Les propriétés des puissances de x (pour des exposants naturels)

Produit/quotient de puissances (de même base)

1. Produit

   Soient \( x\in \hspace{0.04em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.

   Si l'on effectue le produit \(x^a x^b \), on a :

   $$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(b\) facteurs }$$
   $$ x^a x^b = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \((a + b)\) facteurs } $$

   En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

   $$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$

   On obtient finalement,

   $$ \forall x \in\hspace{0.04em} \mathbb{R}, \enspace \forall ( a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, $$
   $$ x^a x^b = x^{a+b} $$

2. Quotient

   La division par un nombre n'étant que la multiplication par l'inverse de ce même nombre, la formule précédente de produit s'applique aussi pour les quotients, à la condition supplémentaire que \((x \neq 0) \) :

   $$ \frac{x^a}{x^b} = x^a \times \frac{1}{x^b} $$
   $$ \frac{x^a}{x^b} = x^a \times x^{-b} $$
   $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a+(-b)} $$

   Alors, de même pour les quotients,

   $$ \forall x \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^*, \ \forall (a, b) \in \hspace{0.03em} \mathbb{N}^2, $$
   $$ \frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} $$

Nombre élevé à la puissance zéro

Soient \( x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^* \) un nombre réel non nul et \( a \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \) un nombre naturel.

Avec la formule de multiplication des puissances :

En divisant chaque membre par \(x^a\), en ajoutant la condition que \((x \neq 0)\) :

Et finalement,

Inverse d'une puissance

Soit \( x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \(a \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}\) un entier naturel.

Cherchons quelle serait la puissance de l'inverse, on sait que :

Mais \(x^0 = 1\), donc :

Par conséquent, avec la formule de multiplication des puissances , on a :

Alors par identification des formules \((3)\) et \((4)\), on obtient comme résultat que :

Puissance d'un produit/quotient

1. Produit

   Soient \( (x, y) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2 \) deux réels et \( a\in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \) un entier naturel.

   $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {xy \times xy \times xy \times xy \times xy ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

   Le produit de nombres réels étant commutatif, on a :

   $$ (xy)^a = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x\times x \times x...} _\text{ \(a\) facteurs } \ \times \ \underbrace {y \times y \times y \times y \times y ...} _\text{ \(a\) facteurs } $$

   En considérant la définition fondamentale d'une puissance de x :

   $$ x^n = \hspace{0.2em} \underbrace {x \times x \times x \times x \times x ...} _\text{ \(n\) facteurs } $$

   On a à présent,

   $$ (xy)^a = x^a \times y^a $$

   Soit finalement,

   $$ \forall (x,y) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \ \forall a \in \mathbb{N}, $$
   $$ (xy)^a = x^a y^a $$

2. Quotient

   Soient \( x \in \mathbb{R} \) un réel, \( y \in \hspace{0.03em} \mathbb{R}^* \) un réel non nul et \( a\in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \) un entier naturel.

   La division par un nombre n'étant que la multiplication par l'inverse de ce même nombre, la formule précédente de produit s'applique aussi pour les quotients :

   $$ \frac{x^a}{y^a} = x^a \times \left(\frac{1}{y}\right)^a $$

   Alors, de même pour les quotients,

   $$ \forall x \in \mathbb{R}, \ \forall y \in \mathbb{R}^*, \ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} , $$
   $$ \left(\frac{x}{y}\right)^a = \frac{x^a}{y^a} $$

Puissance d'une puissance

Soient \( x\in \hspace{0.04em} \mathbb{R} \) un réel et \( (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 \) deux entiers naturels.

Si l'on effectue le calcul \( (x^a)^b \), on a :

Alors on trouve que,

En appliquant ce même raisonnement mais inversant \(a\) et \(b\), on trouve aussi:

Alors,

Récapitulatif des puissances de x