)(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arccot}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cot(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

Les fonctions hyperboliques : \(\sinh(x), \cosh(x), \tanh(x)\)

La fonction sinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \sinh(t) \ dt \)

La fonction \( \sinh(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction cosinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \cosh(t) \ dt \)

La fonction \( \cosh(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction tangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \tanh(t) \ dt \)

La fonction \( \tanh(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

Les fonctions hyperboliques réciproques : \( \operatorname{Arcsinh}(x)\), \(\operatorname{Arccosh}(x)\), \( \operatorname{Arctanh}(x)\)

La fonction arcsinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arcsinh}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arcsinh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sinh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

Elle admet pour primitive :

La fonction arccosinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arccosh}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arccosh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cosh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

Elle admet pour primitive :

La fonction arctangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arctanh}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arctanh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \tanh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

Elle admet pour primitive :

Les fonctions sécantes hyperboliques : \(\operatorname{csch}(x), \operatorname{sech}(x), \operatorname{coth}(x)\)

La fonction cosécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{csch}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{csch}(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitives :

1. Par les fonctions trigonométriques sécantes
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, $$
$$\int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = \ln \left|\operatorname{csch}(x) -\operatorname{coth}(x) \right|$$
2. En passant par le changement de variable \(u = e^t\)
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*,$$
$$\int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = \ln \left| \operatorname{coth}\left(\frac{x}{2} \right) \right|$$

La fonction sécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{sech}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{sech}(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitives :

1. Par les fonctions trigonométriques sécantes
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$\int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = \operatorname{Arctan}(\sinh(x)) $$
2. En passant par le changement de variable \(u = e^t\)
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
$$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = 2 \ \operatorname{Arctan}(e^x) $$

La fonction cotangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{coth}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{coth}(x) \) est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

Les fonctions sécantes hyperboliques réciproques : : \(\operatorname{Arccsch}(x)\), \(\operatorname{Arcsech}(x)\), \( \operatorname{Arccoth}(x)\)

La fonction arccosécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arccsch}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arccsch}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{csch}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction arcsécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arcsech}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arcsech}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{sech}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

La fonction arccotangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arccoth}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arccoth}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{coth}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Elle admet pour primitive :

Récapitulatif des primitives de fonctions trigonométriques

Les primitives usuelles et méthodes générales d'intégration

Étant donné que chaque primitive d'une fonction donnée est égale à une constante près, on utilisera la notation \({\displaystyle \int^x} f(t) \ dt \), signifiant cette famille de primitives (ou primitive générale).

On utilisera par fois lettre majuscule d'une fonction pour signifier sa primitive .

Rappel sur les primitives usuelles

Un certain nombre de primitives peuvent être directement calculées en prenant le chemin inverse de la dérivée ou par une intégration par parties .

Pour d'autres, il faut considérer chaque cas comme spécifique.

Ce tableau récapitule les primitives directement déterminées à partir de l'opération inverse de la dérivée , à savoir :

Méthodes générales d'intégration

Intégration par parties

Intégration par substitution

Soit \(\phi : t \longmapsto \phi(t) \) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \( J \subset f(I) \).

L'intégration par substitution constitue la transposition de la dérivation de fonctions composées , appliquée au calcul intégral .

Récapitulatif des méthodes d'intégration générales

Le principe de superposition

Soit \( (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels et :

• une série de fonctions continues \( a_1(x), a_2(x), \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}, a_n(x) \)

• une série de fonctions \( f_1(x), f_2(x), \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em}, f_m(x) \)

Soit \( y(x) \) une fonction de classe \( \mathbb{C}^{n}\) sur un intervalle \(I\). On note \(y^{(n)}\) sa dérivée \(n\)-ième.

Dans le cadre de la résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre \(n\) où le second membre est une combinaison linéaire de fonctions telle que \( (E)\) :

avec pour tout \( k \in [\![ 1, m ]\!] \), la fonction \( (y_k) \) comme solution particulière de l'équation \( (E_k) \) :

Le principe de superposition nous dit que :

Les propriétés des intégrales

Soient deux fonctions \(f, g\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \(I = \bigl ]a,b \bigr[\), et une fonction \(F\) primitive de \(f\).

L'intégrale de \(a\) vers \(b\) est l'aire située entre l'axe des abscisses la courbe de \(f\) , entre les points \(a\) et \(b\) (voir lien entre intégrales et primitives ).

Fonction définie par une intégrale

Intégrale de a vers a

Intégrale de b vers a

Relation de Chasles

Linéarité

L'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire de l'intégrale de chaque fonction.

Positivité

De la même manière, si \( f(x) \leqslant 0 \) sur \( \bigl[a, b \bigr] \),

Croissance

Valeur moyenne

Théorème de la moyenne

Inégalité de la moyenne

Propriété du roi

Récapitulatif des propriétés des intégrales

La règle de L'Hôpital : une méthode de levée d'indétermination

Soit \( f, g\) deux fonctions définies sur \( I = \bigl[a,b \bigr]\) et leur dérivée respective \( f', g'\) définies sur \(]a , b [\).

De même, soit \( \alpha \in \overset{-}{I}\cup{\{\infty\}} \) un point ou une extrémité de l'intervalle \( I\) ; \( \alpha \) étant un point ou une extrémité, il peut alors prendre n'importe quelle valeur, y compris \( -\infty \) ou \( +\infty \).

Pour calculer la limite en \( \alpha\) d'une fonction sous forme de quotient présentant une forme indéterminée de type \( \left[ \frac{0}{0} \right]\) ou \( \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right]\), il peut y avoir un intérêt à employer cette méthode, dans le but de lever l'indétermination.

La règle de L'Hôpital nous dit que :

La résolution d'équa. diff. lin. d'ordre 1 \( (EDL_1) \) à coefficient continu

Soit \( y \) une fonction de classe \( \mathbb{C}^{1}\) sur un intervalle \( I\).

De même, \( a(x)\) une fonction continue et \( f(x)\) une fonction quelconque.

Soit \( (E) \) une équation différentielle linéaire d'ordre \( 1 \) à coefficient continu, et \( (H) \) son équation homogène associée :

Résolution de l'équation homogène \( (H) \)

\( y_h = 0 \) est solution, mais considérant \( y_h \) différente de la fonction nulle, la fonction \(y_h\) suivante sera solution homogène de \( (H) \) :

Résolution de l'équation générale \( (E) \)

La fonction \(y_p\) sera solution particulière de \( (E) \) :

On aura comme solution totale de \( (E) \), l'addition de ces deux solutions :

La résolution des équa. diff. lin. d'ordre 2 \( (EDL_2) \) à coefficients constants

Soit \( y \) une fonction de classe \( \mathbb{C}^{2}\) sur un intervalle \( I\).

De même, soit \( (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2\) deux coefficients et \( f(x)\) une fonction quelconque.

Soit \( (E) \) une équation différentielle linéaire d'ordre \( 2 \), et \( (H) \) son équation homogène associée :

Résolution de l'équation homogène \( (H) \)

Si \( y = 0 \), alors \( y_h = 0 \) est solution évidente, mais considérant \( y \) différente de la fonction nulle, on aura dans un premier temps à calculer le discriminant \( \Delta \) de l'équation caractéristique \( (E_c) \) :

Après l'examen du discriminant \( (\Delta = a^2 -4b) \), selon les cas la fonction \(y_h\) sera solution homogène de \( (H) \) :

• \( \alpha) \ \Delta > 0 \) : deux racines distinctes \( \alpha, \beta \)
$$ \left \{ \begin{gather*} \alpha = \frac{-a - \sqrt{\Delta}}{2} \\ \beta = \frac{-a + \sqrt{\Delta}}{2} \end{gather*} \right \} $$
$$ y_h =c_1\hspace{0.1em} e^{\alpha x} +c_2 e^{\beta x} \qquad (\text{avec} \enspace (c_1,c_2) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2) $$
• \( \beta) \ \Delta > 0 \) : une racine double \( \alpha \)
$$\alpha = \frac{-a}{2} $$
$$ y_h =c_1\hspace{0.1em} e^{\alpha x} +c_2 \hspace{0.2em} x \hspace{0.2em} e^{\alpha x} \qquad (\text{avec} \enspace (c_1,c_2) \in \hspace{0.1em} \mathbb{R}^2) $$
• \( \gamma) \ \Delta < 0 \) : deux racines complexes conjuguées \( \alpha, \overline{\alpha} \)
$$ \left \{ \begin{gather*} \alpha = \frac{-a - i\sqrt{|\Delta}|}{2} \\ \overline{\alpha} = \frac{-a + i\sqrt{|\Delta}|}{2} \end{gather*} \right \} $$
$$ y_h = e^{Ax} \Biggl[c_1\hspace{0.1em} \cos(Bx) +c_2 \hspace{0.1em} \sin(Bx) \Biggr] \qquad \text{avec} \enspace \left \{ \begin{gather*} (c_1,c_2)\in \hspace{0.04em}\mathbb{R}^2 \\ A = -\frac{a}{2} \enspace et \enspace B = \frac{ \sqrt{|\Delta|} }{2} \end{gather*} \right \} $$

Résolution de l'équation générale \( (E) \)

Ayant déterminé les constantes \((c_1, c_2) \) et les solutions \((y_1, y_2) \) selon le résultat du calcul de \(\Delta\), on a trouvé comme solution pour \((H) \) :

Pour déterminer une solution particulière de \( (E) \) on résout le système \( (S) \) :

Si \(det(Y)\neq 0\), alors le système \( (S) \) admet des solutions qui sont :

La fonction \(y_p\) sera solution particulière de \( (E) \) :

On aura comme solution totale de \( (E) \), l'addition de ces deux solutions :

La résolution d'équations du second degré (équations quadratiques)

Une équation du second degré est de la forme :

Résolution et factorisation

Les solutions pour \( X \) lesquelles \( P_2(X) = 0 \) sont appelées les racines du polynôme .

Elles permettent d'obtenir une forme factorisée.

Trois cas sont à envisager après calcul du discriminant \( \Delta \) :

• \( \alpha) \) si \(\Delta > 0 \) : deux racines distinctes \( X_1, \ X_2 \)
$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$
$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

Et \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :

$$ P_2(X) = a(X - X_1)(X - X_2) $$
• \( \beta) \) si \( \Delta = 0 \) : une racine double \( X_0 \)
$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$

Et \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :

$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$
• \( \gamma) \) si \(\Delta < 0 \) : deux racines complexes conjuguées \( C_1, \ C_2 \)
$$ C_1 = \frac{- b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$
$$ C_2 = \frac{- b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$

Et \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :

$$ P_2(X) = a(X - C_1)(X - C_2) $$

Lien entre coefficients et racines

Par ailleurs, on aura aussi dans le cas général ces deux relations entre les coefficients et racines :

La résolution d'équations du troisième degré (équation cubique)

Une équation du troisième degré est de la forme :

Existence de racine(s) évidente(s)

S'il existe une ou plusieurs racines évidentes, alors on peut factoriser le polynôme et le réduire à un degré inférieur.

Détermination du nombre de racines réelles selon les cas

Après calcul du discriminant \(\Delta_3\) :

On a le nombre de racines réelles suivantes selon les cas :

Résolution

1. si \( (\Delta_3 > 0) \)
• une racine réelle simple
$$ X_1 = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta_3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta_3}}{2}} - \frac{b}{3a} $$
• deux racines complexes
$$ C_2 = e^{\frac{2i\pi}{3}} \ \ \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta_3}}{2}} + e^{-\frac{2i\pi}{3}} \ \ \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta_3}}{2}} - \frac{b}{3a} $$
$$ C_3 = e^{\frac{2i\pi}{3}} \ \ \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta_3}}{2}} + e^{-\frac{2i\pi}{3}} \ \ \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta_3}}{2}} - \frac{b}{3a} $$

Et \( P_3(X) \) se factorise de la sorte :

$$ P_3(X) = a(X - X_1)(X - C_2)(X - C_3) $$
2. si \( (\Delta_3 = 0) \)
• une racine réelle simple
$$ X_1 = 2\sqrt[3]{-\frac{q}{2}} - \frac{b}{3a} $$
• une racine réelle double
$$ X_2 = X_3 = -\sqrt[3]{-\frac{q}{2}} - \frac{b}{3a} $$

Et \( P_3(X) \) se factorise de la sorte :

$$ P_3(X) = a(X - X_1)(X - X_2)^2 $$

Par ailleurs, ces trois solutions peuvent s'écrire plus simplement :

• une racine réelle simple
$$ X_1 = \frac{3q}{p} - \frac{b}{3a} $$
• une racine réelle double
$$ X_2 = X_3 = -\frac{3q}{2p} - \frac{b}{3a} $$
3. si \( (\Delta_3 < 0) \)
• trois racines réelles
$$ X_1 = \sqrt[3]{\frac{-q \ + \ i\sqrt{-\Delta_3}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{-q \ - \ i\sqrt{-\Delta_3}}{2}} - \frac{b}{3a} $$
$$ X_2 = e^{\frac{2i\pi}{3}}\sqrt[3]{\frac{-q \ + \ i\sqrt{-\Delta_3}}{2}} + e^{-\frac{2i\pi}{3}}\sqrt[3]{\frac{-q \ - \ i\sqrt{-\Delta_3}}{2}} - \frac{b}{3a} $$
$$ X_3 = e^{\frac{2i\pi}{3}}\sqrt[3]{\frac{-q \ - \ i\sqrt{-\Delta_3}}{2}} + e^{-\frac{2i\pi}{3}}\sqrt[3]{\frac{-q \ + \ i\sqrt{-\Delta_3}}{2}} - \frac{b}{3a} $$

Même si elles apparaissent sous forme complexe , après la résolution ces solutions deviennent bien réelles .

Et \( P_3(X) \) se factorise de la sorte :

$$ P_3(X) = a(X - X_1)(X - X_2)(X - X_3) $$

Les séries de Fourier

Soient \(f(t)\) une fonction \(T\)-périodique.

La notation trigonométrique

L'hypothèse de Fourier est que l'on peut reconstruire cette fonction comme étant une somme de cosinus et de sinus :

Avec le premier coefficient \(a_0\) :

Et les deux coefficients \((a_n, \ b_n)\) :

La notation exponentielle

En passant à la notation exponentielle , on n'a tout dans un somme unique :

Ainsi qu'un unique coefficient \((c_n)\) :

Le théorème des accroissements finis

Ce théorème est une conséquence directe du théorème de Rolle .

Soit une fonction \(f(x)\) continue sur un intervalle \(\bigl[a,b \bigr]\), et dérivable sur \(\bigl ]a,b \bigr[\).

Les critères de convergence des séries

Séries à termes positifs

Critère fondamental de convergence

Soit une suite \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\).

Alors, si une suite admet une limite non nulle, on en déduit directement qu' elle est divergente .

Comparaison avec une série de référence

Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite à termes positifs dont on souhaite connaître la nature.

On peut comparer cette suite terme à terme avec autre une suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) dont la nature est connue.

De manière symétrique, on a le complément :

Règle de D'Alembert

Règle de Cauchy

Règle des \(n^{\alpha} u_n\)

Soit deux séries à termes positifs \(\Bigl(\sum u_n, \sum v_n \Bigr)\).

Comparaison série-intégrale

1. Cas d'une fonction croissante

Soit \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite à termes positifs et \(f(n)\) sa fonction continue par morceaux associée croissante .



On peut encadrer une série par deux intégrales pour en obtenir une approximation, telle que :

Pour toute fonction \(f\) continue par morceaux et croissante ,

$$ \int_{0}^n f(t) \ dt \leqslant \sum_{k = 0}^n f(k) \leqslant \int_{1}^{n + 1} f(t) \ dt $$
$$ (\text{avec } u_n = f(n)) $$

2. Cas d'une fonction décroissante

Si dans le cas contraire, la fonction \(f(n)\) associée est décroissante , alors les places s'inversent :



Pour toute fonction \(f\) continue par morceaux et décroissante ,

$$ \int_{1}^{n + 1} f(t) \ dt \leqslant \sum_{k = 0}^n f(k) \leqslant \int_{0}^n f(t) \ dt $$
$$ (\text{avec } u_n = f(n)) $$

Séries alternées

Critère spécial des séries alternées

Pour toute suite décroissante à termes positifs \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) et sa série alternée \((A_n)\) :

Les propriétés des séries convergentes

Multiplication par un réel

Addition

1. Si les deux séries convergent
$$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr),$$
$$ \sum a_n \text{ et } \sum b_n \text{ convergent } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ converge } $$
$$ \Longrightarrow $$
$$ \sum_{k = 0}^{+ \infty} (a_k + b_k) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_k + \sum_{k = 0}^{+ \infty} b_k $$
2. Si une des deux séries diverge
$$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr),$$
$$ \sum a_n \text{ converge et } \sum b_n \text{ diverge } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ diverge } $$

Identification de séries ayant la même nature

De plus, si \((l = 1)\) les deux suites sont équivalentes , alors :

Les propriétés des sommes

Soient \( \bigl(a_n, b_n\bigr) \) deux suites numériques.

Linéarité

Changement d'indice

Soit un entier naturel \( n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \).

1. Somme simple

1. Inversion du sens

$$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
$$ \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{i = 0}^n a_{n - i} $$

2. Décalage vers le zéro

$$ \forall (p, n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace p \leqslant n, $$
$$ \sum_{k = p}^n a_k = \sum_{i = 0}^{n - p} a_{p + i} $$
2. Somme double

1. Somme indépendante des indices

Dans le cas d'une somme double indéxée par un rectangle \( [\![1,m]\!] \times [\![1,n]\!] \) :

$$ \forall (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2,$$
$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^m a_{i, j} $$

2. Somme dépendante des indices

Dans le cas d'une somme double triangulaire :

$$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{i, j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^j a_{i, j} $$

Le téléscopage de termes d'une série numérique récurrente

Lorsqu'on soustrait deux termes consécutifs à l'intérieur d'une somme, on peut effectuer un téléscopage de termes :

Les propriétés des suites numériques

Théorème de Cesàro

Soient \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite numérique.

Alors, si \((u_n)\) tend vers une certaine limite, sa moyenne tend vers cette même limite.

Terme général d'une suite récurrente d'ordre 2, combinaison linéaire de ces termes précédents

Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite numérique récurrente d'ordre 2 non nulle, et combinaison linéaire de ces deux termes précédents telle que :

Alors, on peut déterminer le terme général de cette suite :

Les sommes usuelles \( : \sum k, \ \sum k^2, \ \sum k^3, \ \sum (2k+1)... \)

Soient \((a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2\) deux entiers naturels.

La somme des entiers naturels \( : \sum k\)

1. Les premiers termes

La somme des \( (n + 1) \) premiers entiers naturels, à savoir de \(0\) à \(n\), vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
2. Généralisation : somme de a jusqu'à n

De manière générale, cette somme allant de \((k = a) \) jusque \(n\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, $$
$$ \sum_{k =a}^{n} k = \frac{(n + a)(n+1- a)}{2} $$

La somme des carrés d'entiers naturels \( : \sum k^2\)

1. Les premiers termes

La somme des \( (n + 1) \) premiers carrés naturels, à savoir de \(0\) à \(n\), vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
2. Généralisation : somme de a jusqu'à n

De manière générale, cette somme allant de \((k = a) \) jusque \(n\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, $$
$$ \sum_{k =a}^{n} k^2 = \frac{1}{6} \Bigl( n+1-a\Bigr) \biggl( n(2n+1) + a(2n +2a -1)\biggr) $$

La somme des cubes d'entiers naturels \( : \sum k^3\)

1. Les premiers termes

La somme des \( (n + 1) \) premiers cubes naturels, à savoir de \(0\) à \(n\), vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n k^3 = \frac{n^2 (n+1)^2 }{4} $$

Et par ailleurs,

$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n k^3 = \Biggl( \hspace{0.1em} \sum_{k = 0}^n k \hspace{0.1em} \Biggr)^2$$
2. Généralisation : somme de a jusqu'à n

De manière générale, cette somme allant de \((k = a) \) jusque \(n\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, $$
$$ \sum_{k =a}^{n} k^3 = \frac{1}{4} \Bigl( n+1-a\Bigr) \biggl( n^2(n+1) + a(n^2 + an +a^2 - a)\biggr) $$

La somme des nombres impairs \( : \sum (2k +1) \)

1. Les premiers termes

La somme des \( (n + 1) \) premiers nombres impairs, à savoir de \(0\) à \(n\), vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n (2k +1) = (n+1)^2 $$
2. Généralisation : somme de a jusqu'à n

De manière générale, cette somme allant de \((k = a) \) jusque \(n\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, $$
$$ \sum_{k =a}^{n} (2k +1) = (n + 1+ a)(n+1- a) $$

La somme des nombres pairs \( : \sum (2k) \)

1. Les premiers termes

La somme des \( (n + 1) \) premiers nombres pairs, à savoir de \(0\) à \(n\), vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{k = 0}^n (2k) = n(n+1) $$
2. Généralisation : somme de a jusqu'à n

De manière générale, cette somme allant de \((k = a) \) jusque \(n\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, $$
$$ \sum_{k =a}^{n} (2k) = (n + a)(n+1- a) $$

La somme des termes d'une suite arithmétique \( : \sum (u_0 + kr) \)

1. Les premiers termes

La somme des \( (n + 1) \) premiers termes d'une suite arithmétique, à savoir de \(0\) à \(n\), vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (u_0, r) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$
$$ \sum_{k = 0}^n (u_0 + kr) = \Bigl(n + 1 \Bigr) \Biggl( \frac{u_0 + u_n}{2} \Biggr)$$
$$ (\text{avec} \enspace u_n = u_0 + nr) $$
2. Généralisation : somme de a jusqu'à n

De manière générale, cette somme allant de \((k = a) \) jusque \(n\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, $$
$$ \sum_{k = a}^n (u_0 + kr) = \Bigl(n + 1 - a\Bigr) \Bigg( \frac{u_0 + u_{n+a}}{2} \Biggr)$$
$$ (\text{avec} \enspace u_n = u_0 + nr) $$

La somme des puissances naturelles d'un nombre réel \( : \sum q^k\)

1. Les premiers termes

La somme des \( (n + 1) \) premières puissances d'un nombre, à savoir de \(0\) à \(n\), vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall q \in \hspace{0.04em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \ \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$
$$ \sum_{k = 0}^n q^k = \frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$
2. Généralisation : somme de a jusqu'à n

De manière générale, cette somme allant de \((k = a) \) jusque \(n\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace \forall q \in \hspace{0.04em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \ \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$
$$ \sum_{k =a}^{n} q^k = \frac{q^{n+1} - q^{a}}{q-1} $$

La somme des termes d'une suite geométrique \( : \sum (v_0 . q^k) \)

1. Les premiers termes

La somme des \( (n + 1) \) premiers termes d'une suite géométrique, à savoir de \(0\) à \(n\), vaut :

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.04em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \ \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$
$$ \sum_{k = 0}^n (v_0.q^k ) = v_0.\frac{q^{n+1} - 1}{q-1} $$
2. Généralisation : somme de a jusqu'à n

De manière générale, cette somme allant de \((k = a) \) jusque \(n\) vaut :

$$ \forall (a,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace \forall v_0 \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, \ \forall q \in \hspace{0.04em} \Bigl[ \mathbb{R} \ \backslash \ \bigl \{0,1 \bigr \} \Bigr] , $$
$$ \sum_{k =a}^{n} v_0.q^k = v_0.\frac{q^{n+1} - q^{a}}{q-1} $$

La somme d'un binôme \( : \sum \binom{n}{p} \)

1. Somme horizontale de 0 à n
$$\forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} = \hspace{0.2em} 2^n $$
2. Somme verticale de r à n
$$\forall (r, n) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2, \enspace r \leqslant n, $$
$$ \sum_{k=r}^n \binom{k}{r} = \binom{n+1}{r +1} $$

Sommes trigonométriques \( : \sum \bigl[\cos(k \theta) + i.\sin(kx)\bigr] \)

Ainsi, comme :

Alors :

La somme infinie des inverses des carrés naturels \( : \sum \frac{1}{k^2} \)

Équivalent de la somme des racines carrées \( : \sum \sqrt{k} \)

Récapitulatif des sommes usuelles

La suite de Fibonacci \((F_n)\) et le nombre d'or \((\varphi)\)

La suite de Fibonacci s'exprime de manière récurrente par :

En voici les premiers termes :

Formule de Binet

Le terme général de la suite de Fibonacci \((F_n)\) vaut :

Nombre d'or \((\varphi)\) :: quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci

En reprenant la formule de Binet précédente :

On détermine que le nombre d'or \((\varphi)\) est la limite du quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci :

Expressions des puissances du nombre d'or sous forme récurrente

1. Avec \(\varphi\) uniquement
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \varphi^{n + 2} = \varphi^{n + 1} + \varphi^{n} $$
2. Avec \(\varphi\) et \((F_n)\)
$$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
$$ \varphi^{n + 1} = \varphi F_{n + 1} + F_n $$

Expressions récursives sur nombre d'or

1. Avec des racines carrées

À partir de l'expression suivante :

$$ \varphi = \sqrt{\varphi + 1} \qquad (1) $$

On en déduit les deux suivantes.

1. Sous forme de racines carrées infinies
$$ \varphi = \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{1 + \dots} + 1} + 1} + 1} $$
2. Sous forme de suite récurrente
$$ \varphi = \lim_{n \to \infty} a_{n} $$
$$ \text{où } \Biggl \{ \begin{gather*} \text{la suite } a_n \text{ est exprimée sous forme récurrente } : a_{n + 1} = \sqrt{1 + a_{n}} \\ \text{son premier terme } : a_0 = 0 \end{gather*} $$
2. Avec des fractions

À partir de l'expression suivante :

$$ \varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \qquad (2) $$

On en déduit les deux suivantes.

1. Sous forme de fractions infinies
$$ \varphi = 1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \dots}}}} $$
2. Sous forme de suite récurrente
$$ \varphi = \lim_{n \to \infty} b_{n} $$
$$ \text{où } \Biggl \{ \begin{gather*} \text{la suite } b_n \text{ est exprimée sous forme récurrente } : b_{n + 1} = 1 + \frac{1}{b_n} \\ \text{son premier terme } : b_1 = 1 \end{gather*} $$

Glossaire des symboles mathématiques