Le triangle rectangle inscrit dans le cercle

Dans un cercle, si un triangle inscrit a pour plus grand côté le diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.

Démonstration

Pour cela, on se munit d'un repère orthonomé $ (0, \vec{x}, \vec{y}) $.

On a appelé les côtés du triangle $ a, b, c $, et on y a projeté une hauteur $ h $ sur la longueur $ c $, avec comme point d'intersection $ x_R $ .

De même, on a tracé le rayon $ R $ du cercle pointant vers le sommet entre $ a $ et $ b $ du triangle.

On va chercher à démontrer que le triangle $ \{a, b, c \} $ est rectangle entre $ a $ et $ b $.

$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(Pythagore \enspace(réciproque) \bigr) $$

C'est ce que nous allons démontrer.

On applique le théorème de Pythagore sur les trois triangles rectangles :

- celui formé par $ \{h, (R - x_R), a \} $

- celui formé par $ \{h, (R + x_R), b\} $

- celui formé par $ \{h, x_R, R \} $

On a alors les égalités suivantes :

$$ h^2 + (R - x_R)^2 = a^2 \qquad (1) $$

$$ h^2 + (R + x_R)^2 = b^2 \qquad (2) $$

$$ h^2 + x_R^2 = R^2 \Longleftrightarrow h^2 = R^2 - x_R^2\qquad (3) $$

Injectons l'expression de $ h^2 $ de l'expression $ (3) $ dans $ (1) $ et $ (2) $, on obtient alors un nouveau couple d'égalité :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} R^2 - x_R^2 + (R - x_R)^2 = a^2 \qquad (4) \\ R^2 - x_R^2 + (R + x_R)^2 = b^2 \qquad (5) \end{gather*} $$

Calculons maintenant $ a^2 + b^2 $ en effectuant l'opération $ (4) + (5) $ :

$$ a^2 + b^2 = R^2 - x_R^2 + (R - x_R)^2 + R^2 - x_R^2 + (R + x_R)^2 $$

$$ a^2 + b^2 = R^2 - x_R^2 + R^2 - 2R.x_R + x_R^2 + R^2 - x_R^2 + R^2 + 2R.x_R + x_R^2 $$

De nombreux termes s'annulent, et on obtient :

$$ a^2 + b^2 = 4R^2 $$

$$ a^2 + b^2 = (2R)^2 $$

Par ailleurs, on sait que :

$$ c = 2R $$

Car c'est notre diamètre par hypothèse.

Soit finalement :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Avec la la réciproque du théorème de Pythagore , on a montré que le triangle $ \{a, b, c \} $ est rectangle entre $ a $ et $ b $.

Alors,

Dans un cercle, si un triangle inscrit a pour plus grand côté le diamètre de ce cercle, alors ce triangle est rectangle.