Le théorème de Thalès et sa réciproque

Dans un triangle, le théorème de Thalès implique des rapports de proportionnalité entre les longueurs.

Soit un triangle quelconque, dans lequel on trace une parallèle à un des côtés, et tel que la figure suivante :

Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés

Le théorème de Thalès nous dit que, dans un triangle $ADE$, s'il existe une droite $BC$ coupant $AD$ et $AE$ respectivement en $B$ et $C$ telle que $BC \parallel DE$, alors cela implique les rapports suivants entre les longueurs :

$$ BC \parallel DE \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès} \bigr) $$

Il est de même possible de l'appliquer dans un triangle inversé, tel que la figure suivante :

Extension du théorème

Enfin, par extension du théorème de Thalès , si nous avons établi les égalités suivantes entre les rapports :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB'}{AD'} = \frac{BB'}{DD'} $$

Ces rapports s'appliqueront de même à toutes les droites projetées (orthogonalement ou non) sur le côté $ DD' $.

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB_1}{AD_1} = \frac{AB_2}{AD_2}= \frac{AB'}{AD'} $$

Réciproque du théorème de Thalès

La réciproque du théorème de Thalès nous dit que si dans un triangle $ ADE $, avec une droite $ BC $ coupant $ AD $ et $ AE $ respectivement en $ B $ et $ C $, tel que la figure suivante :

Alors cela implique une relation de parallélisme :

$$ \left( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \right) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès (réciproque)} \bigr) $$

Par ailleurs, une seule des trois égalités peut suffire si ce sont les deux qui démarrent de l'angle commun :

$$ \left( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \right) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès (réciproque)} \bigr)^* $$

Équivalence du théorème de Thalès

Les deux implications forment l'équivalence :

$$ BC \parallel DE \Longleftrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès (équivalence)} \bigr) $$

Démonstrations

Soit un triangle ordinaire, dans lequel nous avons ajouté une droite $ BC $ coupant $ AD $ et $ AE $ respectivement en $ B $ et $ C $.

Théorème de Thalès

Partons de l'hypothèse que :

$$BC \parallel DE \qquad (H_1) $$

Pour prouver la véracité du théorème, ajoutons à ce triangle la hauteur $ AG $ coupant $ BC $ et $ DE $, respectivement en $ F $ et $ G $.

Un triangle quelconque avec une parallèle à un des côtés, plus une hauteur

Cela va nous permettre d'y appliquer les lois de la trigonométrie.

Trigonométrie dans la partie de gauche du triangle

On pose l'angle $\alpha$ comme étant :

$$ \alpha = \widehat{GDA} = \widehat{FBA} $$

On a pour les triangles $ ADG $ et $ ABF $ :

$$ \cos(\alpha) = \frac{DG}{DA} = \frac{BF}{BA} $$

On peut alors dire que :

$$ \frac{DG}{DA} = \frac{BF}{BA} $$

Soit que :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BF}{DG} \qquad (1) $$

De même, on a :

$$ \sin(\alpha) = \frac{AG}{AD} = \frac{AF}{AB} $$

$$ \frac{AG}{AD} = \frac{AF}{AB} $$

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AF}{AG} \qquad (2) $$

Or, on remarque un terme en commun $ \frac{AB}{AD} $ dans les équations $ (1) $ et $ (2) $, on peut alors obtenir une triple égalité :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{BF}{DG} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\frac{AF}{AG}} \qquad (3) $$

Nous allons effectuer le même procédé dans la partie droite du triangle.
Trigonométrie dans la partie de droite du triangle

En répétant le même schéma que précédemment, on obtient une nouvelle triple égalité :

$$ \frac{AC}{AE} = \frac{FC}{GE} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\frac{AF}{AG}} \qquad (4) $$
Égalité générale entre les rapports

On remarque à présent que dans $ (3) $ et $ (4) $, on a un terme en commun $ \frac{AF}{AG} $, tous ces rapports sont donc égaux entre eux :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \frac{FC}{GE} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\frac{AF}{AG}} \qquad (5) $$

Nous avons alors déjà prouvé que :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} $$

Il reste alors à prouver que ces deux rapports sont aussi égaux au troisième rapport : $ \frac{BC}{DE} $.

On sait par la propriété d'addition des numérateurs et dénominateurs entre eux d'une fraction que :

$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl(\mathbb{R}^* \bigr)^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$

$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d} $$
.

Dans notre cas, cela nous permet de dire que :

$$ \frac{BF}{DG} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\frac{FC}{GE}} = \frac{BF +FC}{DG + DE} $$

Et par suite :

$$ \frac{BF}{DG} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\frac{FC}{GE}} = \frac{BC}{DE} \qquad (6) $$

Comme avec la suite d'égalités $ (5) $, nous avions :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \textcolor{rgb(93 183 129)}{\frac{FC}{GE}} = \frac{AF}{AG} \qquad (5) $$

Les suites d'égalités dans $ (5) $ et $ (6) $ ayant au moins un terme en commun $ \frac{FC}{GE} $, alors le terme $ \frac{BC}{DE} $ est lui aussi bien égal à tous les autres, et :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BF}{DG} = \frac{FC}{GE} = \frac{AF}{AG} = \frac{BC}{DE} \qquad (5') $$

Nous avons alors déjà prouvé que :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} $$

Et finalement,

$$ BC \parallel DE \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès} \bigr) $$
Extension du théorème

Enfin, par extension du théorème de Thalès , si nous subdivisons notre triangle tel que la figure suivante :

Ces rapports s'appliqueront de même à toutes les droites projetées (orthogonalement ou non) sur le côté $ DD' $ :

$$ \frac{AB}{AD} = \frac{AB_1}{AD_1} = \frac{AB_2}{AD_2}= \frac{AB'}{AD'} $$

Réciproque du théorème de Thalès

Pour démontrer maintenant sa réciproque, partons de ces trois hypothèses différentes :

$ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \qquad (H_2) $
$ \frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE} \qquad (H_2') $
$ \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \qquad (H_2'') $

En utilisant la similarité des deux triangles

On sait grâce à la propriété suivante de la similarité de deux triangles que :

Deux triangles sont semblables s'ils ont leurs trois côtés respectifs proportionnels .

En conséquence de quoi, dans les trois hypothèses $(H_2)$, $(H_2')$ et $(H_2'')$ on aura toujours le cas de deux triangles semblables . Et ces deux triangles étant imbriqués l'un dans l'autre, il est logique de conclure que dans les trois cas de figure :

$$ BC \parallel DE $$
Conclusion

$$ \left( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \right) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès (réciproque)} \bigr) $$

Par ailleurs, une seule des trois égalités peut suffire si ce sont les deux qui démarrent de l'angle commun :

On sait grâce à la propriété suivante de la similarité de deux triangles que :

Deux triangles sont semblables s'ils ont un angle commun et qu'ils ont les deux longueurs respectives proportionnelles .

$$ \left( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \right) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès (réciproque)} \bigr)^* $$

Équivalence du théorème de Thalès

Deux implications forment alors une équivalence.

Alors, étant données les deux implications $(I_1)$ et $(I_2)$ :

$$ \left \{ \begin{gather*} BC \parallel DE \Longrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad (I_1) \\ \\ \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \Longrightarrow BC \parallel DE \qquad (I_2) \end{gather*} \right \} $$

On peut les rassembler dans une l'équivalence :

$$ BC \parallel DE \Longleftrightarrow \Biggl( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \Biggr) \qquad \bigl(\text{Théorème de Thalès (équivalence)} \bigr) $$

Théorème de Thalès

Trigonométrie dans la partie de gauche du triangle

Trigonométrie dans la partie de droite du triangle

Égalité générale entre les rapports

Extension du théorème

Réciproque du théorème de Thalès

En utilisant la similarité des deux triangles

Conclusion

Équivalence du théorème de Thalès