Les dérivées des fonctions usuelles

La fonction constante \( : (\lambda )' \)

Une fonction constante est définie de la manière suivante :

Avec la définition de la dérivée , on a :

Soit,

Ici, il n'y a pas de forme indéterminée "\( \frac{0}{0} \)" car seul le dénominateur a son terme qui tend vers \(0 \), le numérateur lui reste \(0 \) comme constante.

On a bien \( 0 \) qui est divisé par un nombre qui conceptuellement s'approche de \(0 \), ce qui reste bien égal à \(0 \).

La fonction affine \( : (ax + b )' \)

Une fonction affine est définie de la manière suivante :

Avec la définition de la dérivée , on a :

Soit,

La fonction valeur absolue : \( |x|' \)

Une fonction valeur absolue est définie de la manière suivante :

En passant par les dérivées de fonctions composées , on a :

Soit,

La fonction carrée \( : (x^2 )' \)

La fonction carrée est définie de la manière suivante :

Avec la définition de la dérivée , on a :

Soit,

Les fonctions puissances de x \( : (x^n)' \)

Dans cette partie, de nombreuses fois \(x\) se trouvera au dénominateur, alors pour raisons de simplicité nous avons retiré le cas où \((x = 0)\).

On définit alors spécifiquement une fonction puissance de \(x\) par :

Nous allons faire la démonstration de la formule générale, ensemble après ensemble.

1. Avec un exposant \( n \) dans l'ensemble des entiers naturels \( (n \in \mathbb{N})\)

   Avec la définition de la dérivée , on a :

   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^n - x^n}{h} \qquad (1)$$

   Mais on sait par la formule du binôme de Newton que :

   $$\forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$

   $$ (a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^p $$

   Remplaçons \( (a + b) \) par \( (x + h) \) pour adapter à la formule \( (1) \) :

   $$ (x + h)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} x^{n-p}h^p$$

   $$ (x + h)^n = x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n} \qquad (2) $$

   En injectant \( (2) \) dans \( (1) \), on a :

   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{x^n + \binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n} - x^n}{h} $$

   Les termes \( x^n \) s'annulent au numérateur :

   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\binom{n}{1}x^{n - 1}h + \binom{n}{2}x^{n - 2}h^2 \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 1 } + h^{n}}{h} $$

   À présent, on peut simplifier par \( h \) :

   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \binom{n}{1}x^{n - 1} + \binom{n}{2}x^{n - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 2 } + h^{n - 1} $$

   Lorsque l'on passe à la limite quand \( h \to 0 \), tous les termes avec \( h \) disparaissent :

   $$ (x^n)' = \binom{n}{1}x^{n - 1} $$

   Et finalement,

   $$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$
   $$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$

2. Avec un exposant \( n \) dans l'ensemble des entiers relatifs \( (n \in \mathbb{Z})\)

   On a vu plus haut le cas d'un exposant entier \( n \) positif, voyons maintenant l'autre partie : l'ensemble \( \mathbb{Z}\), les entiers négatifs.

   On considère alors l'ensemble des entiers négatifs \( \mathbb{Z} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ \mathbb{N} \bigr \} \), et un nombre \( n \) appartenant à cet ensemble tel que :

   $$ \forall m \in \mathbb{N}, \ n = -m $$

   En reprenant la même méthode que plus haut à partir de la la définition de la dérivée :

   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^n - x^n}{h} $$
   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(x + h)^{-m} - x^{-m}}{h} $$
   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\frac{1}{(x + h)^{m}} - \frac{1}{x^{m}} }{h} $$

   On met le grand numérateur sous le même dénominateur.

   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\frac{x^m}{(x + h)^{m}x^{m}} - \frac{(x + h)^{m}}{x^{m}(x + h)^{m}} }{h} $$
   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\frac{x^m - (x + h)^{m}}{(x + h)^{m}x^{m}} }{h} $$
   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{h} \Biggl[ \frac{x^m - (x + h)^{m}}{(x + h)^{m}x^{m}} \Biggr] $$

   Mais on a déjà effectué ce calcul plus haut, et après simplification, on avait :

   $$ \frac{ (x + h)^n - x^n }{h} = \binom{n}{1}x^{n - 1} + \binom{n}{2}x^{n - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{n}{n- 1}xh^{n - 2 } + h^{n - 1} $$

   Alors dans notre cas :

   $$ \frac{ x^m - (x + h)^m }{h} = - \left( \binom{m}{1}x^{m - 1} + \binom{m}{2}x^{m - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{m}{m- 1}xh^{m - 2 } + h^{m - 1} \right) $$

   Alors, notre expression devient :

   $$ (x^n)' = \lim_{h \to 0 } \enspace - \frac{\binom{m}{1}x^{m - 1} + \binom{m}{2}x^{m - 2}h \enspace + ... + \enspace \binom{m}{m- 1}xh^{m - 2 } + h^{m - 1} }{(x + h)^{m}x^{m}} $$

   Lorsque l'on passe maintenant à la limite quand \( h \to 0 \) :

   $$ (x^n)' = - \frac{mx^{m - 1} }{x^{2m}} $$
   $$ (x^n)' = - mx^{-m - 1} $$

   Or, comme par hypothèse \(n = -m \),

   $$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \Bigl[\mathbb{Z} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ \mathbb{N} \bigr \}\Bigr], $$
   $$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$

3. Avec un exposant \( n \) réel \( \bigl( n \in\mathbb{R} \bigr) \)

   Pour un exposant réel, cette fonction est uniquement définie pour des nombres positifs \( (x \geqslant 0)\).

   Alors, en considérant tout nombre \( X \neq 0 \) comme \( e^{\ln\left(X\right)} \), on a :

   $$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace \forall n \in \mathbb{R},$$
   $$ x^n = e^{\ln(x^n)} $$

   Et par suite,

   $$ (x^n)' = \left(e^{\ln(x^n)}\right)' $$

   Avec les propriété du logarithme népérien , on sait que :

   $$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R^*}, \ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, $$

   $$\ln(x^n) = n . \ln(x) $$

   Soit,

   $$ (x^n)' = \left(e^{n.\ln(x)} \right)' $$

   On peut alors calculer cette dérivée par une dérivation en chaîne .

   On sait que :

   $$ \left(e^y \right)' = y'e^y $$

   Soit ici :

   $$ (x^n)' = \bigl(n.\ln(x)\bigr)' e^{n .\ln(x)} $$
   $$ (x^n)' = \frac{n}{x} e^{n .\ln(x)} $$

   En réutilisant la propriété \( (2) \) précédente dans le sens inverse :

   $$ (x^n)' = \frac{n}{x} e^{\ln(x^n)} $$
   $$ (x^n)' = nx^{-1} x^{n} $$
   $$ (x^n)' = nx^{n-1} $$

   Et finalement :

   $$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*_+, \enspace \forall n \in \mathbb{R}, $$
   $$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$

   Remarque : Le cas des exposants rationnels sur \(\mathbb{R}^*_-\)

   La démonstration générale ci-dessus restreint l'étude sur \(\mathbb{R}_+\) (aux réels strictement positifs) car la définition analytique \(x^n = e^{n\ln(x)}\) impose l'utilisation du logarithme népérien.

   Cependant, sur le plan purement algébrique, il existe une exception remarquable lorsque l'exposant \(n\) est un nombre rationnel dont le dénominateur est impair. On peut alors écrire :

   $$ n = \frac{p}{q} \hspace{3em} (p \in \mathbb{Z}, \ q \in 2\mathbb{N}+1) \text{ et } (p \land q = 1) $$

   Dans ce cas précis, la fonction \(f(x) = x^{\frac{p}{q}}\) peut être définie sur \(\mathbb{R}\) tout entier (ou \(\mathbb{R}^*\) si \(p < 0\)) via la racine \(q\)-ième : \(x^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{x}\right)^p\). Par exemple, la fonction racine cubique (\(x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}\)) accepte parfaitement des valeurs négatives (\(\sqrt[3]{-8}=-2\)).

   Que devient la dérivée pour \(x < 0\) ?

   La formule reste strictement la même : \((x^n)' = nx^{n-1}\). Pour le démontrer proprement sans s'encombrer de valeurs absolues, on utilise la parité de la fonction :

   • Si \(p\) est pair, la fonction est paire (\(f(-x) = f(x)\)).
   • Si \(p\) est impair, la fonction est impaire (\(f(-x) = -f(x)\)).

   
   

   En introduisant un changement de variable \(X = -x\) (où \(X > 0\)), la règle de dérivation des fonctions composées permet de retrouver instantanément la formule générale sur \(]-\infty; 0[\).

   Cas 1 : \(p\) est pair

   Puisque \(p\) est pair, la fonction \(f\) est paire, ce qui signifie que \(f(x) = f(-x)\). Pour dériver \(f\) sur \(]-\infty; 0[\), on peut donc écrire :

   $$ f'(x) = \big(f(-x)\big)' $$

   En posant \(X = -x\) (avec \(X > 0\)), on applique la règle de dérivation des fonctions composées :

   $$ f'(x) = -1 \cdot f'(X) $$

   Comme \(X > 0\), la démonstration principale s'applique : \(f'(X) = nX^{n-1}\). En remplaçant \(X\) par \(-x\), on obtient :

   $$ f'(x) = -n(-x)^{n-1} $$

   Déterminons le signe de l'exposant : \(n-1 = \frac{p}{q} - 1 = \frac{p-q}{q}\). Puisque \(p\) est pair et \(q\) est impair, leur différence \((p-q)\) est un entier impair. Par conséquent, le signe moins "sort" de la puissance : \((-x)^{n-1} = -x^{n-1}\).

   En injectant cela dans notre égalité, les deux signes moins s'annulent :

   $$ f'(x) = -n \cdot \big(-x^{n-1}\big) = nx^{n-1} $$

   Cas 2 : \(p\) est impair

   Puisque \(p\) est impair et \(q\) est impair, la fonction \(f\) est impaire, ce qui signifie que \(f(-x) = -f(x)\), ou de manière équivalente : \(f(x) = -f(-x)\). Pour dériver \(f\) sur \(]-\infty; 0[\), on écrit :

   $$ f'(x) = \big(-f(-x)\big)' = -\big(f(-x)\big)' $$

   En posant le changement de variable \(X = -x\) (avec \(X > 0\)), on applique la règle de dérivation des fonctions composées qui fait sortir un facteur \(-1\) :

   $$ f'(x) = -1 \cdot \big(-1 \cdot f'(X)\big) = f'(X) $$

   Comme \(X > 0\), on peut appliquer directement la formule démontrée dans la première partie du cours (\(f'(X) = nX^{n-1}\)). En remplaçant \(X\) par \(-x\), on obtient :

   $$ f'(x) = n(-x)^{n-1} $$

   Déterminons maintenant le signe de l'exposant : \(n-1 = \frac{p}{q} - 1 = \frac{p-q}{q}\). Puisque \(p\) est un entier impair et \(q\) est un entier impair, leur différence \((p-q)\) est un entier pair. Par conséquent, l'effet du signe moins disparaît sous la puissance: \((-x)^{n-1} = x^{n-1}\).

   Par conséquent, on retombe directement sur la formule générale :

   $$ f'(x) = nx^{n-1} $$

   
   

   Attention : cette extension pour les nombres négatifs est valable uniquement si la fraction \(\frac{p}{q}\) est strictement irréductible . Par exemple, \((-8)^{\frac{1}{3}} = -2\), mais si écrit la fraction sous sa forme équivalente \(\frac{2}{6}\), le calcul \((-8)^{\frac{2}{6}} = \sqrt[6]{(-8)^2} = +2\) change le signe du résultat. C'est pour éviter de telles instabilités dans les calculs qu'en analyse, il est préférable par convention de restreindre les puissances non entières à l'intervalle \(]0; +\infty[\).

4. Conclusion

   Comme dans le cas où \(x\) est nul, on a :

   $$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, \ (x^n)' = 0$$

   Alors,

   $$\text{lorsque } x \text{ est défini}, \ \forall n \in \mathbb{R}, $$
   $$ (x^n)' = nx^{n - 1} $$

Les fonctions puissances de n \( : (n^x)'\)

Dans cette partie, par simplicité on retirera le cas où \(n \) se trouvera sous un logarithme , alors par simplicité nous avons retiré le cas où \((n = 0)\).

Alors, on définit spécifiquement la fonction puissance de \(n\) de la manière suivante :

Avec la définition de la dérivée , on a :

Nous nous retrouvons ici bloqué car nous ne pouvons pas directement éliminer \( h\).

Réécrivons alors l'expression \( (4) \) sous une autre forme.

Il s'en suit que :

On peut alors calculer cette dérivée par une dérivation en chaîne .

Et finalement,

La fonction racine carrée \( : (\sqrt{x})' \)

La fonction racine carrée est définie de la manière suivante :

1. Par la définition de la dérivée

   Avec la définition de la dérivée , on a :

   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h} $$

   Pour arranger cette différence de racines, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du numérateur :

   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{(\sqrt{x + h} - \sqrt{x})\textcolor{rgb(118 139 240)}{(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}}{h\textcolor{rgb(118 139 240)}{(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}} $$
   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{x + h - x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} $$
   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} $$

   On simplifie par \( h \) :

   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \lim_{h \to 0 } \enspace \frac{1}{1(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} $$

   Soit finalement,

   $$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

2. En considérant la racine carrée comme une puissance de x

   En considérant \( \sqrt{x} \) comme une puissance de \( x \), on a :

   $$ \sqrt{x} = x^{1 \over 2}$$

   À partir de cela, on utilise la dérivée de \( x^n\) , on a :

   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = (x^{1 \over 2})'$$
   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$$
   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}$$
   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2} \left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{-1} = \frac{1}{2x^{\frac{1}{2}}}$$

   Soit finalement,

   $$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
   $$ \left(\sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$

   De même, on pourra calculer la dérivée de toute racine de \(n\), avec \(n \in \mathbb{Q}\).

3. Exemples

   1. Calcul de \( \left(\sqrt[3]{x} \right)' \)
      $$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' = \left(x^{\frac{1}{3}} \right)' $$
      $$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' =\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} $$
      $$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' =\frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} $$
      $$ \left(\sqrt[3]{x} \right)' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2 }}$$
   2. Calcul de \( \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' \)
      $$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} $$
      $$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2} } $$
      $$ \left( x^{ \frac{5}{2} } \right)' =\frac{5}{2} \sqrt{x^{3} } $$

La fonction inverse \( : \hspace{0.03em} \left(\frac{1}{x}\right)' \)

La fonction inverse est définie de la manière suivante :

En considérant \( \frac{1}{x} \) comme une puissance de \( x \), on peut utiliser la dérivée de \( x^n\) , et on a :

Soit finalement,

La fonction logarithme népérien \( : \Bigl[ \ln(x) \Bigr]'\)

1. La fonction \(\ln(x)\)

   La la fonction logarithme népérien \((\ln(x))\) est définie comme étant fonction réciproque de fonction exponentielle \((e^x)\) :

   $$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace f(x) = \ln(x) = (e^x)^{-1}$$

   Elle est aussi définie par une intégrale :

   $$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \enspace \ln(x) = \int^x_1 \frac{dt}{t}$$

   Soit,

   $$ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, $$
   $$ \Bigl[ \ln(x) \Bigr]' = \frac{1}{x} $$
2. La fonction \(\ln|x|\)

   La la fonction logarithme népérien en valeur absolue est définie de la manière suivante :

   $$ \forall x \in \mathbb{R^*}, \enspace f(x) = \ln|x| = \Biggl \{ \begin{gather*} \forall x \in \mathbb{R_-^*}, \ f(x) = \ln(-x) \\ \forall x \in \mathbb{R_+^*}, \ f(x) = \ln(x) \end{gather*} $$

   On a déjà calculé plus haut la partie positive, reste à calculer pour la partie négative de la même manière.

   Utilisons la dérivée d'une fonction composée :

   $$ \ln(-x)' = (-x)' \times \ln(-x)' $$
   $$ \ln(-x)' = - \frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$$

   Soit finalement,

   $$ \forall x \in \mathbb{R^*}, $$
   $$ \Bigl[ \ \ln|x| \ \Bigr]' = \frac{1}{x} $$

La fonction logarithme en base n \( : \Bigl[ log_n(x) \Bigr] '\)

La fonction logarithme en base \(n\) \((n \in \mathbb{R})\) est définie de la manière suivante :

Nous allons procéder comme pour le logarithme népérien car c'est la même logique.

Soit la fonction \( g(x) = n^x \) et sa fonction réciproque de \( g^{-1}(x) = log_n(x) \).

Soit,

On retrouve bien la cohérence avec la dérivée du logarithme népérien , dit aussi logarithme naturel.

En effet, c'est un cas particulier de la fonction \( log_n(x) \) en base \( e\).

La fonction exponentielle \( : (e^x)'\)

La fonction exponentielle est définie comme étant fonction réciproque de la fonction logarithme népérien \((\ln(x))\) :

En utilisant la la dérivée d'une fonction réciproque , on a :

Soit finalement

Récapitulatif des dérivées des fonctions usuelles