La similarité de deux triangles

Deux triangles sont dits semblables lorsqu'ils ont leurs longueurs respectives proportionnelles et leurs angles respectivement égaux.

Cela implique alors un rapport $k$ entre les longueurs respectives, correspondant à un agrandissement, une réduction ou une conservation (si $k = 1$).

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \begin{Bmatrix} \overline{A'B'} = k \times \overline{AB}\\ \overline{B'C'} = k \times \overline{BC} \\ \overline{A'C'} = k \times \overline{AC} \end{Bmatrix} $$

$$ \begin{Bmatrix} \widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'} = \alpha \\ \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} = \beta \\ \widehat{BCA}= \widehat{B'C'A'} = \gamma \end{Bmatrix} $$

Il existe principalement trois cas de similarités de triangles.

Cas 1 : Trois côtés respectifs proportionnels

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs trois côtés respectifs proportionnels .

Cas 2 : Deux angles égaux deux-à-deux

Deux triangles sont semblables s'ils ont au moins deux angles deux-à-deux égaux .

Cas 3 : Un angle en commun et deux longueurs proportionnelles

Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle commun et qu'ils ont les deux longueurs respectives proportionnelles .

Démonstrations

Cas 1 : Trois côtés respectifs proportionnels

Soit un triangle $ABC$ et son image $A'B'C'$ avec les trois côtés proportionnels respectifs.

Similarité de deux triangles ayant leurs trois côtés respectifs proportionnels

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \begin{Bmatrix} \overline{AB} = k \times \overline{AB'}\\ \overline{BC} = k \times \overline{BC'} \\ \overline{AC} = k \times \overline{AC'} \end{Bmatrix} $$

Le triangle $A'B'C'$ est donc un agrandissement (ou un rétrécissement selon $k$) du triangle de départ $ABC$.

Les angles sont de même bien conservés, on peut le vérifier sur l'angle $ \beta $ car :

$$ \begin{Bmatrix} \cos(\beta) = \frac{AH}{AB}\\ \cos(\beta') = \frac{A'H'}{A'B'} = \frac{k \times AH }{k \times AB} = \frac{AH}{AB} \end{Bmatrix} \Longrightarrow \cos(\beta) = \cos(\beta') \qquad (1) $$

$$ \begin{Bmatrix} \sin(\beta) = \frac{BH}{AB}\\ \sin(\beta') = \frac{B'H'}{A'B'} = \frac{k \times BH }{k \times AB} = \frac{BH}{AB} \end{Bmatrix} \Longrightarrow \sin(\beta) = \sin(\beta') \qquad (2) $$

Grâce aux expressions $ (1)$ et $ (2)$, on peut voir que :

$$\beta = \beta' $$

Cas de simitude de deux triangles ayant leurs trois côtés respectifs proportionnels : conservation des mesures des angles

En répétant ce même processus pour les angles $ \alpha $ et $ \gamma $ correspondant respectivement aux sommets $ A $ et $ C $, on peut affirmer que :

$$ \begin{Bmatrix} \alpha = \alpha' \\ \beta = \beta' \\ \gamma = \gamma' \end{Bmatrix} $$

Ces deux triangles ont bien les mêmes mesures d'angles respectives.

Soit finalement,

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs trois côtés respectifs proportionnels .

Cas 2 : Deux angles égaux deux-à-deux

Soient deux triangles imbriqués $ABC $ et $ADE $, ayant deux angles en commun :

- $\alpha$ correspondant au sommet commun $A$
- $\beta$ correspondant aux sommets $B$ et $D$

Similarité de deux triangles ayant deux angles égaux deux-à-deux

Ayant deux angles deux-à-deux égaux, il évident que le troisième est aussi en commun car la somme des angles d'un triangle équivaut toujours à $ \pi$. Le troisième angle $ \gamma $ est donc égal à :

$$ \gamma = \pi - (\alpha + \beta) $$

Soit les égalités d'angles suivantes :

$$ \begin{Bmatrix} \widehat{BAC} = \widehat{DAE} = \alpha \\ \widehat{ABC} = \widehat{ADE} = \beta \\ \widehat{BCA}= \widehat{DEA} = \pi - (\alpha + \beta) \end{Bmatrix} $$

Par ailleurs, les longueurs $BC $ et $DE $ intersectant la même droite $(AB) $ avec un angle égal, on a $ (BC) \parallel (DE) $.

On peut donc appliquer le théorème de Thalès . On a les relations :

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = k $$

$$ \begin{Bmatrix} \overline{AD} = k \times \overline{AB}\\ \overline{AE} = k \times \overline{AC} \\ \overline{DE} = k \times \overline{BC} \end{Bmatrix} $$

On a bien les trois longueurs proportionnelles ainsi que les angles respectifs égaux.

Soit finalement,

Deux triangles sont semblables s'ils ont au moins deux angles deux-à-deux égaux .

Cas 3 : Un angle en commun et deux longueurs proportionnelles

Soient deux triangles imbriqués $ABC $ et $ADE $, ayant un sommet commun $A$ avec un angle commun correspondant $\alpha$, ainsi que deux côtés respectifs de même proportion, et tels que :

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \begin{Bmatrix} \overline{AD} = k \times \overline{AB}\\ \overline{AE} = k \times \overline{AC} \\ \widehat{BAC} = \widehat{DAE} = \alpha \end{Bmatrix} $$

Alors,

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = k \qquad (3) $$

Similarité de deux triangles ayant un angle commun et deux longueurs respectives proportionnelles

Or, avec la réciproque du théorème de Thalès, on sait que les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles entre elles.

Par conséquent, d'après le théorème direct, le troisième rapport $\frac{DE}{BC}$ est également égal aux deux autres, tel que :

$$ \exists! k \in \mathbb{R}, \ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} = k $$

Par ailleurs, on a vu avec le premier cas de similarités ci-avant que cela impliquait aussi la conservation des angles respectifs.

Alors,

Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle commun et qu'ils ont les deux longueurs respectives proportionnelles .