Les séries de Fourier

La notation trigonométrique

Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) un entier naturel supérieur à 1.

Cette démonstration étant assez longue, nous l'avons scindée en différentes étapes successives.

1. Dans le monde idéal : sur \( \bigl[-\pi; \pi\bigr]\)

   Soient \(f(x)\) une fonction \(2\pi\)-périodique.

   Dans ce monde, la pulsation vaut \(\omega = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\). Les sinus et cosinus s'écrivent donc simplement \(\sin(nx)\) et \(\cos(nx)\).

   L'hypothèse de départ de Fourier est que l'on peut reconstruie cette fonction comme étant une somme de cosinus et de sinus :

   $$f(x) = a_0 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \qquad(H)$$

   L'objectif est alors de déterminer quels sont les coefficients \((a_0)\) ainsi \((a_n, b_n)\) pour tout \(n \).

   1. L'isolation de \( a_0 \)

      En intégrant simplement notre fonction de départ \((H)\), on a :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \hspace{0.3em} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \hspace{0.3em} dx + \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \hspace{0.3em} dx $$

      Les fonctions \(cos\) et \(sin\) étant \(2\pi\)-périodiques, elles vont s'annuler entre \(-\pi\) et \(\pi\) :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \hspace{0.3em} dx + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \hspace{0.3em} dx } _{=0} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \hspace{0.3em} dx } _{=0} $$

      Soit après le grand nettoyage :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \hspace{0.3em} dx$$
      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx = 2\pi a_0 $$
      $$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \hspace{0.3em} dx $$

   2. Le calcul des harmoniques \( a_n \)

      Soit \(m \in \mathbb{N}^*\) un entier naturel supérieur à 1.

      Pour isoler le coefficient \(a_n\), on multiplie l'équation \((H)\) par \(\cos(mx)\) :

      $$f(x) \cos(mx) = a_0 \cos(mx) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \cos(mx) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \cos(mx) $$

      Puis on l' intègre de \(-\pi\) à \(\pi\) :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(mx) \hspace{0.3em} dx = \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \cos(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(A)} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \cos(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(B)} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \cos(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(C)} \qquad (1) $$

      Or, à partir de ce point, beaucoup de termes s'annulent :

      • La partie \((A)\) s'annule dans tous les cas :

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ A = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \cos(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (A)$$
        $$ A = a_0\left[ \frac{\sin(mx)}{m}\right]_{-\pi}^{\pi} $$
        $$ A = a_0 \left(\frac{\sin(m\pi)}{m} - \frac{\sin(-m\pi)}{m} \right) $$
        $$ A = a_0 \left( \frac{\sin(m\pi)}{m} + \frac{\sin(m\pi)}{m} \right)$$
        $$ A = a_0 \left( \frac{2\sin(m\pi)}{m} \right) $$

        Toutes les fonctions sinus multiples de \(\pi\) valent \(0\), donc :

        $$ A = 0 $$

      • La partie \((B)\) s'annule uniquement si \((n \neq m)\) :

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ B = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \cos(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (B)$$

        On sait par les formules d'additions trigonométriques que :

        $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

        $$ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) \cos(\beta) $$

        Alors, dans notre cas :

        $$ B = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \frac{ \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) + \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) }{2} \hspace{0.3em} dx$$

        Par linéarité , on peut inverser les symboles \(\int\) et \(\sum\) :

        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \int_{-\pi}^{\pi} a_n \frac{ \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) + \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) }{2} \hspace{0.3em} dx $$
        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left( \int_{-\pi}^{\pi} \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) + \int_{-\pi}^{\pi} \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) \hspace{0.3em} dx \right) $$
        
        
        $$ \underline{\text{Cas 1 : Lorsque } (n \neq m)} $$
        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left(\left[ \frac{\sin(n + m)x}{n + m}\right]_{-\pi}^{\pi} + \left[ \frac{\sin(n - m)x}{n - m}\right]_{-\pi}^{\pi} \right) $$
        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left(\frac{\sin\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m} - \frac{\sin\Bigl((n + m)(-\pi)\Bigr)}{n + m} + \frac{\sin\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} - \frac{\sin\Bigl((n - m)(-\pi)\Bigr)}{n - m} \right) $$

        Toutes les fonctions sinus multiples de \(\pi\) valent \(0\), donc :

        $$ B = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left(\underbrace{\frac{2\sin\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m}} _{=0} + \underbrace{\frac{2\sin\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} } _{=0} \right) $$
        $$ (n \neq m) \implies B = 0 $$
        
        
        $$ \underline{\text{Cas 2 : Lorsque } (n = m)} $$

        Tous les termes de la somme s'annulent excepté celui pour lequel \(n = m\) :

        $$ \begin{cases} (n + m) = 2m \implies \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) = \cos(2mx) \\ (n - m) = 0 \implies \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) = 1 \end{cases} $$
        $$ B = \frac{1}{2} a_m \left( \int_{-\pi}^{\pi} \cos(2mx) \, dx + \int_{-\pi}^{\pi} dx \right) $$
        $$ B = \frac{1}{2} a_m \left( \left[ \frac{\sin(2mx)}{2}\right]_{-\pi}^{\pi} + \bigl[ x \bigr]_{-\pi}^{\pi} \right) $$
        $$ B = \frac{1}{2} a_m \left( \frac{\sin(2m \pi)}{2} - \frac{\sin\Bigl(2m (-\pi) \Bigr)}{2} + \pi -(- \pi) \right) $$
        $$ B = \frac{1}{2} a_m \Bigl( \underbrace{\sin(2m \pi)} _{=0} + 2\pi \Bigr) $$
        $$ (n = m) \implies B = a_m \pi $$

        Remarque :

        Les choses étant bien faites, le cas \((n = m)\) est de toute façon à traiter à part car \(B\) n'aurait pas été défini à cause de son dénominateur.

   3. Le calcul des harmoniques \( b_n \)

      Cette partie se fait de la même manière que précédemment, mais en multipliant cette fois par \(sin(mx)\) :

      $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx = \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \sin(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(A')} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(B')} + \underbrace{ \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx } _{(C')} \qquad (1') $$

      • La partie \((A')\) s'annule dans tous les cas :

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ A' = \int_{-\pi}^{\pi} a_0 \sin(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (A')$$
        $$ A' = a_0 \left[ -\frac{\cos(mx)}{m}\right]_{-\pi}^{\pi} $$
        $$ A'= a_0 \left(-\frac{\cos(m\pi)}{m} + \frac{\cos(-m\pi)}{m} \right)$$
        $$ A'= a_0 \left(-\frac{\cos(m\pi)}{m} + \frac{\cos(m\pi)}{m} \right)$$
        $$ A'= 0 $$

      • La partie \((B')\) s'annule dans tous les cas:

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ B' = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(nx) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (B')$$

        Or, on sait par les formules d'additions trigonométriques que :

        $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

        $$ \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) \sin(\beta) $$

        C'est quasiment la même partie que la partie \((C)\) précédemment calculée, mais avec un signe \((-)\) à la place du \((+)\) :

        $$ B' = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \frac{ \sin\Bigl((n + m)x\Bigr) - \sin\Bigl((n - m)x\Bigr) }{2} \hspace{0.3em} dx$$

        Les étapes sont donc les mêmes et le résultat aussi :

        $$ B' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} a_n \left( \underbrace{ \frac{\cos\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m} - \frac{\cos\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m} } _{=0} - \left( \underbrace{ \frac{\cos\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} - \frac{\cos\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} } _{=0} \right) \right) $$

        $$ B' = 0 $$

      • La partie \((C')\) s'annule uniquement si \((n \neq m)\) :

        $$ \forall m \in \mathbb{N}^*, \ C' = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(nx) \sin(mx) \hspace{0.3em} dx \qquad (C')$$

        Or, on sait par les formules d'additions trigonométriques que :

        $$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

        $$ cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) = 2 \sin(\alpha) \sin(\beta) $$

        C'est quasiment la même partie que la partie \((B)\) précédemment calculée, :

        $$ C' = \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \frac{ \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) - \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) }{2} \hspace{0.3em} dx$$
        
        
        $$ \underline{\text{Cas 1 : Lorsque } (n \neq m)} $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left(\left[ \frac{\sin(n - m)x}{n - m}\right]_{-\pi}^{\pi} - \left[ \frac{\sin(n + m)x}{n + m}\right]_{-\pi}^{\pi} \right) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left(\frac{\sin\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} - \frac{\sin\Bigl((n - m)(-\pi)\Bigr)}{n - m} - \left( \frac{\sin\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m} - \frac{sin\Bigl((n + m)(-\pi)\Bigr)}{n + m} \right) \right) $$

        Toutes les fonctions sinus multiples de \(\pi\) valent \(0\), donc :

        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left(\underbrace{\frac{2\sin\Bigl((n + m)\pi\Bigr)}{n + m}} _{=0} - \underbrace{\frac{2\sin\Bigl((n - m)\pi\Bigr)}{n - m} } _{=0} \right) $$
        $$ (n \neq m) \implies C' = 0 $$
        
        
        $$ \underline{\text{Cas 2 : Lorsque } (n = m)} $$

        Alors :

        $$ \begin{cases} (n - m) = 0 \implies \cos\Bigl((n - m)x\Bigr) = 1 \\ (n + m) = 2m \implies \cos\Bigl((n + m)x\Bigr) = \cos(2mx) \end{cases} $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left( \int_{-\pi}^{\pi} dx - \int_{-\pi}^{\pi} \cos(2mx) \right) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left( \bigl[ x \bigr]_{-\pi}^{\pi} - \left[ \frac{sin(2mx)}{2}\right]_{-\pi}^{\pi} \right) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \left( + \pi -(- \pi) - \left( \frac{sin(2m \pi)}{2} - \frac{sin\Bigl(2m (-\pi) \Bigr)}{2} \right) \right) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{1}{2} b_n \Bigl( 2\pi + \underbrace{sin(2m \pi)} _{=0} \Bigr) $$
        $$ C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \pi b_n $$
        $$ (n = m) \implies C' = \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \pi $$

      • Conclusion :

        De la même manière que précedemment \((1')\) et qu'on l'évalue lorsque \((n = m)\) :

        $$ (n = m) \implies \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \hspace{0.3em} dx = b_n \pi $$

        Soit,

        $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \hspace{0.3em} dx $$

2. Le changement de variable : vers le monde physique \( \bigl[0; T\bigr]\)

   Maintenant, quittons le monde idéal pour aller vers n'importe quel signal physique \(f(t)\) qui est \(T\)-périodique et qui démarre à \((t = 0 s)\). Sa pulsation est alors de \(\omega = \frac{2\pi}{T}\).

   Pour transférer nos formules précédentes, on précède par deux astuces consécutives.

   1. Le glissement de la fenêtre

      Puisque la fonction \(f(x)\) est \(2\pi\)-périodique, calculer son aire entre \(-\pi\) et \(\pi\) revient à la calculer entre \(0\) et \(2\pi\).

   2. Le changement de variable

      On veut maintenant passer de \(x\) (l'angle) à la variable \(t\) (le temps). La relation entre le deux est :

      $$ x = \omega t$$
      $$ \left(\text{avec } \omega = \frac{2\pi}{T}\right) $$

      On doit aussi transformer notre différentielle \(dx\) :

      $$ dx = \omega \, dt$$
      
      

      L'hypothèse de départ de Fourier s'écrit maintenant :

      $$f(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} a_n \cos(n \omega t) + \sum_{n = 1}^{+ \infty} b_n \sin(n \omega t) $$
      
      

      Alors, les trois relations précédentes se transforment et deviennent :

      $$a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{T} f(t) \hspace{0.3em} \omega \, dt $$
      $$a_0 = \frac{\omega}{2\pi}\int_{0}^{T} f(t) \, dt $$
      $$a_0 = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t) \, dt $$
      $$ \forall n \in \mathbb{N}^*,$$
      $$ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n \omega t) \hspace{0.3em} \omega \, dt $$

      $$ a_n = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n \omega t) \, dt $$

      $$ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n \omega t) \, dt $$

      $$ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n \omega t) \hspace{0.3em} \omega \, dt $$

      $$ b_n = \frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n \omega t) \, dt $$

      $$ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n \omega t) \, dt $$
      $$ \text{avec } \begin{cases} T : \text{Période de la fonction } f(t) \\ \omega = \frac{2\pi}{T} : \text{Pulsation } \end{cases} $$

      Pourquoi cette isolation de \(a_0\) ?

      Pourquoi avoir isolé ce fameux coefficient \(a_0\), alors que la formule aurait pu être tout bonnement :

      $$f(t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_n \cos(n \omega t) + \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_n \sin(n \omega t) $$

      Parce que l'exception pour \((n = 0)\) est le seul et unique moment dans toute la série où la fonction perd sa nature d'onde pour se "figer" en une constante.

      • La règle du partage équitable (pour \(n \geqslant 1\))

        La relation fondamentale de la trigonométrie stipule que pour n'importe quel angle \(X\) :

        $$ \cos^2(X) + \sin^2(X) = 1 $$

        Si l'on intègre cette relation sur une période complète de temps \(\bigl[0; T\bigr]\) (en posant \(X = n\omega t\)), on obtient l'égalité suivante :

        $$ \int_{0}^{T} \cos^2(n\omega t) \, dt + \int_{0}^{T} \sin^2(n\omega t) \, dt = \int_{0}^{T} 1 \, dt $$

        L'intégrale totale (à droite) vaut exactement \(T\). Pour n'importe quelle fréquence oscillante (\(n \geqslant 1\)), le cosinus et le sinus ont rigoureusement la même forme, simplement décalée dans le temps. Ils se partagent donc le résultat de l'intégrale à parts égales :

        • Le cosinus prend la moitié de l'aire : \(\frac{T}{2}\)
        • Le sinus prend l'autre moitié : \(\frac{T}{2}\)

        C'est ce partage parfait de 50/50 qui donne naissance au fameux facteur \(\frac{2}{T}\) utilisé pour calculer les harmoniques \(a_n\) et \(b_n\).

      • L'effondrement du binôme (pour \(n = 0\))

        Regardons maintenant ce qui se produit pour la fréquence nulle (\(n=0\)) en appliquant cette même logique de partage.

        L'équation de base reste vraie :

        $$cos^2(0) + \sin^2(0) = 1 $$

        L'intégrale totale doit donc toujours valoir \(T\). Cependant, la nature du sinus vient briser l'équilibre :

        $$ \sin(0) = 0 $$

        Le sinus s'écrase complètement et son intégrale vaut \(0\). Il ne fait plus sa part du travail. Le partage de l'intégrale totale devient alors :

        $$ \int_{0}^{T} \cos^2(0) \, dt + 0 = T $$

      • Conclusion

        Parce que le sinus s'annule à \((n=0)\), il ne « pompe » plus sa moitié de l'intégrale. Le cosinus se retrouve tout seul à devoir assumer 100 % du résultat.

        L'intégrale du cosinus passe donc brutalement de \(\frac{T}{2}\) (quand le sinus l'aidait) à \(T\) (quand le sinus l'abandonne).

        C'est ce qui rend le résultat mathématique deux fois trop grand, et qui oblige à diviser le terme \(a_0\) par 2 pour rétablir la véritable valeur physique du signal !

La notation exponentielle

Si l'on reprend la fonction précédente :

Cette série devient :

Or, \(\frac{1}{i} = -i\). Donc,

Puis, en regroupant les termes :

On a donc, en remplaçant l'expression précédente :

On peut alors maintenant inverser les indices dans la seconde somme telle que les sommes soient symétriques :

En observant que pour \(n = 0\), l'exponentielle s'annule et vaut \(1\) (\(e^{i \cdot 0 \cdot \omega t} = 1\)), on peut définir le terme constant comme le coefficient \(c_0\) de notre suite :

En injectant \(c_0\) et en réorganisant les bornes de la seconde somme grâce au changement d'indice \(k = -n\), les trois blocs de l'équation se raccordent parfaitement :

Toutes les pièces du puzzle étant alignées de \(-\infty\) à \(+\infty\), on peut condenser le tout en une seule et unique sommation :

1. Calcul du coefficient \( c_n \)

   Si l'on reprend la même méthode que précédemment, mais cette fois avec l'exponentielle, on démarre de la fonction générale :

   $$f(t) = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{in\omega t} $$

   Pour un \((m \geqslant 1) \), on va cette fois utiliser \(e^{-i m\omega t}\) :

   $$f(t) \ e^{-i m\omega t} = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{in\omega t} \ e^{-i m\omega t} $$
   $$f(t) \ e^{-i m\omega t} = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{i (n - m)\omega t} $$

   Puis intègre :

   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \int_0^T \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{i (n - m)\omega t} \, dt $$
   
   
   $$ \underline{\text{Cas 1 : Lorsque } (n \neq m)} $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \int_0^T \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \ e^{i (n - m)\omega t} \, dt $$

   Par linéarité , on peut inverser les symboles \(\int\) et \(\sum\) :

   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n \ e^{i (n - m)\omega t} \, dt $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \left[ \frac{e^{i (n - m)\omega t}}{i (n - m)\omega} \right]_0^T $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \left( \frac{e^{i (n - m)\omega T}}{i (n - m)\omega} - \frac{e^{i (n - m)\omega \times 0}}{i (n - m)\omega} \right) $$

   Or, \(\omega T = \pi\), donc :

   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \left( \frac{e^{i (n - m) 2\pi }}{i (n - m)\omega} - \frac{1}{i (n - m)\omega} \right) $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \sum_{-\infty}^{+\infty} c_n \left( \underbrace{\frac{1}{i (n - m)\omega} - \frac{1}{i (n - m)\omega}} _{=0} \right) $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = 0 $$
   
   
   $$ \underline{\text{Cas 2 : Lorsque } (n = m)} $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = \int_0^T c_n \ e^{i (n - m)\omega t} \, dt $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = c_n \int_0^T \ e^{i \times 0 \times \omega t} \, dt $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = c_n \int_0^T \, dt $$
   $$ \int_0^T f(t) \ e^{-i m\omega t} \, dt = c_n \ T $$

   Et on a avec cette notation un unique coefficient \(c_n\) :

   $$ c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-in\omega t} \, dt $$