Le théorème des accroissements finis

Ce théorème est une conséquence directe du théorème de Rolle .

Soit une fonction $f(x)$ continue sur un intervalle $\bigl[a,b \bigr]$, et dérivable sur $\bigl ]a,b \bigr[$.

$$ f \text{ est continue sur } \bigl[a,b \bigr] \text{ et dérivable sur } \bigl ]a,b \bigr[ \ \Longrightarrow \ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} \qquad \bigl(\text{Théorème des accroissements finis} \bigr) $$

Démonstration

Soit une fonction $f(x)$ continue sur un intervalle $\bigl[a,b \bigr]$, et dérivable sur $\bigl ]a,b \bigr[$.

Considérons de même une fonction affine $g(x)$ joignant les points $A(a, \, f(a))$ et $B(b, \, f(b))$ de la courbe représentative de $f$.

Les points $A$ et $B$ marquent les extrémités de la courbe de $f$ sur l'intervalle d'étude.

Considérons maintenant une fonction $\Phi$ définie de même sur $\bigl[a,b \bigr]$ telle que :

$$\Phi(x) = f(x) - g(x) \qquad (\Phi) $$

Théorème des accroissement finis - demo 2

Étant donné que la pente entre $a$ et un point dans $x \in \bigl[a, b\bigr]$ vaut :

$$ \forall x \in \bigl[a,b \bigr], $$

$$ g(x) - g(a) = \frac{ g(b) - g(a)}{b-a}(x-a) $$

Or,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} f(a) = g(a) \\ f(b) = g(b) \end{gather*} $$

Soit,

$$ g(x) - f(a) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) $$

$$ g(x) = f(a) + \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) \qquad (g) $$

Alors, en injectant l'expression de $(g)$ dans $(\Phi)$, on obtient :

$$\Phi(x) = f(x) - f(a) - \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) \qquad (\Phi^*) $$

Les fonctions $ f $ et $ g $ étant dérivables sur l'intervalle ouvert $ \bigl ]a,b \bigr[ $, leur différence $\Phi$ est par conséquent dérivable sur ce même intervalle.

Et comme :

$$\Phi(a) = \Phi(b) = 0 $$

Le théorème de Rolle peut alors s'appliquer.

Le théorème de Rolle nous dit que :

Pour une fonction $ f $ continue $ \bigl[a, b \bigr] $, et dérivable sur $\bigl ]a,b \bigr[$ :

$$ f(a) = f(b) \Longrightarrow \ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \ f'(c) = 0 $$

Dans notre cas,

$$ \Phi(a) = \Phi(b) \ \Longrightarrow \ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \ \Phi'(c) = 0 \qquad(1) $$

Et, en appliquant la dérivée à l'expression $(\Phi^*)$ on obtient $\Phi'$ :

$$ \Phi'(x) = f'(x) - \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} \qquad(\Phi ') $$

Et grâce aux résultats $(1)$ et $(\Phi ')$, on obtient que :

$$ \Phi'(c) = 0 \Longrightarrow f'(c) - \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} = 0 $$

Alors,

$$\exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} $$

Soit finalement,