Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Théorème de Pythagore

Soit un triangle \(\{a ,\ b, \ c\}\) rectangle entre \( a\) et \( b\), tel que la figure suivante :

1. Démonstration classique

   Pour prouver la véracité du thèorème, nous avons projeté la hauteur \( h_c\) sur l'hypoténuse \( c\).

   

   On sait que la somme des angles d'un triangle est égale à \(\pi \enspace (180°)\) .

   Dans le triangle principal formé par \(\{a, b, c\}\), on remarque que \(\alpha + \beta + \frac{\pi}{2} = \pi\).

   Cette relation générale va nous permettre de déduire d'autres angles.

   Dans le second triangle formé par \(\{m, \; h_c, \; a\}\), on a un angle droit et l'angle \(\beta\). Le troisième angle est alors \(\alpha\).

   Enfin, dans le dernier triangle formé par \(\{h_c, \; n, \; b\}\), on a un angle droit et l'angle \(\alpha\). Le troisième angle est donc \(\beta\).

   Nous les avons ajoutés à la figure suivante :

   

   Une propriété des triangles semblables nous dit que lorsque deux triangles ont deux-à-deux les mêmes angles, ils sont semblables , et auront alors deux-à-deux leurs côtés similaires formant un même ratio.

   Dans ce cas, on a les relations suivantes :

   $$ \frac{a}{c} = \frac{m}{a} = \frac{h_c}{b} $$

   $$ \frac{a}{c} = \frac{m}{a} \qquad (1) $$

   $$ \frac{b}{c} = \frac{n}{b} = \frac{h_c}{a} $$

   $$ \frac{b}{c} = \frac{n}{b} \qquad (2) $$

   Grâce aux expressions \((1)\) et \((2)\), on a :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a^2 = cm \qquad (3) \\ b^2 = cn \qquad (4) \end{gather*} $$

   Maintenant, en additionnant \((3) \) et \((4)\), on obtient :

   $$ a^2 + b^2 = cm + cn$$
   $$ a^2 + b^2 = c(m + n) $$

   Mais \( (m + n = c) \), soit finalement :

   $$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore} \bigr) $$

2. L'excellente intuition d'Einstein

   Comme dans la démonstration précédente, Einstein avait noté que lorsque l'on trace la hauteur projetée sur l'hypoténuse, cela formait trois triangles semblables .

   

   Or, dans de tels triangles semblables et rectangles, les aires de chaque triangle étaient proportionnelles au carré de leur hypoténuse respective.

   En effet, si on démarre d'un triangle \(\{a ,\ b, \ c\}\) rectangle entre \( a\) et \( b\), si on lui applique un coefficient de proportionnalité \(k\) pour obtenir un deuxième triangle \(\{a', \; b', \; c'\}\), alors :

   $$ \left \{ \begin{gather*} a' = ka \\ b' = kb \\ c' = kc \end{gather*} \right \} $$

   Et les aires respectives des deux triangles subissent alors aussi la transformation :

   $$ A = \frac{ab}{2} \longmapsto A' = \frac{ka \times kb}{2} $$
   $$ A' = k^2 \times \frac{ab}{2} $$
   $$ A' = k^2 \times A $$
   
   

   Comme les deux triangles internes ne sont que des réductions du grand triangle, on peut définir les deux coefficients suivants :

   $$ \left \{ \begin{gather*} \text{Petit triangle} : k_1 = \frac{a}{c} \\ \\ \text{Triangle moyen} : k_2 = \frac{b}{c} \end{gather*} \right \} $$

   Ainsi que leurs aires respectives en fonction de \(A\) :

   $$ \left \{ \begin{gather*} \text{Petit triangle} : A_1 = k_1 \times A \\ \\ \text{Triangle moyen} : A_2 = k_2 \times A \end{gather*} \right \} $$

   En remplaçant, on obtient :

   $$ \left \{ \begin{gather*} \text{Petit triangle} : A_1 = \left( \frac{a}{c} \right)^2 \times A \\ \\ \text{Triangle moyen} : A_2 = \left( \frac{b}{c} \right)^2 \times A \end{gather*} \right \} $$

   Et comme les aires s'additionnent :

   $$ A = A_1 + A_2 $$
   $$ A = \left( \frac{a}{c} \right)^2 \times A + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \times A $$
   $$ A = A \left[ \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \right] $$

   Enfin, on en déduit que :

   $$ \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 = 1 $$
   $$ \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1 $$
   
   

   Et finalement que,

   $$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore} \bigr) $$

3. La démonstration de Garfield

   Une démonstration avec un aspect géométrique plus prégnant.

   Si l'on trace deux triangles rectangles identiques \(\{a ,\ b, \ c\}\), l'un aplati sur \(b\) et l'autre aplati sur \(a\) comme la figure suivante :

   

   Alors, les deux hypoténuses \(c\) sont adjacentes.

   Par ailleurs, la somme des angles dans un triangle étant constante et le troisième angle étant droit, on a :

   $$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} $$

   Or, un angle plat valant \(\pi\), l'angle formé par les deux hypoténuses \(c\) vaut nécessairement \(\frac{\pi}{2}\). C'est donc un angle droit que l'on ajoute sur la figure :

   

   À présent nous disposons d'un trapèze dont on peut calculer l'aire :

   $$ A = (a + b) \times \frac{(a + b)}{2} $$
   $$ A = \frac{(a + b)^2}{2} $$

   On développe :

   $$ A = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2} $$
   $$ A = \frac{a^2 + b^2}{2} + 2 \times \frac{ab}{2} $$

   On identifie dans un premier les aires respectives des deux triangles rectangles \(\{a ,\ b, \ c\}\) :

   $$ \left \{ \begin{gather*} 2 \times \frac{ab}{2} : \text{Aire des deux triangles rectangles } \{a ,\ b, \ c\} \end{gather*} \right \} $$

   Et nécessairement l'autre vaut :

   $$ \left \{ \begin{gather*} \frac{a^2 + b^2}{2} : \text{Aire du demi-carré de côté } c \end{gather*} \right \} $$

   Mais cette aire du demi-carré vaut aussi par définition \(\frac{c^2}{2}\), par conséquent :

   $$ \frac{a^2 + b^2}{2} = \frac{c^2}{2} $$
   
   

   Et finalement on retrouve bien,

   $$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore} \bigr) $$

Réciproque du théorème de Pythagore

Pour prouver à présent la réciproque du théorème, nous disposons d'un triangle, a priori rectangle, mais partons uniquement de l'hypothèse que :

1. Par calcul de l'angle \(\gamma\), a priori droit

   Nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit, en séparant l'angle \( \gamma \) en deux angles \( \gamma_a \) et \( \gamma_b \) :

   

   Si \(\gamma\) est un angle droit, alors \(\cos(\gamma) = 0\).

   On sait par les formules d'addition trigonométriques que :

   $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

   $$ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) $$

   Soit dans notre cas,

   $$ \cos(\gamma) = \cos(\gamma_a + \gamma_b) = \cos(\gamma_a) \cos(\gamma_b) - \sin(\gamma_a) \sin(\gamma_b) $$
   $$ \cos(\gamma) = \frac{h_c}{a} . \frac{h_c}{b} - \frac{m}{a} . \frac{n}{b} $$
   $$ \cos(\gamma) = \frac{h_c^2 - mn}{ab} \qquad (5) $$

   Avec les équations suivantes que l'on peut remarquer sur la figure ci-dessus,

   $$ \left \{ \begin{gather*} a^2 = m^2 + h_c^2 \\ b^2 = n^2 + h_c^2 \\ c^2 = (m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \end{gather*} \right \} $$

   on voit que notre hypothèse :

   $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

   devient :

   $$ \underbrace{ m^2 + h_c^2 } _{ a^2 } \enspace + \enspace \underbrace{ n^2 + h_c^2} _{ b^2 } \enspace = \enspace \underbrace{ m^2 + 2mn + n^2 } _{ c^2 }$$
   $$ 2h_c^2 + m^2 + n^2 = 2mn + m^2 + n^2 $$
   $$ h_c^2 = mn $$

   Et enfin,

   $$ h_c^2 - mn = 0 \qquad (6) $$

   En injectant \( (6) \) dans \( (5) \) on obtient :

   $$ \cos(\gamma) = 0 \Longleftrightarrow \Biggl \{ \gamma = \frac{\pi}{2} \ ou \ \gamma = -\frac{\pi}{2} \Biggr \} $$

   On a bien montré que l'angle \( \gamma \) est un angle droit, et donc que le triangle \(\{a, b, c\}\) est rectangle entre \(a\) et \(b\).

   $$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore (réciproque)} \bigr) $$

2. Par comparaison des aires

   De la même manière, nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit.

   

   Nous savons que la surface d'un triangle répond à la formule suivante :

   $$ S_{triangle} = \frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \qquad (7) $$

   Or, la surface d'un triangle tel que celui plus haut vaut :

   $$ S_{triangle} = \frac{1}{2} \sin(\gamma) \times a b \qquad (8) $$

   Et en combinant \((7)\) et \((8)\) :

   $$ \frac{c.h_c}{2} = \frac{\sin(\gamma) \times a b}{2} \Longleftrightarrow c.h_c = \sin(\gamma) \times a b $$

   Nous allons montrer que \(\sin(\gamma) = 1\) afin de montrer que le triangle est bien rectangle.

   Pour cela, repartons de notre hypothèse de départ :

   $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

   Soit,

   $$ a^2 + b^2 = (m + n)^2 \qquad (9) $$

   On sait grâce au théorème de Pythagore que dans le triangle interne \(\{a, m, h_c\}\), on a :

   $$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$

   Soit que :

   $$ m^2 = a^2 - h_c^2 $$

   $$ m = \sqrt{ a^2 - h_c^2} \qquad (10) $$

   De même, dans l'autre triangle interne, on a :

   $$ n = \sqrt{ b^2 - h_c^2} \qquad (11) $$

   En injectant \( (10) \) et \( (11) \) dans \( (9) \), on a :

   $$ a^2 + b^2 = \left(\sqrt{ a^2 - h_c^2 } + \sqrt{ b^2 - h_c^2} \right)^2 $$

   En distribuant l'égalité remarquable, on obtient :

   $$ a^2 + b^2 = a^2 - h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} + b^2 - h_c^2 $$

   Le membre \( (a^2 + b^2) \) est présent de chaque côté, on le retire :

   $$ 0 = -2h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} $$
   $$ 2h_c^2 = 2\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$
   $$ h_c^2 = \sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$

   On applique un carré pour retirer la racine du membre de droite :

   $$ \left(h_c^2 \right)^2 = \left(\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4}\right)^2 $$
   $$ h_c^4 = a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4 $$

   On peut retirer les \( h_c^4 \) présents de part et d'autre.

   $$ a^2b^2 = a^2h_c^2 + b^2h_c^2 $$

   On factorise :

   $$ a^2b^2 = h_c^2 (a^2 + b^2) $$

   Mais, nous avions comme hypothèse de départ que :

   $$ a^2 + b^2 = c^2 $$

   Alors :

   $$ a^2 \ b^2 = h_c^2 \ c^2 $$
   $$ \sqrt{a^2 \ b^2} = \sqrt{h_c^2 \ c^2 } $$

   Et finalement,

   $$ c \ h_c = a \ b $$

   Or, on avait comme résultat précédent que :

   $$c \ h_c = \sin(\gamma) \times a b $$

   Cela implique que \(\sin(\gamma)= 1\), et donc que l'angle \(\gamma\) est droit.

   On a bien prouvé, que que le triangle \(\{a, b, c\}\) est rectangle entre \(a \) et \( b \). D'où :

   $$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore (réciproque)} \bigr) $$

Équivalence du théorème de Pythagore

Deux implications forment une équivalence.

Alors, étant données les deux implications \((I_1)\) et \((I_2)\) :

On peut les rassembler dans une l'équivalence :