Les propriétés des sommes

Soient $ \bigl(a_n, b_n\bigr) $ deux suites numériques.

Linéarité

$$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr), \enspace \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$

$$ \sum_{i \ \in \ I} \Bigl[ \lambda \ a_i + \mu \ b_i \Bigr] = \lambda \sum_{i \ \in \ I} a_i + \mu \sum_{i \ \in \ I} b_i $$

Changement d'indice

Soit un entier naturel $ n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} $.

Somme simple
1. Inversion du sens
  
  $$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
  
  $$ \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{i = 0}^n a_{n - i} $$
2. Décalage vers le zéro
  
  $$ \forall (p, n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace p \leqslant n, $$
  
  $$ \sum_{k = p}^n a_k = \sum_{i = 0}^{n - p} a_{p + i} $$
Somme double
1. Somme indépendante des indices
  
  Dans le cas d'une somme double indéxée par un rectangle $ [\![1,m]\!] \times [\![1,n]\!] $ :
  
  $$ \forall (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2,$$
  
  $$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^m a_{i, j} $$
2. Somme dépendante des indices
  
  Dans le cas d'une somme double triangulaire :
  
  $$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
  
  $$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{i, j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^j a_{i, j} $$

Le télescopage de termes d'une série numérique récurrente

Lorsqu'on soustrait deux termes consécutifs à l'intérieur d'une somme, on peut effectuer un télescopage de termes :

$$ \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$

Démonstrations

Soient $ \bigl(a_n, b_n\bigr) $ deux suites numériques.

Linéarité

Soient deux réels $ (\lambda , \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2 $. On démarre de la somme suivante :

$$ \sum_{i \ \in \ I} \Bigl[ \lambda \ a_i + \mu \ b_i \Bigr] $$

On peut séparer cette somme en deux éléments :

$$ \sum_{i \ \in \ I} \Bigl[ \lambda \ a_i + \mu \ b_i \Bigr] = \sum_{i \ \in \ I} \Bigl[ \lambda \ a_i \Bigr] + \sum_{i \ \in \ I} \Bigl[ \mu \ b_i \Bigr] $$

En développant les sommes, on peut mettre les coefficients en facteur :

$$ \sum_{i \ \in \ I} \Bigl[ \lambda \ a_i + \mu \ b_i \Bigr] = \Bigl[ \lambda \ a_{i_1} + \lambda \ a_{i_2} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \lambda \ a_{i_n} \Bigr] + \Bigl[ \mu \ b_{i_1} + \mu \ b_{i_2} + \ ... \ + \hspace{0.2em} \mu \ b_{i_n} \Bigr] $$

$$ \sum_{i \ \in \ I} \Bigl[ \lambda \ a_i + \mu \ b_i \Bigr] = \lambda \ \Bigl[ a_{i_1} + a_{i_2} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{i_n} \Bigr] + \mu \ \Bigl[ b_{i_1} + b_{i_2} + \ ... \ + \hspace{0.2em} b_{i_n} \Bigr] $$

Soit finalement,

$$ \forall \Bigl[ (a_n)_{n \in \mathbb{N}}, \ (b_n)_{n \in \mathbb{N}} \Bigr], \enspace \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$

$$ \sum_{i \ \in \ I} \Bigl[ \lambda \ a_i + \mu \ b_i \Bigr] = \lambda \sum_{i \ \in \ I} a_i + \mu \sum_{i \ \in \ I} b_i $$

Changement d'indice

Somme simple

Soit un entier naturel $ n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} $.
1. Inversion du sens
  
  On démarre de la somme suivante :
  
  $$ \sum_{k = 0}^n a_k = a_0 + a_1 + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{n - 1} + a_n $$
  
  Puis on inverse le sens :
  
  $$ \sum_{k = 0}^n a_k = a_n + a_{n - 1} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1 + a_0 $$
  
  Et finalement,
  
  $$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
  
  $$ \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{i = 0}^n a_{n - i} $$
2. Décalage vers le zéro
  
  Soit un entier naturel $ p \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} $ avec $(p \leqslant n)$.
  
  On démarre de la somme suivante :
  
  $$ \sum_{k = p}^n a_k = a_p + a_{p + 1} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{n - 1} + a_n $$
  
  En arrangeant les indices, on a :
  
  $$ \sum_{k = p}^n a_k = a_{p + 0} + a_{p + 1} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{p + (n - p - 1)} + a_{p + (n - p)} $$
  
  Et finalement,
  
  $$ \forall (p, n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace p \leqslant n, $$
  
  $$ \sum_{k = p}^n a_k = \sum_{i = 0}^{n - p} a_{p + i} $$

Somme double

Soit deux entiers naturels $ (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 $.

Somme indépendante des indices

On démarre de la somme double, indéxée par le rectangle $ [\![1,m]\!] \times [\![1,n]\!] $ :

$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} $$

$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{i = 1}^m \left( a_{i, 1} + a_{i, 2} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{i, n} \right) $$

$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{i = 1}^m a_{i, 1} + \sum_{i = 1}^m a_{i, 2} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \sum_{i = 1}^m a_{i, m} $$

On remarque que c'est la même somme somme en inversant les indices.

Alors, les sommes doubles où chacune des sommes ne dépendent pas des indices , on peut inverser les symboles sommes :

$$ \forall (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2,$$

$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^m a_{i, j} $$

De manière visuelle, on peu voir que faire la sommes des lignes ou la somme des colonnes reviendra au même.

Indice $i$ Indice $j$	$$ 1 $$	$$ 2 $$	$$ 3 $$	$$ ... $$	$$ n $$
$$ 1 $$	$$ a_{1,1} $$	$$ a_{1,2} $$	$$ a_{1,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{1,n} $$
$$ 2 $$	$$ a_{2,1} $$	$$ a_{2,2} $$	$$ a_{2,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{2,n} $$
$$ 3 $$	$$ a_{3,1} $$	$$ a_{3,2} $$	$$ a_{3,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{3,n} $$
$$ ... $$	$$ ... $$	$$ ... $$	$$ ... $$	$$ ... $$	$$ ... $$
$$ m $$	$$ a_{m,1} $$	$$ a_{m,2} $$	$$ a_{m,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{m,n} $$

Somme dépendant des indices

On démarre de la somme double triangulaire suivante :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] $$

C'est la somme double où l'on a toujours $ (i \leqslant j) $.

Vision lignes

En adoptant une vision ligne, on a :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \textcolor{rgb(118 139 240)}{a_{1,1} + a_{1,2} + a_{1,3} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{1,n}} + \textcolor{rgb(93 183 129)}{a_{2,2} + a_{2,3} \hspace{0.2em} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{2,n}} + \textcolor{rgb(232 124 124)}{a_{3,3} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{3,n}} + \textcolor{rgb(197 144 218)}{a_{n,n}} $$

Indice $i$ Indice $j$	$$ 1 $$	$$ 2 $$	$$ 3 $$	$$ ... $$	$$ n $$
$$ 1 $$	$$ a_{1,1} $$	$$ a_{1,2} $$	$$ a_{1,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{1,n} $$
$$ 2 $$	$$ $$	$$ a_{2,2} $$	$$ a_{2,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{2,n} $$
$$ 3 $$	$$ $$	$$ $$	$$ a_{3,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{3,n} $$
$$ ... $$	$$ $$	$$ $$	$$ $$	$$ ... $$	$$ ... $$
$$ n $$	$$ $$	$$ $$	$$ $$	$$ $$	$$ a_{n,n} $$

Tous ces éléments sont la somme bouclée sur l'indice $i$, dans laquelle chaque terme-somme démarre à $(j = i)$ :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \textcolor{rgb(118 139 240)}{\sum_{j = 1}^n a_{1,j}} + \textcolor{rgb(93 183 129)}{\sum_{j = 2}^n a_{2,j}} + \textcolor{rgb(232 124 124)}{\sum_{j = 3}^n a_{3,j}} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \textcolor{rgb(213 101 255)}{\sum_{j = n}^n a_{n,j}} $$

Soit finalement,

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{i, j} $$

Vision colonnes

En adoptant une vision colonne, on obtient la somme sous cette forme :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \textcolor{rgb(118 139 240)}{a_{1,1}} + \textcolor{rgb(54 152 46)}{a_{1,2} + a_{2,2}} + \textcolor{rgb(232 124 124)}{a_{1,3} + a_{2,3} + a_{3,3}} + \ ... \ + \hspace{0.2em} \textcolor{rgb(197 144 218)}{a_{1,n} + a_{2,n} + a_{3,n} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{n,n}} $$

Tous ces éléments sont la somme bouclée sur l'indice $j$, dans laquelle chaque terme-somme va au maximum à $(i = j)$ :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \textcolor{rgb(118 139 240)}{\sum_{i = 1}^1 a_{i,1}} + \textcolor{rgb(93 183 129)}{\sum_{i = 1}^2 a_{i,2}} + \textcolor{rgb(232 124 124)}{\sum_{i = 1}^3 a_{i,3}} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \textcolor{rgb(213 101 255)}{\sum_{i = 1}^n a_{i,n}} $$

Soit finalement,

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^j a_{i, j} $$

Alors, les sommes doubles où chacune des sommes dépendent des indices , on peut opérer le changement de variable suivant :

$$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{i, j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^j a_{i, j} $$

Le télescopage de termes d'une série numérique récurrente

On souhaite calculer la série $ \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] $ de $ k = 0 $ jusque $ n $.

On aura,

$$ \sum_{k=n_0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{1} - a_{0} + a_{2} - a_{1} + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_{n_{k}} - a_{n_{k-1}} + a_{n_{k+1}} - a_{n_{k}} $$

En arrageant l'expression, les termes vont s'annihiler un à un.

$$ \sum_{k=n_0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{k+1} + \underbrace{a_{k} - a_{k}} _\text{ $= 0$} + \underbrace{ a_{k-1} - a_{k-1}} _\text{ $= 0$} + \ ... \ + \underbrace{a_2 - a_2} _\text{ $= 0$} + \underbrace{a_1 - a_1} _\text{ $= 0$} - a_0 $$

Il ne restera plus que le le dernier moins le premier de la série. Soit finalement,

$$ \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$

Exemple

Téléscopage de termes

Calculons la somme partielle la série suivante :

$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$

Pour effectuer ce calcul, il faut d'abord effectuer une décomposition en éléments simples de cette fraction.
1. Décomposition en éléments simples
  
  Posons la fonction $F(X) $ :
  
  $$F(X) = \frac{1}{X(X+1)} \qquad (F(X))$$
  
  Nous allons chercher les réels $ a $ et $b$ tels que :
  
  $$F(X) = \frac{a}{X} + \frac{b}{X+1}$$
  
  En mettant au même dénominateur, on a :
  
  $$F(X) = \frac{a(X+1) + b X}{X(X+1)} \qquad (\tilde{F}(X)) $$
  
  L'idée est d'utiliser les deux formes $ (F(X)) $ et $ (\tilde{F}(X)) $ pour obtenir une équivalence et déterminer $ a $ et $b$, on a :
  
  $$F(X) X = \frac{1}{(X+1)} \qquad (F(X))$$
  
  $$F(X) X = \frac{a(X+1) + b X}{(X+1)} \qquad (\tilde{F}(X)) $$
  
  Alors,
  
  $$ F(X) X = \frac{1}{(X+1)}= \frac{a(X+1) + b X}{(X+1)} $$
  
  $$ F(X) X = \frac{1}{(X+1)}= a + \frac{ b X}{(X+1)} $$
  
  En faisant $ (X = 0)$, on détermine $ a $ :
  
  $$ \underset{(X=0)}{F(X)} X = \frac{1}{(X+1)}= a \Longrightarrow (a = 1) $$
  
  On peut faire maintenant la même chose pour déterminer $b$, en faisant $ (X = -1)$ il restera $ b $ :
  
  $$ \underset{(X=-1)}{F(X)} (X+1) = \frac{1}{X}= b \Longrightarrow (b = - 1) $$
  
  On alors notre couple de solutions :
  
  $$ \Biggl \{ \begin{gather*} a = 1 \\ b = -1 \end{gather*} $$
  
  Alors, $F(X) $ peut s'écrire :
  
  $$F(X) = \frac{1}{X} - \frac{1}{X+1}$$
2. Calcul de la somme partielle de la série par télescopage
  
  Grâce à la décomposition en éléments simples :
  
  $$F(X) = \frac{1}{X(X+1)} =\frac{1}{X} - \frac{1}{X+1}$$
  
  Notre série :
  
  $$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$
  
  devient,
  
  $$S_n = \sum_{k=0}^n \Biggl[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \Biggr]$$
  
  On retire le signe $(-)$ pour avoir une suite de type $ \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] $.
  
  $$S_n = -\sum_{k=1}^n \Biggl[ \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k} \Biggr]$$
  
  On pose :
  
  $$ a_k = \frac{1}{k} $$
  
  Pour avoir :
  
  $$\sum_{k=1}^n \Biggl[ \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k} \Biggr] = \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr]$$
  
  Ensuite on applique :
  
  $$\sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$
  
  On peut maintenant effectuer le télescopage.
  
  $$S_n = -\Biggl[ \frac{1}{n+1} -\frac{1}{1} \Biggr]$$
  
  $$S_n = 1 -\frac{1}{n+1} $$

Démonstrations

Linéarité

Changement d'indice

Somme simple

Inversion du sens

Décalage vers le zéro

Somme double

Somme indépendante des indices

Somme dépendant des indices

Vision lignes

Vision colonnes

Le télescopage de termes d'une série numérique récurrente

Exemple

Téléscopage de termes

Décomposition en éléments simples

Calcul de la somme partielle de la série par télescopage