Les séries de Fourier

La notation trigonométrique

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) un entier naturel supérieur à 1.

Cette démonstration étant assez longue, nous l'avons scindée en différentes étapes successives.

1. Dans le monde idéal : sur \( \bigl[-\pi; \pi\bigr]\)

   Soient \(f(x)\) une fonction \(2\pi\)-périodique.

   Dans ce monde, la pulsation vaut \(\omega = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\). Les sinus et cosinus s'écrivent donc simplement \(\sin(nx)\) et \(\cos(nx)\).

   L'hypothèse de départ de Fourier est que l'on peut reconstruie cette fonction comme étant une somme de cosinus et de sinus :

   $$f(x) = a_0 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \qquad(H)$$

   L'objectif est alors de déterminer quels sont les coefficients \((a_0)\) ainsi \((a_n, b_n)\) pour tout \(n \).

   1. L'isolation de \( a_0 \)

      En intégrant simplement notre fonction de départ \((H)\), on a :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \hspace{0.3em} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \hspace{0.3em} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \hspace{0.3em} dx $$

      Les fonctions \(cos\) et \(sin\) étant \(2\pi\)-périodiques, elles vont s'annuler entre \(-\pi\) et \(\pi\) :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \hspace{0.3em} dx + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \hspace{0.3em} dx } _{=0} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \hspace{0.3em} dx } _{=0} $$

      Soit après le grand nettoyage :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \hspace{0.3em} dx$$
      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx = 2\pi a_0 $$
      $$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx $$

   2. Le calcul des harmoniques \( a_n \)

      Soit \(m \in \mathbb{N}^*\) un entier naturel supérieur à 1.

      Pour isoler le coefficient \(a_n\), on multiplie l'équation \((H)\) par \(\cos(mx)\) :

      $$f(x) \cos(mx) = a_0 \cos(mx) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \cos(mx) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \cos(mx) $$

      Puis on l' intègre de \(-\pi\) à \(\pi\) :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(mx) \hspace{0.3em} dx = \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \cos(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(A)} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \cos(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(B)} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \cos(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(C)} \qquad (1) $$

      Or, à partir de ce point, beaucoup de termes s'annulent :

      • La partie \((A)\) s'annule dans tous les cas :

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ A = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \cos(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (A)$$
        $$ A = a_0\left[ \frac{\sin(mx)}{m}\right]_{-\pi}^{\pi} $$
        $$ A = a_0 \left(\frac{\sin(m\pi)}{m} - \frac{\sin(-m\pi)}{m} \right) $$
        $$ A = a_0 \left( \frac{\sin(m\pi)}{m} + \frac{\sin(m\pi)}{m} \right)$$
        $$ A = a_0 \left( \frac{2\sin(m\pi)}{m} \right) $$

        Toutes les fonctions sinus multiples de \(\pi\) valent \(0\), donc :

        $$ A = 0 $$

      • La partie \((B)\) s'annule uniquement si \((n \neq m)\) :

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ B = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \cos(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (B)$$

        On sait par les formules d'additions trigonométriques que :

        $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

        $$ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) $$

        Alors, dans notre cas :

        $$ B = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \frac{ \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) + \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) }{2} \hspace{0.3em} dx$$

        Par linéarité , on peut inverser les symboles \(\int\) et \(\sum\) :

        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \int_{-\pi}^{\pi} a_n \frac{ \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) + \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) }{2} \hspace{0.3em} dx $$
        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left( \int_{-\pi}^{\pi} \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) + \int_{-\pi}^{\pi} \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) \hspace{0.3em} dx \right) $$
        
        
        $$ \underline{\text{Cas 1 : Lorsque } (n \neq m)} $$
        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left(\left[ \frac{\sin(n + m)x}{n + m}\right]_{-\pi}^{\pi} + \left[ \frac{\sin(n - m)x}{n - m}\right]_{-\pi}^{\pi} \right) $$
        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left(\frac{\sin\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m} - \frac{\sin\Bigl((n + m)(-\pi)\Bigr)}{n + m} + \frac{\sin\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} - \frac{\sin\Bigl((n - m)(-\pi)\Bigr)}{n - m} \right) $$

        Toutes les fonctions sinus multiples de \(\pi\) valent \(0\), donc :

        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left(\underbrace{\frac{2\sin\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m}} _{=0} + \underbrace{\frac{2\sin\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} } _{=0} \right) $$
        $$ (n \neq m) \implies B = 0 $$
        
        
        $$ \underline{\text{Cas 2 : Lorsque } (n = m)} $$

        Tous les termes de la somme s'annulent excepté celui pour lequel \(n = m\) :

        $$ \begin{cases} (n + m) = 2m \implies \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) = \cos(2mx) \\ (n - m) = 0 \implies \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) = 1 \end{cases} $$
        $$ B = \frac{1}{2} a_m \left( \int_{-\pi}^{\pi} \cos(2mx) \, dx + \int_{-\pi}^{\pi} dx \right) $$
        $$ B = \frac{1}{2} a_m \left( \left[ \frac{\sin(2mx)}{2}\right]_{-\pi}^{\pi} + \bigl[ x \bigr]_{-\pi}^{\pi} \right) $$
        $$ B = \frac{1}{2} a_m \left( \frac{\sin(2m \pi)}{2} - \frac{\sin\Bigl(2m (-\pi) \Bigr)}{2} + \pi -(- \pi) \right) $$
        $$ B = \frac{1}{2} a_m \Bigl( \underbrace{\sin(2m \pi)} _{=0} + 2\pi \Bigr) $$
        $$ (n = m) \implies B = a_m \pi $$

        Remarque :

        Les choses étant bien faites, le cas \((n = m)\) est de toute façon à traiter à part car \(B\) n'aurait pas été défini à cause de son dénominateur.

   3. Le calcul des harmoniques \( b_n \)

      Cette partie se fait de la même manière que précédemment, mais en multipliant cette fois par \(sin(mx)\) :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx = \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \sin(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(A')} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(B')} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(C')} \qquad (1') $$

      • La partie \((A')\) s'annule dans tous les cas :

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ A' = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \sin(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (A')$$
        $$ A' = a_0 \left[ -\frac{\cos(mx)}{m}\right]_{-\pi}^{\pi} $$
        $$ A'= a_0 \left(-\frac{\cos(m\pi)}{m} + \frac{\cos(-m\pi)}{m} \right)$$
        $$ A'= a_0 \left(-\frac{\cos(m\pi)}{m} + \frac{\cos(m\pi)}{m} \right)$$
        $$ A'= 0 $$

      • La partie \((B')\) s'annule dans tous les cas:

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ B' = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (B')$$

        Or, on sait par les formules d'additions trigonométriques que :

        $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

        $$ \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) \sin(\beta) $$

        C'est quasiment la même partie que la partie \((C)\) précédemment calculée, mais avec un signe \((-)\) à la place du \((+)\) :

        $$ B' = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \frac{ \sin\Bigl((n + m)x\Bigr) - \sin\Bigl((n - m)x\Bigr) }{2} \hspace{0.3em} dx$$

        Les étapes sont donc les mêmes et le résultat aussi :

        $$ B' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left( \underbrace{ \frac{\cos\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m} - \frac{\cos\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m} } _{=0} - \left( \underbrace{ \frac{\cos\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} - \frac{\cos\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} } _{=0} \right) \right) $$

        $$ B' = 0 $$

      • La partie \((C')\) s'annule uniquement si \((n \neq m)\) :

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ C' = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (C')$$

        Or, on sait par les formules d'additions trigonométriques que :

        $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

        $$ cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2 \sin(\alpha) \sin(\beta) $$

        C'est quasiment la même partie que la partie \((B)\) précédemment calculée, :

        $$ C' = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \frac{ \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) - \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) }{2} \hspace{0.3em} dx$$
        
        
        $$ \underline{\text{Cas 1 : Lorsque } (n \neq m)} $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left(\left[ \frac{\sin(n - m)x}{n - m}\right]_{-\pi}^{\pi} - \left[ \frac{\sin(n + m)x}{n + m}\right]_{-\pi}^{\pi} \right) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left(\frac{\sin\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} - \frac{\sin\Bigl((n - m)(-\pi)\Bigr)}{n - m} - \left( \frac{\sin\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m} - \frac{sin\Bigl((n + m)(-\pi)\Bigr)}{n + m} \right) \right) $$

        Toutes les fonctions sinus multiples de \(\pi\) valent \(0\), donc :

        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left(\underbrace{\frac{2\sin\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m}} _{=0} - \underbrace{\frac{2\sin\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} } _{=0} \right) $$
        $$ (n \neq m) \implies C' = 0 $$
        
        
        $$ \underline{\text{Cas 2 : Lorsque } (n = m)} $$

        Alors :

        $$ \begin{cases} (n - m) = 0 \implies \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) = 1 \\ (n + m) = 2m \implies \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) = \cos(2mx) \end{cases} $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left( \int_{-\pi}^{\pi} dx - \int_{-\pi}^{\pi} \cos(2mx) \right) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left( \bigl[ x \bigr]_{-\pi}^{\pi} - \left[ \frac{sin(2mx)}{2}\right]_{-\pi}^{\pi} \right) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left( + \pi -(- \pi) - \left( \frac{sin(2m \pi)}{2} - \frac{sin\Bigl(2m (-\pi) \Bigr)}{2} \right) \right) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \Bigl( 2\pi + \underbrace{sin(2m \pi)} _{=0} \Bigr) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \pi b_n $$
        $$ (n = m) \implies C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \pi $$

      • Conclusion :

        De la même manière que précedemment \((1')\) et qu'on l'évalue lorsque \((n = m)\) :

        $$ (n = m) \implies \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \hspace{0.3em} dx = b_n \pi $$

        Soit,

        $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \hspace{0.3em} dx $$

2. Le changement de variable : vers le monde physique \( \bigl[0; T\bigr]\)

   Maintenant, quittons le monde idéal pour aller vers n'importe quel signal physique \(f(t)\) qui est \(T\)-périodique et qui démarre à \((t = 0 s)\). Sa pulsation est alors de \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

   Pour transférer nos formules précédentes, on précède par deux astuces consécutives.

   1. Le glissement de la fenêtre

      Puisque la fonction \(f(x)\) est \(2\pi\)-périodique, calculer son aire entre \(-\pi\) et \(\pi\) revient à la calculer entre \(0\) et \(2\pi\).

   2. Le changement de variable

      On veut maintenant passer de \(x\) (l'angle) à la variable \(t\) (le temps). La relation entre le deux est :

      $$ x = \omega t$$
      $$ \left(\text{avec } \omega = \frac{2\pi}{T}\right) $$

      On doit aussi transformer notre différentielle \(dx\) :

      $$ dx = \omega \, dt$$
      
      

      L'hypothèse de départ de Fourier s'écrit maintenant :

      $$f(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(n \omega t) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(n \omega t) $$
      
      

      Alors, les trois relations précédentes se transforment et deviennent :

      $$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{T} f(t) \hspace{0.3em} \omega \, dt $$
      $$a_0 = \frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{T} f(t) \, dt $$
      $$a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t) \, dt $$
      $$ \forall n \in \mathbb{N}^*,$$
      $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n \omega t) \hspace{0.3em} \omega \, dt $$

      $$ a_n = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n \omega t) \, dt $$

      $$ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n \omega t) \, dt $$

      $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n \omega t) \hspace{0.3em} \omega \, dt $$

      $$ b_n = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n \omega t) \, dt $$

      $$ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n \omega t) \, dt $$
      $$ \text{avec } \begin{cases} T : \text{Période de la fonction } f(t) \\ \omega = \frac{2\pi}{T} : \text{Pulsation } \end{cases} $$

      Pourquoi cette isolation de \(a_0\) ?

      Pourquoi avoir isolé ce coefficient \(a_0\), alors qu'on aurait pu l'inclure naturellement dans la somme pour \(n = 0\) ?

      $$f(t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_n \cos(n \omega t) + \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_n \sin(n \omega t) $$

      C'est une question de géométrie et de valeur moyenne. Le coefficient \(a_0\) représente la composante continue du signal, c'est-à-dire sa valeur moyenne sur une période complète. Graphiquement, c'est la ligne de flottaison autour de laquelle le signal oscille.

      • L'aire sous la courbe (pour \(n \geqslant 1\))

        Pour n'importe quelle harmonique oscillante (\(n \geqslant 1\)), les fonctions \(\cos(n\omega t)\) et \(\sin(n\omega t)\) passent autant de temps au-dessus qu'en dessous de l'axe des abscisses. Sur une période complète, leur valeur moyenne est nulle, mais leur moyenne quadratique (leur énergie) est répartie uniformément, ce qui fait apparaître géométriquement un facteur \(\frac{T}{2}\) lors de l'intégration.

        C'est ce facteur \(\frac{T}{2}\) qui engendre, par inversion, le coefficient \(\frac{2}{T}\) devant les intégrales de \(a_n\) et \(b_n\).

      • Le cas de la fréquence nulle (pour \(n = 0\))

        À la fréquence nulle (\(n = 0\)), le sinus s'annule (\(\sin(0) = 0\)) mais le cosinus devient une constante pure : \(\cos(0) = 1\). Il ne'oscille plus. L'intégrale d'une constante égale à \(1\) sur une période \(T\) vaut tout simplement :

        $$ \int_{0}^{T} 1 \, dt = T $$

        L'aire mesurée est donc deux fois plus grande que celle d'une onde (\(T\) au lieu de \(\frac{T}{2}\)).

      • Conclusion

        Si l'on appliquait aveuglément la formule générale de \(a_n\) avec le facteur \(\frac{2}{T}\) pour le cas \(n=0\), on obtiendrait un résultat deux fois trop grand par rapport à la véritable valeur moyenne.

        Isoler \(a_0\) avec un facteur \(\frac{1}{T}\) (ou diviser la formule générale par 2) est donc indispensable pour rétablir la réalité physique du signal.

La notation exponentielle

Si l'on reprend la fonction précédente :

Cette série devient :

Or, \(\frac{1}{i} = -i\). Donc,

Puis, en regroupant les termes :

On a donc, en remplaçant l'expression précédente :

On peut alors maintenant inverser les indices dans la seconde somme telle que les sommes soient symétriques :

En observant que pour \(n = 0\), l'exponentielle s'annule et vaut \(1\) (\(e^{i \cdot 0 \cdot \omega t} = 1\)), on peut définir le terme constant comme le coefficient \(c_0\) de notre suite :

En injectant \(c_0\) et en réorganisant les bornes de la seconde somme grâce au changement d'indice \(k = -n\), les trois blocs de l'équation se raccordent parfaitement :

Toutes les pièces du puzzle étant alignées de \(-\infty\) à \(+\infty\), on peut condenser le tout en une seule et unique sommation :

1. Calcul du coefficient \( c_n \)

   Si l'on reprend la même méthode que précédemment, mais cette fois avec l'exponentielle, on démarre de la fonction générale :

   $$f(t) = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{in\omega t} $$

   Pour un \(m \in \mathbb{Z}\), on va cette fois multiplier par la fonction de base conjuguée \(e^{-i m\omega t}\) :

   $$f(t) \ e^{-i m\omega t} = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{in\omega t} \ e^{-i m\omega t} $$
   $$f(t) \ e^{-i m\omega t} = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{i (n - m)\omega t} $$

   Puis intègre :

   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \int_0^T \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{i (n - m)\omega t} \, dt $$
   
   
   $$ \underline{\text{Cas 1 : Lorsque } (n \neq m)} $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \int_0^T \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{i (n - m)\omega t} \, dt $$

   Par linéarité , on peut inverser les symboles \(\int\) et \(\sum\) :

   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n \ e^{i (n - m)\omega t} \, dt $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \left[ \frac{e^{i (n - m)\omega t}}{i (n - m)\omega} \right]_0^T $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \left( \frac{e^{i (n - m)\omega T}}{i (n - m)\omega} - \frac{e^{i (n - m)\omega \times 0}}{i (n - m)\omega} \right) $$

   Or, \(\omega T = 2 \pi\), donc :

   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \left( \frac{e^{i (n - m) 2\pi }}{i (n - m)\omega} - \frac{1}{i (n - m)\omega} \right) $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \left( \underbrace{\frac{1}{i (n - m)\omega} - \frac{1}{i (n - m)\omega}} _{=0} \right) $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = 0 $$
   
   
   $$ \underline{\text{Cas 2 : Lorsque } (n = m)} $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \int_0^T c_n \ e^{i (n - m)\omega t} \, dt $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = c_n \int_0^T \ e^{i \times 0 \times \omega t} \, dt $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = c_n \int_0^T \, dt $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = c_n \ T $$

   Et on a avec cette notation un unique coefficient \(c_n\) :

   $$ c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-in\omega t} \, dt $$