Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Démonstration

Théorème de Pythagore

1. Démonstration classique

Soit un triangle \(\{a, \; b, \; c\}\) rectangle entre \( a\) et \( b\), tel que la figure suivante :



Pour prouver la véracité du thèorème, nous avons projeté la hauteur \( h_c\) sur l'hypoténuse \( c\).

On sait que la somme des angles d'un triangle est égal à \(\pi \enspace (180°)\) .

Dans le triangle principal formé par \(\{a, b, c\}\), on remarque que \(\alpha + \beta + \frac{\pi}{2} = \pi\).

Cette relation générale va nous permettre de déduire d'autres angles.

Dans le second triangle formé par \(\{m, \; h_c, \; a\}\), on a un angle droit et l'angle \(\beta\). Le troisième angle est alors \(\alpha\).

Enfin, dans le dernier triangle formé par \(\{h_c, \; n, \; b\}\), on a un angle droit et l'angle \(\alpha\). Le troisième angle est donc \(\beta\).

Nous les avons ajoutés à la figure suivante :



Une propriété des triangles semblables nous dit que lorsque deux triangles ont deux-à-deux les mêmes angles, ils sont semblables, et auront alors deux-à-deux leurs côtés similaires formant un même ratio.

Dans ce cas, on a les relations suivantes :

$$ \frac{a}{c} = \frac{m}{a} = \frac{h_c}{b} $$
$$ \frac{a}{c} = \frac{m}{a} \qquad (1)$$
$$ \frac{b}{c} = \frac{n}{b} = \frac{h_c}{a} $$
$$ \frac{b}{c} = \frac{n}{b} \qquad (2)$$

Grâce aux expressions \((1)\) et \((2)\), on a :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a^2 = cm \qquad (3) \\ b^2 = cn \qquad (4) \end{gather*} $$

Maintenant, en additionnant \((3) \) et \((4)\), on obtient :

$$ a^2 + b^2 = cm + cn$$
$$ a^2 + b^2 = c(m + n) $$

Mais \( (m + n = c) \), soit finalement :

$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore} \bigr) $$
2. L'excellente intuition d'Einstein

Comme dans la démonstration précédente, Einstein avait noté que lorsque l'on trace la hauteur projettée sur l'hypoténuse, cela formait trois triangles semblables.



Or, dans de tels triangles semblables et rectangles, les aires de chaque triangle étaient proportionnelles au carré de leur hypoténuse respective.

En effet, si on démarre d'un triangle \(\{a, \; b, \; c\}\) rectangle entre \( a\) et \( b\), si on le lui applique un coefficient de proportionnalité \(k\) pour obtenir un deuxième triangle \(\{a', \; b', \; c'\}\), alors :

$$ \left \{ \begin{gather*} a' = ka \\ b' = kb \\ c' = kc \end{gather*} \right \} $$

Et les aires respectives des deux triangles subissent alors aussi la transformation :

$$ A = \frac{ab}{2} \longmapsto A' = \frac{ka \times kb}{2} $$
$$ A' = k^2 \times \frac{ab}{2} $$
$$ A' = k^2 \times A $$



Comme les deux triangles internes ne sont que des réductions du grand triangle, on peut définir les deux coefficients suivants :

$$ \left \{ \begin{gather*} \text{Petit triangle} : k_1 = \frac{a}{c} \\ \\ \text{Triangle moyen} : k_2 = \frac{b}{c} \end{gather*} \right \} $$

Ainsi que leurs aires respectives en fonction de \(A\) :

$$ \left \{ \begin{gather*} \text{Petit triangle} : A_1 = k_1 \times A \\ \\ \text{Triangle moyen} : A_2 = k_2 \times A \end{gather*} \right \} $$

En remplaçant, on obtient :

$$ \left \{ \begin{gather*} \text{Petit triangle} : A_1 = \left( \frac{a}{c} \right)^2 \times A \\ \\ \text{Triangle moyen} : A_2 = \left( \frac{b}{c} \right)^2 \times A \end{gather*} \right \} $$

Et comme les aires s'additionnent :

$$ A = A_1 + A_2 $$
$$ A = \left( \frac{a}{c} \right)^2 \times A + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \times A $$
$$ A = A \left[ \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \right] $$

Enfin, on en déduit que :

$$ \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 = 1 $$
$$ \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1 $$



Et finalement que,

$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore} \bigr) $$
3. La démonstration de Garfield

Une démonstration avec un aspect géométrique plus prégnant.

Si l'on trace deux triangles rectangles identiques \(\{a, \; b, \; c\}\), l'un aplati sur \(b\) et l'autre aplati sur \(a\) comme la figure suivante :



Alors, les deux hypoténuses \(c\) sont adjacentes.

Par ailleurs, la somme des angles dans un triangle étant constante et le troisième angle étant droit, on a :

$$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} $$

Or, un angle plat valant \(\pi\), l'angle formé par les deux hypoténuses \(c\) vaut nécessairement \(\frac{\pi}{2}\). C'est donc un angle droit que l'on ajoute sur la figure :



À présent nous disposons d'un trapèze dont on peut calculer l'aire :

$$ A = (a + b) \times \frac{(a + b)}{2} $$
$$ A = \frac{(a + b)^2}{2} $$

On développe :

$$ A = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2} $$
$$ A = \frac{a^2 + b^2}{2} + 2 \times \frac{ab}{2} $$

On identifie dans un premier les aires respectives des deux triangles rectangles \{a, \; b, \; c\} :

$$ \left \{ \begin{gather*} 2 \times \frac{ab}{2} : \text{Aire des deux triangles rectangles } \{a, \; b, \; c\} \end{gather*} \right \} $$

Et nécessairement l'autre vaut :

$$ \left \{ \begin{gather*} \frac{a^2 + b^2}{2} : \text{Aire du demi-carré de côté } c \end{gather*} \right \} $$

Mais cette aire du demi-carré vaut aussi par définition \(\frac{c^2}{2}\), par conséquent :

$$ \frac{a^2 + b^2}{2} = \frac{c^2}{2} $$



Et finalement on retrouve bien,

$$ a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore} \bigr) $$

Réciproque du théorème de Pythagore

Pour prouver à présent la réciproque du théorème, nous disposons d'un triangle, a priori rectangle, mais partons uniquement de l'hypothèse que :

1. Par calcul de l'angle \(\gamma\), a priori droit

Nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit, en séparant l'angle \( \gamma \) en deux angles \( \gamma_a \) et \( \gamma_b \) :



Si \(\gamma\) est un angle droit, alors \(cos(\gamma) = 0\).

On sait par les formules d'addition trigonométriques que :

$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

$$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta) $$

Soit dans notre cas,

$$ cos(\gamma) = cos(\gamma_a + \gamma_b) = cos(\gamma_a) cos(\gamma_b) - sin(\gamma_a) sin(\gamma_b) $$
$$ cos(\gamma) = \frac{h_c}{a} . \frac{h_c}{b} - \frac{m}{a} . \frac{n}{b} $$
$$ cos(\gamma) = \frac{h_c^2 - mn}{ab} \qquad (5) $$

Avec les équations suivantes que l'on peut remarquer sur la figure ci-dessus,

$$ \left \{ \begin{gather*} a^2 = m^2 + h_c^2 \\ b^2 = n^2 + h_c^2 \\ c^2 = (m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \end{gather*} \right \} $$

on voit que notre hypothèse :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

devient :

$$ \underbrace{ m^2 + h_c^2 } _\text{\(a^2\)} \enspace + \enspace \underbrace{ n^2 + h_c^2} _\text{\(b^2\)} \enspace = \enspace \underbrace{ m^2 + 2mn + n^2 } _\text{\(c^2\)}$$
$$ 2h_c^2 + m^2 + n^2 = 2mn + m^2 + n^2 $$
$$ h_c^2 = mn $$

Et enfin,

$$ h_c^2 - mn = 0 \qquad (6) $$

En injectant \( (6) \) dans \( (5) \) on obtient :

$$ cos(\gamma) = 0 \Longleftrightarrow \Biggl \{ \gamma = \frac{\pi}{2} \ ou \ \gamma = -\frac{\pi}{2} \Biggr \} $$

On a bien montré que l'angle \( \gamma \) est un angle droit, et donc que le triangle \(\{a, b, c\}\) est rectangle entre \(a\) et \(b\).

$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore (réciproque)} \bigr) $$

2. Par comparaison des aires

De la même manière, nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit.



Nous savons que la surface d'un triangle répond à la formule suivante :

$$ S_{triangle} = \frac{base \times hauteur}{2} \qquad (7) $$

Or, la surface d'un triangle tel que celui plus haut vaut :

$$ S_{triangle} = \frac{1}{2} sin(\gamma) \times a b \qquad (8) $$

Et en combinant \((7)\) et \((8)\) :

$$ \frac{c.h_c}{2} = \frac{sin(\gamma) \times a b}{2} \Longleftrightarrow c.h_c = sin(\gamma) \times a b $$

Nous allons montrer que \(sin(\gamma) = 1\) afin de montrer que le triangle est bien rectangle.

Pour cela, repartons de notre hypothèse de départ :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Soit,

$$ a^2 + b^2 = (m + n)^2 \qquad (9) $$

On sait grâce au théorème de Pythagore que dans le triangle interne \(\{a, m, h_c\}\), on a :

$$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$

Soit que :

$$ m^2 = a^2 - h_c^2 $$

$$ m = \sqrt{ a^2 - h_c^2} \qquad (10) $$

De même, dans l'autre triangle interne, on a :

$$ n = \sqrt{ b^2 - h_c^2} \qquad (11) $$

En injectant \( (10) \) et \( (11) \) dans \( (9) \), on a :

$$ a^2 + b^2 = \left(\sqrt{ a^2 - h_c^2 } + \sqrt{ b^2 - h_c^2} \right)^2 $$

En distribuant l'égalité remarquable, on obtient :

$$ a^2 + b^2 = a^2 - h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} + b^2 - h_c^2 $$

Le membre \( (a^2 + b^2) \) est présent de chaque côté, on le retire :

$$ 0 = -2h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} $$
$$ 2h_c^2 = 2\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$
$$ h_c^2 = \sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$

On applique un carré pour retirer la racine du membre de droite :

$$ \left(h_c^2 \right)^2 = \left(\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4}\right)^2 $$
$$ h_c^4 = a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4 $$

On peut retirer les \( h_c^4 \) présents de part et d'autre.

$$ a^2b^2 = a^2h_c^2 + b^2h_c^2 $$

On factorise :

$$ a^2b^2 = h_c^2 (a^2 + b^2) $$

Mais, nous avions comme hypothèse de départ que :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Alors :

$$ a^2 \ b^2 = h_c^2 \ c^2 $$
$$ \sqrt{a^2 \ b^2} = \sqrt{h_c^2 \ c^2 } $$

Et finalement,

$$ c \ h_c = a \ b $$

Or, on avait comme résultat précédent que :

$$c \ h_c = sin(\gamma) \times a b $$

Cela implique que \(sin(\gamma)= 1\), et donc que l'angle \(\gamma\) est droit.

On a bien prouvé, que que le triangle \(\{a, b, c\}\) est rectangle entre \(a \) et \( b \). D'où :

$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore (réciproque)} \bigr) $$

Équivalence du théorème de Pythagore

Deux implications forment une équivalence.

Alors, étant données les deux implications \((I_1)\) et \((I_2)\) :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad (I_1)\\ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad (I_2) \end{gather*} $$

On peut les rassembler dans une l'équivalence :

Exemple

Le théorème de Pythagore nous permet de mesurer des distances à la fois dans un plan, mais aussi dans l'espace.

1. Calculer une longueur dans le plan

Nous disposons d'un plan \((\vec{x}, \ \vec{y}) \) dans lequel il existe deux points \( A(x_a, \ y_a )\) et \(B(x_b, \ y_b )\).



En joignant en abscisses \( x_a \) et \( x_b\), ainsi qu'en ordonnée \( y_b \) et \( y_a\), on obtient un troisième point \( C\), et par conséquent un triangle rectangle \(ABC \), rectangle en \(C \).



On peut alors y appliquer le théorème de Pythagore :

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$AB^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 $$
$$AB = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

Alors, la distance \( AB\) dans un espace à deux dimensions vaut :

$$\forall (A, B) \in \hspace{0.04em} (O, \vec{x}, \vec{y})^2, $$
$$AB = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

2. Calculer une longueur dans l'espace

On souhaite à présent calculer une longueur \(AB \) dans un espace à trois dimensions.



On a calculé précédemment que la longueur \(AC \), sur ce nouveau schéma, vaut :

$$AC = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$


Par suite, on réapplique le théorème de Pythagore dans le triangle \(ABC \) :

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$AB^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 $$
$$AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 } $$

Alors, la distance \( AB\) dans un espace à trois dimensions vaut :

$$\forall (A, B) \in \hspace{0.04em} (O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})^2, $$
$$AB =\sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 }$$