Soient deux fonctions \(f, g\) de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un intervalle \(I = \bigl ]a,b \bigr[\), et une fonction \(F\)
primitive
de \(f\).
L'intégrale de \(a\) vers \(b\) est
l'aire située entre l'axe des abscisses la courbe de \(f\)
, entre les points \(a\) et \(b\) (voir
lien entre intégrales et primitives
).
$$ \forall (a, x) \in D_f^2, $$
$$ F(x) = \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt \Longrightarrow F(a) = 0$$
$$ \forall a \in D_f, $$
$$ \int_{a}^a f(t) \hspace{0.2em}dt =0 $$
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \int_{b}^a f(t) \hspace{0.2em}dt = -\int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
$$ \forall (a, \lambda ,b) \in D_f^3, \enspace a \leqslant \lambda \leqslant b, $$
$$ \int_{a}^{\lambda} f(t) \hspace{0.2em}dt + \int_{\lambda}^b f(t) \hspace{0.2em}dt = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, \enspace \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$
$$ \int_{a}^b \biggl(\lambda f(t) + \mu g(t) \hspace{0.2em} \biggr) dt = \lambda \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt + \mu \int_{a}^b g(t) \hspace{0.2em}dt $$
L'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire de l'intégrale de chaque fonction.
$$ \forall (a,x, b) \in D_f^3, \enspace x \in \bigl[a, b\bigr], $$
$$ \enspace f(x) \geqslant 0 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \geqslant 0 $$
De la même manière, si \( f(x) \leqslant 0 \) sur \( \bigl[a, b \bigr] \),
$$ \forall (a,x, b) \in D_f^3, \enspace x \in \bigl[a, b\bigr], $$
$$ f(x) \textcolor{rgb(232 124 124)}{\leqslant} 0 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \textcolor{rgb(192 52 52)}{\leqslant} 0 $$
$$ \forall (a,x, b) \in D_f^3, \enspace x \in \bigl[a, b\bigr], $$
$$ f(x) \leqslant g(x) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant \int_{a}^b g(t) \hspace{0.2em}dt $$
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \mu = \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) $$
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \enspace f(c) = \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt$$
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ m \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} M $$
$$ \text{avec } \Biggl \{ \begin{gather*} m = min\{f\} \\ M = max\{f\} \end{gather*} $$
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \int_{a}^b f(a + b - t) \hspace{0.2em}dt = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Démonstrations
On sait par
le lien entre intégrales et primitives
que :
$$ F(x) = F(a) + \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Or, si une fonction est définie par une intégrale, on a :
$$ F(x) = \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Cela implique nécessairement que \( F(a) = 0 \).
Alors, \( F(x) \) est la
primitive
de \( f(x) \) qui s'annule en \( x = a \).
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} F'(x) = f(x) \\ F(a) = 0 \end{gather*}$$
Soit finalement,
$$ \forall (a, x) \in D_f^2, $$
$$ F(x) = \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt \Longrightarrow F(a) = 0$$
-
Exemple
$$ \ln(x) = \int_{1}^x \frac{dt}{t} $$
On sait par
le lien entre intégrales et primitives
que :
$$ F(x) = F(a) + \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Soit que,
$$ \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt = F(x) - F(a) $$
Si \( x = a \), alors :
$$ \int_{a}^a f(t) \hspace{0.2em}dt = F(a) - F(a) = 0 $$
La fonction \(F \) est la
primitive
de \(f\) qui s'annule au point \(x=a\).
Soit finalement,
$$ \forall a \in D_f, $$
$$ \int_{a}^a f(t) \hspace{0.2em}dt =0 $$
On sait par
le lien entre intégrales et primitives
que :
$$ F(x) = F(a) + \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Soit que,
$$ \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt = F(x) - F(a) $$
En inversant le sens des bornes, on a :
$$ \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt = F(a) - F(x) = -(F(x) - F(a)) $$
$$ \int_{x}^a f(t) \hspace{0.2em}dt = - \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Soit finalement,
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \int_{b}^a f(t) \hspace{0.2em}dt = -\int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
On sait par
le lien entre intégrales et primitives
que :
$$ F(x) = F(a) + \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Soit que,
$$ \int_{a}^x f(t) \hspace{0.2em}dt = F(x) - F(a) $$
D'où,
$$ \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt + \int_{b}^c f(t) \hspace{0.2em}dt = F(b) - F(a) + F(c) - F(b) $$
$$ \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt + \int_{b}^c f(t) \hspace{0.2em}dt = F(c) - F(a) $$
Soit finalement,
$$ \forall (a, \lambda ,b) \in D_f^3, \enspace a \leqslant \lambda \leqslant b, $$
$$ \int_{a}^{\lambda} f(t) \hspace{0.2em}dt + \int_{\lambda}^b f(t) \hspace{0.2em}dt = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Soient deux fonctions \(f,g\) continues sur \(I = \bigl[a,b \bigr]\), et deux fonctions \(F,G\) une de leurs
primitives
respectives.
De même, soient deux réels \( (\lambda , \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2 \) qui nous permettent de construire une nouvelle fonction \(\Lambda\), combinaison linéaire de \(f\) et de \(g\) :
$$ \Lambda = \lambda f(t) + \mu g(t) $$
En intégrant cette fonction entre les bornes \(a\) et \(b\), on a :
$$ \int_{a}^b \biggl(\lambda f(t) + \mu g(t) \hspace{0.2em} \biggr) dt = \Biggl[\lambda F(t) + \mu G(t) \Biggr]_a^b $$
$$ \int_{a}^b \biggl(\lambda f(t) + \mu g(t) \hspace{0.2em} \biggr) dt = \lambda F(b) - \lambda F(a) + \mu G(b) - \mu G(a) $$
$$ \int_{a}^b \biggl(\lambda f(t) + \mu g(t) \hspace{0.2em} \biggr) dt = \lambda \bigl(F(b) - F(a)\bigl) \hspace{0.1em} + \hspace{0.1em} \mu \bigl(G(b) - G(a)\bigl) $$
Mais,
$$\left \{ \begin{gather*} F(b) - F(a) = \int_{a}^b f(t) \\ G(b) - G(a) = \int_{a}^b g(t) \end{gather*} \right \}$$
Soit finalement,
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, \enspace \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$
$$ \int_{a}^b \biggl(\lambda f(t) + \mu g(t) \hspace{0.2em} \biggr) dt = \lambda \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt + \mu \int_{a}^b g(t) \hspace{0.2em}dt $$
L'intégrale d'une combinaison linéaire de fonctions est la combinaison linéaire de l'intégrale de chaque fonction.
Soit une fonction \(f\) continue sur \(I = \bigl[a,b \bigr]\) et pour tout \( x \in I, \enspace f(x) \geqslant 0\).
Si une fonction \(F\) est une
primitive
de \(f\) sur \(I\), alors :
$$ \forall x \in I, \enspace F(x) = F(a) + \int^x f(t) \hspace{0.2em}dt $$
$$ F'(x) = \hspace{0.2em} \underbrace {(F(a))'} _\text{= 0} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} f(x) $$
Soit que,
$$ F'(x) = f(x) $$
Comme on a comme hypothèse que \( f(x) \geqslant 0\), alors \( F'(x) \geqslant 0\).
Cela implique que \( F(x)\) est croissante sur \( I\).
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(x) \geqslant 0 \\ F'(x) = f(x) \end{gather*} \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} F'(x) \geqslant 0 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} F \nearrow $$
Et dans ce cas, on a :
$$ F(a) \leqslant F(b) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} F(b) - F(a) \geqslant 0 $$
Soit que,
$$ \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \geqslant 0 $$
Soit finalement,
$$ \forall (a,x, b) \in D_f^3, \enspace x \in \bigl[a, b\bigr], $$
$$ f(x) \geqslant 0 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \geqslant 0 $$
De la même manière, si \( f(x) \leqslant 0 \) sur \( \bigl[a, b \bigr] \),
$$ \forall (a,x, b) \in D_f^3, \enspace x \in \bigl[a, b\bigr], $$
$$ f(x) \textcolor{rgb(232 124 124)}{\leqslant} 0 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \textcolor{rgb(192 52 52)}{\leqslant} 0 $$
-
Conséquences
On sait que l'interprétation géométrique de l'intégrale d'une fonction entre deux bornes \(a\) et \(b\) est le fait qu'elle soit égale à l'aire entre la courbe de la fonction et l'axe des abscisses, tel que la figure suivante :
Mais grâce à la croissance de l'intégrale, le signe d'une intégrale va suivre le signe de la fonction intégrée sur l'intervalle d'étude. Donc dans le cas d'une fonction négative, on aura une intégrale négative.
Par conséquent, si l'on veut calculer l'aire totale d'une fonction à la fois négative et positive sur son intervalle d'étude, il nous faut changer le signe de la partie négative pour obtenir une valeur positive.
Effectivement, une aire négative ne pourrait avoir de sens physique.
Appellons \(S\) la somme des surfaces \(A\) et \(B\).
$$ S = A + B $$
Pour obtenir \(S\), on doit inverser le signe de l'intégrale là où \(f(x) \leqslant 0\). Ici en l'occurrence pour \( x \in [a, 0]\).
$$ S = - \hspace{0.2em} \underbrace{\int_{a}^0 f(t) \hspace{0.2em}dt } _\text{partie négative} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \int_{0}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Soient deux fonctions \(f,g\) continues sur \(I = \bigl[a,b \bigr]\), et pour tout \( x \in I, \enspace f(x) \leqslant g(x) \).
Alors,
$$ f(x) \leqslant g(x) \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} f(x) - g(x) \leqslant 0 $$
Avec
la propriété de positivité des intégrales
, on a :
$$ \int_{a}^b f(t) - g(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant 0 $$
Ensuite, avec
la propriété de linéarité des intégrales
, on a :
$$ \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt - \int_{a}^b g(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant 0 $$
Soit finalement,
$$ \forall (a,x, b) \in D_f^3, \enspace x \in \bigl[a, b\bigr], $$
$$ \forall x \in I, \enspace f(x) \leqslant g(x) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \int_{a}^b g(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Il s'agit plutôt ici d'une proposition-définition.
La valeur moyenne d'une intégrale sur un intervalle \( \bigl[a,b \bigr]\) vaut :
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \mu = \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) $$
Soit une fonction \(f\) continue sur \(I = \bigl[a,b \bigr]\), un réel \(c \in I\).
Sa
primitive
\(F\) est elle-même continue, puisque
toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle
.
Or, avec
le théorème des accroissements finis
, on sait que :
Pour une fonction \(f\) continue sur \(I = \bigl[a,b \bigr]\) et dérivable sur \(\bigl ]a,b \bigr[\),
$$ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \enspace f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$$
Dans notre cas,
$$ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \enspace F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b-a}$$
Or,
$$ F(b) - F(a) = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Soit,
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \enspace f(c) = \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt$$
-
Interprétation géométrique
On sait que l'interprétation géométrique de l'intégrale d'une fonction entre deux bornes \(a\) et \(b\) est le fait qu'elle soit égale à l'aire entre la courbe de la fonction et l'axe des abscisses, tel que le montre la figure suivante :
Le résultat précédent nous permet de voir qu'il existera au moins un réel \( c \in \bigl ]a,b \bigr[\) tel que :
$$ f(c)(b-a) = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt$$
C'est-à-dire que l'intégrale de \( a\) vers \( b \) sera égale à un rectangle formé par \( f(c) \) et \( (b-a) \).
Soit une fonction \(f\) continue sur \(I = \bigl[a,b \bigr]\).
On introduit les nombres \((m, M) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2 \), respectivement les valeurs minimale et maximale de \(f\) sur \(I\), et tels que la figure suivante :
$$ \forall t \in \bigl[a,b \bigr], \in m \leqslant f(t) \leqslant M $$
Avec
la croissance des intégrales
, on a :
$$ \int_{a}^b m \hspace{0.2em}dt \leqslant \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant \int_{a}^b M \hspace{0.2em}dt $$
$$ \Bigl[mt\Bigr]_a^b \leqslant \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \leqslant \Bigl[Mt \Bigr]_a^b $$
$$ m(b-a) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} M(b-a) $$
$$ m \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} M $$
Soit finalement,
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ m \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{1}{(b-a)} \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} M $$
$$ \text{avec } \Biggl \{ \begin{gather*} m = min\{f\} \\ M = max\{f\} \end{gather*} $$
On démarre de l'intégrale simple :
$$ \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
Ensuite, on pose le changement de variable suivant :
$$ \text{avec } \Biggl \{ \begin{gather*} u = a + b - t \\ du = -dt \end{gather*} $$
En remplaçant dans l'intégrale de départ, on a :
$$ \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt = \int_{a + b - a}^{a + b - b} f(a + b - u) \hspace{0.2em}(-du) $$
$$ \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt = -\int_{b}^{a} f(a + b - u) \hspace{0.2em}du $$
Or, on sait grâce à une des
propriétés précédentes
que:
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \int_{b}^a f(t) \hspace{0.2em}dt = -\int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
$$ \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt = \int_{a}^{b} f(a + b - u) \hspace{0.2em}du $$
Soit finalement, comme la variable est
muette
, on peut simplement conclure que :
$$ \forall (a,b) \in D_f^2, $$
$$ \int_{a}^b f(a + b - t) \hspace{0.2em}dt = \int_{a}^b f(t) \hspace{0.2em}dt $$
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