Les primitives des fonctions trigonométriques

La fonction sinus \( : {\displaystyle \int^x} \sin(t) \ dt \)

La fonction \( \sin(x) \) est définie de la manière suivante :

Alors en prenant simplement la primitive de chaque côté,

La fonction cosinus \(: \cos(x)\)

La fonction \( \cos(x) \) est définie de la manière suivante :

De la même manière que plus haut pour la fonction \(\sin(x)\), on obtient directement :

La fonction tangente \( : {\displaystyle \int^x} \tan(t) \ dt \)

La fonction \( \tan(x) \) est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, on a :

Effectuons le changement de variable suivant : \(u = \cos(t)\).

On a maintenant :

Soit,

La fonction arcsinus \(: \operatorname{Arcsin}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arcsin}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sin(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :

On a :

Soit finalement,

La fonction arccosinus \(: \operatorname{Arccos}(x)\)

La fonction \( \operatorname{Arccos}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cos(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

De la même manière que plus haut pour la fonction \(\operatorname{Arcsin}(x)\) , on fait une intégration par parties avec :

On a :

Soit finalement,

La fonction arctangente \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arctan}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arctan}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \tan(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :

On a :

Soit finalement,

La fonction cosécante \( : {\displaystyle \int^x} \csc(t) \ dt \)

1. Par les fonctions trigonométriques sécantes

   La fonction \( \csc(x) \) est définie de la manière suivante :

   $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ k\pi \bigr \} \Bigr], \enspace f(x) = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} $$

   On remarque tout d'abord que :

   $$\csc(x) = \csc(x)\frac{\csc(x) - \cot(x)}{\csc(x) - \cot(x)}$$
   $$\csc(x) = \frac{\csc^2(x) - \csc(x)\cot(x)}{\csc(x) - \cot(x)}$$

   Or,

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \csc^2(x) = -\cot(x)' \\ -\csc(x)\cot(x) = \csc(x)' \end{gather*} $$

   Soit maintenant,

   $$\csc(x) = \frac{-\cot'(x) + \csc'(x) }{\csc(x) -\cot(x)}$$
   $$\csc(x) = \frac{(\csc(x) -\cot(x))'}{\csc(x) -\cot(x)}$$

   Alors, on peut intégrer directement et :

   $$ \int^x \csc(t) \ dt = \int^x \frac{\bigl(\csc(t) -\cot(t) \bigr)'}{\csc(t) -\cot(t)} \ dt $$
   
   

   Soit finalement,

   $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ k\pi \bigr \} \Bigr],$$
   $$ \int^x \csc(t) \ dt = \ln \left|\csc(x) -\cot(x) \right|$$

2. En passant par les règles de Bioche

   En passant par les règles de Bioche , on peut poser le changement de variable :

   $$ u = \tan\left(\frac{t}{2} \right) $$
   $$ \left \{ \begin{gather*} u = \tan\left(\frac{t}{2} \right) \\ du = \frac{1}{2} \left(1 + \tan^2\left(\frac{t}{2} \right) \right) dt \Longleftrightarrow du = \frac{1}{2} \left(1 + u^2 \right) \ dt \Longleftrightarrow dt = \frac{2du}{1 + u^2} \end{gather*} \right \} $$

   Alors l'intégrale :

   $$ \int^x \csc(t) \ dt = \int^x \frac{1}{\sin(t)} \ dt $$

   devient :

   $$ \int^x \csc(t) \ dt = \int^x \frac{1 + u^2}{2u} \ \frac{2du}{1 + u^2} $$
   $$ \int^x \csc(t) \ dt = \int^x \frac{du}{u} $$

   Et finalement,

   $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ k\pi \bigr \} \Bigr],$$
   $$ \int^x \csc(t) \ dt = \ln \left| \tan \left( \frac{x}{2}\right) \right| $$

La fonction sécante \( : {\displaystyle \int^x} \sec(t) \ dt \)

La fonction \( \sec(x) \) est définie de la manière suivante :

1. Par les fonctions trigonométriques sécantes

   On remarque tout d'abord que :

   $$\sec(x) = \sec(x)\frac{\sec(x) + \tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)}$$
   $$\sec(x) = \frac{\sec^2(x) + \sec(x)\tan(x)}{\sec(x) + \tan(x)}$$

   Or,

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \sec^2(x) = \tan'(x) \\ \sec(x)\tan(x)= \sec'(x) \end{gather*} $$

   Soit maintenant,

   $$\sec(x) = \frac{\tan'(x) + \sec'(x) }{\sec(x) + \tan(x)}$$
   $$\sec(x) = \frac{(\sec(x) + \tan(x))'}{\sec(x) + \tan(x)}$$

   Alors, on peut intégrer directement et :

   $$ \int^x \sec(t) \ dt = \int^x \frac{(\sec(x) + \tan(x))'}{\sec(x) + \tan(x)} \ dt $$
   
   

   Soit finalement,

   $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr \} \biggr], $$
   $$ \int^x \sec(t) \ dt = \ln \left|\sec(x) + \tan(x) \right|$$

2. En passant par les règles de Bioche

   De la même manière que précédemment, on pose le même changement de variable:

   $$ u = \tan\left(\frac{t}{2} \right) $$
   $$ \left \{ \begin{gather*} u = \tan\left(\frac{t}{2} \right) \\ du = \frac{1}{2} \left(1 + \tan^2\left(\frac{t}{2} \right) \right) dt \Longleftrightarrow du = \frac{1}{2} \left(1 + u^2 \right) \ dt \Longleftrightarrow dt = \frac{2du}{1 + u^2} \end{gather*} \right \} $$

   Alors l'intégrale :

   $$ \int^x \sec(t) \ dt = \int^x \frac{1}{\cos(t)} \ dt $$

   devient :

   $$ \int^x \sec(t) \ dt = \int^x \frac{1 + u^2}{1 - u^2} \ \frac{2du}{1 + u^2} $$
   $$ \int^x \sec(t) \ dt = 2\int^x \frac{du}{1 - u^2} $$
   $$ \int^x \sec(t) \ dt = 2\int^x \frac{du}{(1 - u)(1 + u)} $$

   Après décomposition en éléments simples , on a :

   $$ \int^x \sec(t) \ dt = 2 \times \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1 + u}{1 - u} \right| $$

   En réhabilitant maintenant la variable de départ, on a :

   $$ \int^x \sec(t) \ dt = \ln \left| \frac{1 + \tan\left(\frac{x}{2} \right)}{1 - \tan\left(\frac{x}{2} \right)} \right| $$

   Or, on sait avec les formules d'additions trigonométriques , que :

   $$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1 - \tan(\alpha)\tan(\beta) }$$
   $$ \int^x \sec(t) \ dt = \ln \left| \frac{ \tan\left(\frac{\pi}{4} \right) + \tan\left(\frac{x}{2} \right)}{1 - \tan\left(\frac{\pi}{4} \right) \tan\left(\frac{x}{2} \right)} \right| $$

   On obtient finalement,

   $$ \forall k \in \mathbb{Z}, \enspace \forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ \frac{\pi}{2} + k\pi \Bigr \} \biggr], $$
   $$ \int^x \sec(t) \ dt = \ln \left| \tan\left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right| $$

La fonction cotangente \( : {\displaystyle \int^x} \cot(t) \ dt \)

La fonction \( \cot(x) \) est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, on a :

Soit,

Effectuons le changement de variable suivant : \(u = \sin(t)\).

On a maintenant :

Soit finalement,

La fonction arccosécante \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arccsc}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arccsc}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \csc(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :

On a :

On a calculé plus haut cette intégrale :

Soit finalement,

La fonction arcsécante \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arcsec}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arcsec}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sec(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, en faisant la même intégration par parties qu'avec la fonction \(\operatorname{Arccsc}(x)\) plus haut :

On obtient directement,

La fonction arccotangente \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Arccot}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Arccot}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cot(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, en faisant la même intégration par parties qu'avec la fonction \(\operatorname{Arccsc}(x)\) plus haut :

On obtient directement,

La fonction sinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \sinh(t) \ dt \)

La fonction \( \sinh(x) \) est définie de la manière suivante :

De la même manière que plus haut pour la fonction \(\sin(x)\) , on obtient directement :

La fonction cosinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \cosh(t) \ dt \)

La fonction \( \cosh(x) \) est définie de la manière suivante :

De la même manière que plus haut pour la fonction \(\sinh(x)\) , on obtient directement :

La fonction tangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \tanh(t) \ dt \)

La fonction \( \tanh(x) \) est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, on a :

De la même manière que plus haut avec la fonction \(\tan(x)\), on effectue la changement de variable : \(u = \cosh(t)\).

On finit par obtenir que,

La fonction arcsinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Argsinh}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Argsinh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \sinh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

De la même manière que plus haut, on fait une intégration par parties avec :

On a :

Soit finalement,

La fonction arccosinus hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Argcosh}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Argcosh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \cosh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

De la même manière que plus haut, on fait une intégration par parties avec :

On a :

Soit finalement,

La fonction arctangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Argtanh}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Argtanh}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \tanh(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

Par ailleurs, elle peut aussi être définie explicitement par :

(\(\Longrightarrow\) voir la démonstration )

À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :

On a :

Soit finalement,

La fonction cosécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{csch}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{csch}(x) \) est définie de la manière suivante :

1. Par les fonctions trigonométriques sécantes

   En appliquant le même raisonnement qu'avec la fonction \(\csc(x)\) plus haut :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \operatorname{csch}^2(x) = -\operatorname{coth}(x)' \\ -\operatorname{csch}(x)\operatorname{coth}(x) = \operatorname{csch}(x)' \end{gather*} $$

   On obtient directement :

   $$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*, $$
   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = \ln \left|\operatorname{csch}(x) -\operatorname{coth}(x) \right|$$

2. En passant par le changement de variable \(u = e^t\)

   On passe cette fois-ci par le changement de variable suivant :

   $$ \left \{ \begin{gather*} u = e^t \\ du = e^t \ dt \Longleftrightarrow dt = \frac{du}{u} \end{gather*} \right \} $$

   Alors l'intégrale :

   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = \int^x \frac{1}{\sinh(t)} \ dt = \int^x \frac{2}{e^t - e^{-t}} \ dt $$

   devient :

   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = \int^x \frac{2}{u - u^{-1}} \ \frac{du}{u} $$
   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = 2 \int^x \frac{du}{u^2 - 1} $$

   Après décomposition en éléments simples , on a :

   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = 2 \times \frac{1}{2} \ln \left| \frac{u + 1}{u - 1} \right| $$

   En réhabilitant maintenant la variable de départ, on a :

   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = 2 \times \frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^x + 1}{e^x - 1} \right| $$
   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = 2 \times \frac{1}{2} \ln \left| \frac{(e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}})}{e^{\frac{x}{2}}(e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}})} \right| $$
   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = 2 \times \frac{1}{2} \ln \left| \frac{e^{\frac{x}{2}} + e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}} - e^{-\frac{x}{2}}} \right| $$
   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = \ln \left| \left( \frac{1}{\tanh \left(\frac{x}{2} \right) } \right) \right| $$

   On obtient finalement :

   $$ \forall x \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^*,$$
   $$ \int^x \operatorname{csch}(t) \ dt = \ln \left| \operatorname{coth}\left(\frac{x}{2} \right) \right|$$

La fonction sécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{sech}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{sech}(x) \) est définie de la manière suivante :

1. Par les fonctions trigonométriques sécantes

   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = \int^x \frac{1}{\cosh(t)} \ dt $$
   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = \int^x \frac{\cosh(t)}{\cosh^2(t)} \ dt $$
   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = \int^x \frac{\cosh(t)}{1 + \sinh^2(t)} \ dt $$

   Effectuons le changement de variable suivant : \(u = \sinh(t)\).

   On a maintenant :

   $$ \begin{gather*} \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = \int^x \frac{du}{1 + u^2} \end{gather*} $$

   $$\text{avec } \Biggl \{ \begin{gather*} u = \sinh(t) \\ du = \cosh(t) \ dt \end{gather*}$$
   
   

   Soit finalement,

   $$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = \operatorname{Arctan}(\sinh(x)) $$

2. En passant par le changement de variable \(u = e^t\)

   De la même manière que précédemment, on passe par le changement de variable suivant :

   $$ \left \{ \begin{gather*} u = e^t \\ du = e^t \ dt \Longleftrightarrow dt = \frac{du}{u} \end{gather*} \right \} $$

   Alors l'intégrale :

   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = \int^x \frac{1}{\cosh(t)} \ dt = \int^x \frac{2}{e^t + e^{-t}} \ dt $$

   devient :

   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = \int^x \frac{2}{u + u^{-1}} \ \frac{du}{u} $$
   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = 2 \int^x \frac{du}{u^2 + 1} $$
   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = 2 \ \operatorname{Arctan}(u) $$

   En réhabilitant maintenant la variable de départ, on obtient finalement :

   $$ \forall x \in \mathbb{R}, $$
   $$ \int^x \operatorname{sech}(t) \ dt = 2 \ \operatorname{Arctan}(e^x) $$

La fonction cotangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{coth}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{coth}(x) \) est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, on a :

De la même manière que plus haut, on effectue la changement de variable : \(u = \sinh(t)\).

On a maintenant :

On finit par obtenir que,

La fonction arccosécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Argcsch}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Argcsch}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{csch}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, effectuons une intégration par parties avec :

On sait que cette intégrale vaut :

Soit finalement,

La fonction arcsécante hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Argsech}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Argsech}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{sech}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, en faisant la même intégration par parties qu'avec la fonction \(\operatorname{Argcsch}(x)\) plus haut :

On obtient directement,

La fonction arccotangente hyperbolique \( : {\displaystyle \int^x} \operatorname{Argcoth}(t) \ dt \)

La fonction \( \operatorname{Argcoth}(x) \) est la fonction réciproque de la fonction \( \operatorname{coth}(x) \) , elle est définie de la manière suivante :

À partir de cette définition, en faisant la même intégration par parties qu'avec la fonction \(\operatorname{Argcsch}(x)\) plus haut :

On obtient directement,

Récapitulatif des primitives de fonctions trigonométriques