Les primitives usuelles et méthodes générales d'intégration

Étant donné que chaque primitive d'une fonction donnée est égale à une constante près, on utilisera la notation ${\displaystyle \int^x} f(t) \ dt $, signifiant cette famille de primitives (ou primitive générale).

On utilisera parfois la lettre majuscule d'une fonction pour signifier sa primitive .

Rappel sur les primitives usuelles

Un certain nombre de primitives peuvent être directement calculées en effectuant l'opération inverse de la dérivée ou par une intégration par parties .

Pour d'autres, il faut considérer chaque cas comme spécifique.

Ce tableau récapitule les primitives directement déterminées à partir de l'opération inverse de la dérivée , à savoir :

$$ f(x) = \int^x F'(t)dt \ \Longleftrightarrow \ F(x) = \int^x f(t)dt $$

Condition	Primitive générale
Fonctions usuelles
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x dt = x$$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x t \ dt = \frac{x^2}{2}$$
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*_+,$$	$$ \int^x \sqrt{t} \ dt = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$$
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*_+,$$	$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{t}} \ dt = 2\sqrt{x} $$
$$ \text{lorsque $x$ est définie} $$	$$ \int^x t^n \ dt = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$
$$\forall x \in \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{R_+^*},$$	$$ \int^x n^t \ dt = \frac{ n^x}{\ln(n)} $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x e^t \ dt = e^x$$
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x\frac{dt}{t} = \ln\|x\| $$
$$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R^+}, $$	$$ \int^x \log_n\|t\| \ dt = \ln(n) \times \log_n\|x\| $$
$\Longrightarrow \ $ toutes les formules de dérivées de fonctions usuelles
fonctions trigonométriques
$$ \forall x \in [-1, \hspace{0.2em} 1], $$	$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \ dt = \operatorname{Arcsin}(x) = - \operatorname{Arccos}(x) $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{1 + t^2}} \ dt = \operatorname{Argsinh}(x) $$
$$ \forall x \in [1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$	$$ \int^x \frac{1}{\sqrt{t^2 - 1}} \ dt = \operatorname{Argcosh}(x) $$
$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr \} \biggr] $$	$$ \int^x \Bigl[ 1 + \tan^2(t) \Bigr] \ dt = \int^x \sec^2(t) \ dt = \tan(x) $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x \frac{1}{1 + t^2} \ dt = \operatorname{Arctan}(x) $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x \operatorname{sech}^2(t) \ dt = \tanh(x) $$
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$	$$ \int^x \frac{1}{1 - t^2} \ dt = \operatorname{Argtanh}(x) $$
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[\hspace{0.1em}\cup \hspace{0.1em}]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$	$$ \int^x \Biggl[ \frac{1}{ t^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ t^2}}} \Biggl] \ dt = -\operatorname{Arccsc}(x) $$
$$\forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.1em} \backslash \hspace{0.2em} \left \{ 0 \right \} \Bigr] , $$	$$ \int^x \Biggl[ \frac{1}{ t^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 + \frac{1}{ t^2}}} \Biggl] \ dt = -\operatorname{Argcsch}(x) $$
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[\hspace{0.1em}\cup \hspace{0.1em}]1, \hspace{0.1em} +\infty[, $$	$$ \int^x \Biggl[ \frac{1}{ t^2} \times \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{1}{ t^2}}} \Biggl] \ dt = \operatorname{Arcsec}(x) $$
$$ \forall x \in \hspace{0.1em} \bigl]0, \hspace{0.1em} 1 \bigr], $$	$$ \int^x \Biggl[ \frac{1}{ t^2} \times \frac{1}{ \sqrt{\frac{1}{ t^2}- 1}} \Biggl] \ dt = -\operatorname{Argsech}(x) $$
$$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ k\pi \bigr \} \Bigr], $$	$$ \int^x \csc^2(t) \ dt = -\cot(x) $$
$$ \forall x \in \mathbb{R}, $$	$$ \int^x \frac{1}{1+t^2} \ dt = -\operatorname{Arccot}(x) $$
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x \Bigl[ 1 - \cot^2(t) \Bigr] \ dt = \int^x \Bigl[ -\operatorname{csch}^2(t) \Bigr] \ dt = \operatorname{coth}(x) $$
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-\infty, \hspace{0.1em} -1[ \hspace{0.1em} \cup \hspace{0.1em} ]1, \hspace{0.1em} +\infty[ , $$	$$ \int^x \frac{1}{1 - t^2} \ dt = \operatorname{Argcoth}(x) $$
$\Longrightarrow \ $ toutes les formules de dérivées de fonctions trigonométriques
$\Longrightarrow \ $ toutes les formules de primitives de fonctions trigonométriques
opérations sur les fonctions
$$ \forall a \in \mathbb{R}, \ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathcal{D}_f, $$	$$ \int^x f(at) \ dt = \frac{1}{a} F(ax) $$
$$ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \ \forall \bigl(u(x), v(x)\bigr) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$	$$ \int^x \biggl[ \lambda u(t) + \mu v(t) \biggr] \ dt = \lambda U(x) + \mu V(x) $$
$$ \forall u(x) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x \frac{u'(t)}{u(t)} \ dt = \ln\bigl\|u(x)\bigr\| $$
$$ \forall u(x) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x \frac{u'(t)}{u^2(t)} \ dt = - \frac{1}{u(x)} $$
$$ \forall u(x) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, $$	$$ \int^x \frac{u'(t)}{ 2\sqrt{u(t)}} \ dt = \sqrt{u(x)} $$
$\Longrightarrow \ $ toutes les formules de dérivées d'opérations sur les fonctions

Méthodes générales d'intégration

Intégration par parties

$$ \forall (a,b) \in D_f^2,$$

$$ \int_{a}^b (f'g) \hspace{0.2em}dt = \Bigl[fg\Bigr]_{a}^b - \int_{a}^b (fg') \hspace{0.2em}dt $$

Intégration par substitution

Soit $f : x \longmapsto f(x)$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I = \bigl[a,b \bigr]$.

De même, soit $\phi : t \longmapsto \phi(t) $ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $ J $. Pour que le changement de variable soit valide, la fonction $\phi$ doit être une bijection de $ J $ vers $ I $, garantissant ainsi l'existence unique de ses bornes réciproques.

$$ \forall (a,b) \in D_f^2, \ $$

$$ \int_{a}^b \hspace{0.2em} \Bigl(f \circ \phi(t)\Bigr) \hspace{0.2em} \phi'(t) \ dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \hspace{0.2em}du $$

$$ \text{avec } \begin{cases} u = \phi(t) \\ du = \phi '(t) \hspace{0.2em} dt \end{cases} $$

L'intégration par substitution constitue la transposition de la dérivation de fonctions composées , appliquée au calcul intégral .

Récapitulatif des méthodes d'intégration générales

Démonstrations

Méthodes générales d'intégration

Intégration par parties

Avec la dérivée d'un produit , on a :

$$ \left ( f g\right)' = f'g + g'f $$

$$ f'g = ( f g)' - g'f $$

Par suite, grâce à la propriété de linéarité de l'intégrale ,

$$ \int_{a}^b (f'g) \hspace{0.2em}dt = \int_{a}^b (fg) -\int_{a}^b (fg') \hspace{0.2em}dt $$

Et,

$$ \int_{a}^b (f'g) \hspace{0.2em}dt = \Bigl[fg\Bigr]_{a}^b -\int_{a}^b (fg') \hspace{0.2em}dt $$

Soit finalement,

$$ \forall (a,b) \in I^2, \enspace a < b, $$

$$ \int_{a}^b (f'g) \hspace{0.2em}dt = \Bigl[fg\Bigr]_{a}^b - \int_{a}^b (fg') \hspace{0.2em}dt $$

Intégration par substitution

Soit $f : x \longmapsto f(x)$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un intervalle $I = \bigl[a,b \bigr]$.

Considérant l'intégrale $ I(x) $ suivante :

$$ I(x) = \int_{a}^b f(x) \hspace{0.2em}dx = F(b) - F(a) \qquad(I(x)) $$

En effectuant la substitution $ x = \phi(t) $ dans $ (I(x)) $, on a :

$$ x = \phi(t) \Longrightarrow \begin{cases} x \ \longrightarrow \ \phi(t) \\ dx \ \longrightarrow \ d \Bigl[ \phi(t)\Bigr] = \phi'(t) \ dt \end{cases} $$

Maintenant, la fonction $\phi$ étant bijective, nous pouvons introduire $ \psi : x \longmapsto \psi(x) $, sa fonction réciproque définie de $I$ vers $J$. On a alors l'équivalence stricte :

$$ x = \phi(t) \Longleftrightarrow t = \psi(x)$$

Alors, lorsque $x$ varie de $ a $ vers $b$, la variable $t$ varie de manière unique de $ \psi(a) $ vers $\psi(b)$.

Soit,

$$ I(t) = \int_{\psi(a)}^{\psi(b)} \Bigl(f \circ \phi(t)\Bigr) \ \phi'(t) \ dt \qquad(I(t)) $$

$$ I(t) = \Bigl[ f \circ \phi(t) \Bigr]_{\psi(a)}^{\psi(b)} $$

Les deux fonctions $\phi$ et $\psi$ étant deux fonctions réciproques , elles s'annihilent entre elles :

$$ I(t) = F\bigl(\phi(\psi(b))\bigr) - F\bigl(\phi(\psi(a))\bigr) = F(b) - F(a) $$

Les deux expressions $ (I(x)) $ et $ (I(t)) $ sont alors rigoureusement égales à : $F(b) - F(a)$.

Alors,

$$ \int_{\psi(a)}^{\psi(b)} f\Bigl( \phi(t)\Bigr) \ \phi'(t) \ dt = \int_{a}^b f(x) \hspace{0.2em}dx \qquad (1) $$

Enfin, en effectuant de chaque côté l'image des bornes respectives par la fonction $ \phi $, alors $ (1)$ devient $ (1')$ :

$$ \int_{\phi(\psi(a))}^{\phi(\psi(b))} f\Bigl( \phi(t)\Bigr) \ \phi'(t) \ dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) \hspace{0.2em}dx $$

Et,

$$ \int_{a}^{b} f\Bigl( \phi(t)\Bigr) \ \phi'(t) \ dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x) \hspace{0.2em}dx \qquad (1') $$

Par simplicité, on prendra $u $ comme variable, et finalement,

$$ \forall (a,b) \in D_f^2,$$

$$ \int_{a}^b \hspace{0.2em} \Bigl(f \circ \phi(t)\Bigr) \hspace{0.2em} \phi'(t) \ dt = \int_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(u) \hspace{0.2em}du $$

$$ \text{avec } \begin{cases} u = \phi(t) \\ du = \phi '(t) \hspace{0.2em} dt \end{cases} $$

Attention à ne pas confondre le changement de variable direct :

$$ \begin{cases} u = \phi(t) \\ du = \phi '(t) \hspace{0.2em} dt \end{cases} $$

avec un changement de variable indirect :

$$ \begin{cases} t = \psi(u) \\ dt = \psi '(u) \hspace{0.2em} du \end{cases} $$

Récapitulatif des méthodes d'intégration générales

Exemples

Exemples d'intégration par parties
1. Exemple 1
  
  $$ \alpha = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \cdot \sin(t) \hspace{0.2em}dt $$
  
  On prend $f$ et $g'$ tels que :
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(t) = t \\ g'(t) = \sin(t) \end{gather*} $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f'(t) = 1 \\ g(t) = -\cos(t) \end{gather*} $$
  
  $$ \alpha = \Bigl[-t.\cos(t) \Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \cos(t) \hspace{0.2em}dt $$
  
  $$ \alpha = \Bigl[-t.\cos(t) + \sin(t) \Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} $$
  
  $$ \alpha = - \frac{\pi}{2} \times 0 + 1 - (0\times 1 + 0 ) $$
  
  $$ \alpha = 1 $$
2. Exemple 2
  
  $$ \beta = \int_{1}^{e} \ln(t) \hspace{0.2em}dt $$
  
  On prend $f$ et $g'$ tels que :
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(t) = \ln(t) \\ g'(t) = 1 \end{gather*} $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f'(t) = \frac{1}{t} \\ g(t) = t \end{gather*} $$
  
  $$ \beta = \Bigl[t.\ln(t) \Bigr]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \hspace{0.2em}dt $$
  
  $$ \beta = \Bigl[t.\ln(t) \Bigr]_{1}^{e}- \bigl[t \bigr]_{1}^{e} $$
  
  $$ \beta = e . \ln(e) - \ln(1) - (e -1) $$
  
  $$ \beta = 1 $$
3. Exemple 3 : intégrer une fonction de type exponentielle $ : f(t) e^t$
  
  Notamment lors de la résolution d'équations différentielles , on peut être amener à déterminer des primitives de type :
  
  $$ \int^{x} f(t) \hspace{0.1em} e^t \hspace{0.2em}dt $$
  
  Par exemple, avec une fonction $f(t)$ de type polynôme , on intègre plusieurs fois de suite jusqu'à ce que le degré descende et atteigne $0$.
  
  On choisit d'intégrer l'exponentielle pour que la fonction polynomiale soit celle qui soit dérivée et perde en degré au fur et à mesure des intégrations.
  
  Intégrons cette fonction polynôme-exponentielle :
  
  $$ \gamma = \int^{x} (4t^3 - t + 4) \hspace{0.1em} e^{2t} \hspace{0.2em}dt $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(t) = 4t^3 - t +4 \\ g'(t) = e^{2t} \end{gather*} $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f'(t) = (12t^2 -1) \\ g(t) = \frac{e^{2t}}{2} \end{gather*} $$
  
  $$ \gamma = \Biggl[(4t^3 - t +4 ) \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} - \int^{x} ( 12t^2 -1 ) \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \hspace{0.2em}dt $$
  
  On en profite pour sortir la constante.
  
  $$ \gamma = \Biggl[(4t^3 - t +4 ) \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} - 6\int^{x} t^2 \hspace{0.1em} e^{2t} \hspace{0.2em}dt + \int^{x} \frac{e^{2t}}{2} \hspace{0.2em}dt $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(t) = t^2 \\ g'(t) = e^{2t} \end{gather*} $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f'(t) = 2t \\ g(t) = \frac{e^{2t}}{2} \end{gather*} $$
  
  $$ \gamma = \Biggl[(4t^3 - t +4 ) \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} - 6 \Biggl( \Biggl[ t^2 \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} - \int^{x} t \hspace{0.1em} e^{2t} \hspace{0.2em}dt \Biggr) + \Biggl[ \frac{e^{2t}}{4} \Biggr]^{x} $$
  
  $$ \gamma = \Biggl[(4t^3 - t +4 ) \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} - 3 \Biggl[ t^2 \hspace{0.1em} e^{2t} \Biggr]^{x} + 6 \int^{x} t \hspace{0.1em} e^{2t} \hspace{0.2em}dt + \Biggl[ \frac{e^{2t}}{4} \Biggr]^{x} $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(t) = t \\ g'(t) = e^{2t} \end{gather*} $$
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} f'(t) = 1 \\ g(t) = \frac{e^{2t}}{2} \end{gather*} $$
  
  $$ \gamma = \Biggl[(4t^3 - t +4 ) \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} - 3 \Biggl[ t^2 \hspace{0.1em} e^{2t}\Biggr]^{x} + 6\Biggl[t \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} - 6 \int^{x} \frac{e^{2t}}{2} \hspace{0.2em}dt + \Biggl[ \frac{e^{2t}}{4} \Biggr]^{x} $$
  
  $$ \gamma = \Biggl[(4t^3 - t +4 ) \hspace{0.1em} \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} - 3 \Biggl[ t^2 \hspace{0.1em} e^{2t}\Biggr]^{x} + 3\Biggl[t \hspace{0.1em} e^{2t} \Biggr]^{x} - 3\Biggl[ \frac{e^{2t}}{2} \Biggr]^{x} + \Biggl[ \frac{e^{2t}}{4} \Biggr]^{x} $$
  
  $$ \gamma = \frac{1}{2} \left (4x^3 - x +4 \right) \hspace{0.1em} e^{2x} - 3x^2 e^{2x} + 3x e^{2x} - \frac{5}{4}e^{2x} $$
  
  Enfin, on factorise tout.
  
  $$ \gamma = e^{2x} \left (2x^3 - \frac{1}{2}x +2 - 3x^2 + 3x - \frac{5}{4} \right) \hspace{0.1em} $$
  
  $$ \gamma = e^{2x} \left (2x^3 -3x^2 + \frac{5}{2} x + \frac{3}{4} \right) \hspace{0.1em} $$
Exemples d'intégration par substitution
1. Exemple 1
  
  $$ A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(t)}{1 + 3 \cos^2(t)} \ dt$$
  
  Dans le cas d'un polynôme trigonométrique, on peut appliquer les règles de Bioche .
  
  Ici, l'intégrande $ \omega(t) $ est invariante par le changement de variable $ t = -t $ :
  
  $$ \omega(-t) = \frac{\sin(-t)}{1 + 3 \cos^2(-t)} \ d(-t) $$
  
  $$ \omega(-t) = \frac{-\sin(t)}{1 + 3 \cos^2(t)} \times (-dt) $$
  
  $$ \omega(-t) = \frac{\sin(t)}{1 + 3 \cos^2(t)} \ dt $$
  
  $$ \omega(-t) = \omega(t) $$
  
  On peut alors poser :
  
  $$ u = \cos(t)$$
  
  À partir de là, on a :
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} u = \cos(t) \\ du = -\sin(t) \ dt \end{gather*} $$
  
  On remplace alors dans ce qui était notre expression, sans oublier les bornes :
  
  $$ A = \int_{\cos(0)}^{\cos(\frac{\pi}{2})} \frac{-du}{1 + 3 u^2} $$
  
  $$ A = -\int_{1}^{0} \frac{1}{1 + 3 u^2} \ du $$
  
  Grâce aux aux propriétés des intégrales , on sait que :
  
  $$ \forall (a,b) \in I^2, \ \int_{b}^a f(t) \hspace{0.2em}dt = -\int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
  
  $$ A = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + 3 u^2} \ du$$
  
  La primitive de la fonction $\operatorname{Arctan}$ est connue:
  
  $$ \int^{x} \frac{1}{a^2 + t^2} \ dt = \Biggl[\frac{1}{a} \operatorname{Arctan}\left( \frac{t}{a}\right) \Biggr]^x $$
  
  Soit, dans notre cas,
  
  $$ A = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{1}{3} + u^2} \ du$$
  
  Et,
  
  $$ A = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \frac{1}{ \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \ u^2} \ du = \frac{1}{3} \Bigl[\sqrt{3} \ \operatorname{Arctan}\left(\sqrt{3} u\right) \Bigr]_0^1 $$
  
  $$ A = \frac{1}{3} \ \Bigl[ \sqrt{3} \ \operatorname{Arctan}(\sqrt{3}) - \sqrt{3} \ \operatorname{Arctan}(0) \Bigr] $$
  
  $$ A = \frac{\sqrt{3}}{3} \operatorname{Arctan}(\sqrt{3}) $$
  
  $$ A = \frac{\sqrt{3}\pi}{9} $$
2. Exemple 2
  
  $$ B = \int_{0}^{1} \ \frac{t^2}{1 + t^3} \ dt$$
  
  L'idée ici est de poser $ u = t^3 $ pour avoir $ t^2 \ dt$ à une constante près au numérateur après substitution.
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} u = t^3 \\ du = 3t^2 \ dt \end{gather*} $$
  
  On remplace tout (les bornes ne changent pas car $ 0$ et $ 1 $ ne varient pas lorsqu'on les met au cube):
  
  $$ B = \int_{0}^{1} \ \frac{1}{1 + u} \ \frac{du}{3} $$
  
  $$ B = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} \ \frac{1}{1 + u} \ du$$
  
  $$ B = \frac{1}{3} \Bigl[\ln |1 + u| \Bigr]_{0}^{\ 1} $$
  
  $$ B = \frac{1}{3} \ln(2) $$
3. Exemple 3
  
  $$ C = \int_{1}^{3} \ \frac{e^{2t}}{1 - e^t} \ dt$$
  
  L'intégrande est uniquement définie sur $ \mathbb{R} \ \backslash \ \{0 \}$.
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} u = e^t \\ du = e^t \ dt \end{gather*} $$
  
  $$ C = \int_{e}^{e^3} \ \frac{u}{1 - u} \ du$$
  
  Ici, on peut uiliser une petite astuce qui permet d'obtenir notre intégrale sous une autre forme :
  
  $$ C = \int_{e}^{e^3} \ \frac{u + 1 - 1}{1 - u} \ du$$
  
  $$ C = \int_{e}^{e^3} \ \frac{u - 1}{1 - u} + \frac{1}{1 - u} \ du$$
  
  $$ C = \int_{e}^{e^3} \ \frac{-(1-u)}{1 - u} + \frac{1}{1 - u} \ du$$
  
  $$ C = -\int_{e}^{e^3} du + \int_{e}^{e^3} \frac{1}{1 - u} \ du$$
  
  $$ C = - \Bigl[u\Bigr]_{e}^{e^3} + \Bigl[ - \ln |1 - u| \Bigr]_{e}^{e^3} $$
  
  $$ C = - e^3 + e - \ln |1 - e^3| + \ln |1 - e| $$
  
  $$ C = - e^3 + e - \ln (e^3-1) + \ln(e-1) $$

Rappel sur les primitives usuelles

Méthodes générales d'intégration

Intégration par parties

Intégration par substitution

Récapitulatif des méthodes d'intégration générales

Exemples

Exemples d'intégration par parties

Exemples d'intégration par substitution