La suite de Fibonacci \((F_n)\) et le nombre d'or \((\varphi)\)

Formule de Binet

Alors,

Où les coefficients \((\alpha, \ \beta)\) sont les solutions de \((E_c)\) :

1. Détermination des coefficients \((\alpha, \ \beta)\)

   On résout alors :

   $$ r^2 - r - 1 = 0 \qquad (E_c) $$

   Comme nous sommes face à une équation du second degré , on calcule d'abord le discriminant \((\Delta)\) :

   $$ \Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-1) $$
   $$ \Delta = 1 + 4 $$
   $$ \Delta = 5 $$

   Comme \((\Delta > 0)\), on a deux racines distinctes :

   $$ \alpha = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $$

   $$ \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $$

   Par souci de simplicité, posons \(\varphi\), aussi appelé le nombre d'or :

   $$ \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \qquad (\varphi) $$

   $$ 1 - \varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \qquad (1 - \varphi) $$

   De sorte que :

   $$ \varphi = \beta $$

   $$ 1 - \varphi = \alpha $$

   Alors, le terme général de la suite \((F_n)\) s'écrit :

   $$ F_n = A.(1 - \varphi)^n + B.\varphi^n $$

2. Détermination des coefficients \((A, \ B)\)

   Déterminons maintenant les coefficients \((A, \ B)\) grâce aux deux premiers termes de la suite. On sait que :

   $$ \Bigl \{ F_0 = 0, \ F_1 = 1 \Bigr \} $$

   Alors,

   $$ F_0 = A.(1 - \varphi)^0 + B.\varphi^0 = 0 $$

   $$ F_1 = A.(1 - \varphi)^1 + B.\varphi^1 = 1 $$

   Ce qui nous amène à résoudre le système \((\mathcal{S})\) :

   $$ (\mathcal{S}) \ \left \{ \begin{gather*} A + B = 0 \\ \\ A.(1 - \varphi) + B.\varphi = 1 \end{gather*} \right \} $$

   $$ \Longleftrightarrow $$

   $$ \left \{ \begin{gather*} A.\textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi} + B.\textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi} = 0 \\ \\ A.(1 - \varphi) + B.\varphi = 1 \end{gather*} \right \} $$

   En faisant la différence des deux lignes, on a :

   $$ A \times (2 \varphi - 1) = -1 $$
   $$ A = -\frac{1}{\sqrt{5}} $$

   Maintenant, en reprenant la première du système de départ, on y injecte la valeur de \(B\) :

   $$ -\frac{1}{\sqrt{5}} + B = 0 $$
   $$ B = \frac{1}{\sqrt{5}} $$

3. Modélisation du terme général \(F_n\)

   Finalement, le terme général de la suite de Fibonacci \((F_n)\) vaut :

   $$ F_n = -\frac{(1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}} + \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}} $$
   $$ F_n = \frac{\varphi^n}{\sqrt{5}} - \frac{(1 - \varphi)^n}{\sqrt{5}} \qquad \bigl(\text{Formule de Binet}\bigr) $$
   $$ \text{avec } \left( \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) $$

Nombre d'or \((\varphi)\) :: quotient de deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci

En reprenant la formule de Binet précédente :

Si l'on calcule maintenant le quotient de deux termes consécutifs de cette suite, on a :

Alors, en remplaçant \((1 - \varphi)\) par sa valeur, on a maintenant :

Enfin, en passant maintenant à la limite quand \(n\) tend vers l'infini :

Les deux quotients tendent évidemment vers zéro et :

Expressions des puissances du nombre d'or sous forme récurrente

1. Avec \(\varphi\) uniquement

   À partir de l'équation caractéristique \((E_c)\) vue précédemment :

   $$ r^2 - r - 1 = 0 \qquad (E_c) $$

   Comme le nombre d'or \((\varphi)\) est solution, on peut écrire la relation suivante pour \(\varphi^2\) :

   $$ \varphi^2 = \varphi + 1 \qquad (\varphi^2) $$

   Par ailleurs, il est vrai que \((1 - \varphi)\) est aussi solution.

   $$ (1 - \varphi)^2 = (1 - \varphi) + 1 $$

   Mais en développant on se rend compte que cela revient au même :

   $$ 1 -2 \varphi + \varphi^2 = 2 - \varphi $$

   $$ \varphi^2 = \varphi + 1 \qquad (\varphi^2) $$

   En multipliant les deux membres par \(\varphi\), on obtient :

   $$ \varphi^3 = \varphi^2 + \varphi \qquad (\varphi^3) $$

   On voit que la relation de récurrence est assez évidente.

   Tentons alors de démontrer par une récurrence double que :

   $$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
   $$ \varphi^{n + 2} = \varphi^{n + 1} + \varphi^{n} \qquad (P_n) $$

   1. Calcul des deux premiers termes

      Pour \((k = 0) \), c'est la formule précédente déjà avérée \((\varphi^2)\) :

      $$ \varphi^2 = \varphi + 1 \qquad (P_0) $$

      Pour \((k = 1) \), on veut montrer que \((P_1)\) est vraie :

      $$ \varphi^3 = \varphi^2 + \varphi \qquad (P_1) $$
      $$ \varphi^3 = \varphi \cdot \varphi^2 $$

      Or, \(\varphi^2 = \varphi + 1\), donc :

      $$ \varphi^3 = \varphi \cdot (\varphi + 1) $$
      $$ \varphi^3 = \varphi^2 + \varphi \qquad (P_1) $$

      Alors, les deux propositions \((P_0)\) et \((P_1)\) sont vraies.

   2. Vérification de l'hérédité

      Supposons que les propositions \((P_k)\) et \((P_{k+1})\) soient vraies (Hypothèse de récurrence double). On a donc :

      $$ \varphi^{k + 2} = \varphi^{k + 1} + \varphi^{k} \qquad (P_k) $$
      $$ \varphi^{k + 3} = \varphi^{k + 2} + \varphi^{k + 1} \qquad (P_{k + 1}) $$

      Montrons que la proposition \((P_{k+2})\) est également vraie au rang suivant, c'est-à-dire que :

      $$ \varphi^{k + 4} = \varphi^{k + 3} + \varphi^{k + 2} \qquad (P_{k + 2}) $$

      À partir de \((P_{k+1})\), multipliant la ligne entière par \(\varphi\) :

      $$\varphi \cdot \varphi^{k + 3} = \varphi \cdot (\varphi^{k + 2} + \varphi^{k + 1})$$

      On retombe facilement sur notre proposition cible \((P_{k+2})\) :

      $$ \varphi^{k + 4} = \varphi^{k + 3} + \varphi^{k + 2} \qquad (P_{k + 2}) $$

      Ainsi, l'hérédité est démontrée au rang \((k + 2)\).

   3. Conclusion

      La proposition \((P_n)\) est vraie pour ses deux premiers termes, \(n_0 = 0\) et \(n_1 = 1\), et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{N}\).

      Par le principe de récurrence double, elle est ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

   
   

   Alors :

   $$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
   $$ \varphi^{n + 2} = \varphi^{n + 1} + \varphi^{n} $$

2. Avec \(\varphi\) et \((F_n)\)

   En reprenant l'expression \((\varphi^3)\), verifiée plus haut :

   $$ \varphi^3 = \varphi^2 + \varphi \qquad (\varphi^3) $$

   Si l'on remplace \(\varphi^2\) par son autre valeur :

   $$ \varphi^3 = (\varphi + 1) + \varphi $$
   $$ \varphi^3 = 2\varphi + 1 \qquad (\varphi^3)^* $$

   De même, si l'on continue ainsi avec \(\varphi^4\) :

   $$ \varphi^4 = 2\varphi^2 + \varphi $$
   $$ \varphi^4 = 2(\varphi + 1) + \varphi $$
   $$ \varphi^4 = 2\varphi + 2 + \varphi $$
   $$ \varphi^4 = 3\varphi + 2 \qquad (\varphi^4)^* $$

   On voit alors apparaître les termes de la suite de Fibonacci :

   $$ \Bigl \{ 0, \ 1, \ 1 , \ 2, \ 3, \ 5, \ 8 ...etc. \Bigr \} $$

   Notamment, dans \((\varphi^3)^*\) et \((\varphi^4)^*\) où :

   $$ \varphi^3 = 2\varphi + 1 \qquad (\varphi^3)^* $$

   $$ \varphi^3 = \varphi F_3 + F_2 \qquad (\varphi^3)' $$

   $$ \varphi^4 = 3\varphi + 2 \qquad (\varphi^4)^* $$

   $$ \varphi^4 = \varphi F_4 + F_3 \qquad (\varphi^4)' $$

   Une deuxième fois, on est tenté de démontrer que récurrence que :

   $$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
   $$ \varphi^{n + 1} = \varphi F_{n + 1} + F_n \qquad (Q_n) $$

   1. Calcul des deux premiers termes

      Pour \((k = 0) \) :

      $$ \varphi^{1} = \varphi F_{1} + F_0 \qquad (Q_0) $$
      $$ \varphi^1 = \varphi $$

      $$ \varphi F_{1} + F_0 = \varphi \times 1 + 0 $$

      $$ \varphi F_{1} + F_0 = \varphi $$

      Alors, la proposition \((Q_0)\) est vraie.

   2. Vérification de l'hérédité

      $$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
      $$ \varphi^{k + 1} = \varphi F_{k + 1} + F_k \qquad (Q_k) $$

      On souhaite établir la relation :

      $$ \varphi^{k + 2} = \varphi F_{k + 2} + F_{k + 1} \qquad (Q_{k + 1}) $$
      
      

      Partons de \((Q_k)\) et multiplions par \(\varphi\) :

      $$ \textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi}\varphi^{k + 1} = \textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi}\varphi F_{k + 1} + \textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi}F_k \qquad (\textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi} Q_k) $$
      $$ \varphi^{k + 2} = \varphi^2 F_{k + 1} + \varphi F_k $$
      $$ \varphi^{k + 2} = (\varphi + 1) F_{k + 1} + \varphi F_k $$
      $$ \varphi^{k + 2} = \varphi F_{k + 1} + F_{k + 1} + \varphi F_k $$
      $$ \varphi^{k + 2} = \varphi (F_{k + 1} + F_k) + F_{k + 1} $$
      $$ \varphi^{k + 2} = \varphi (F_{k + 2}) + F_{k + 1} \qquad (Q_{k + 2}) $$

      On a bien montré que si \((Q_{k})\) est vraie, alors \((Q_{k + 1})\) l'était aussi.

   3. Conclusion

      La proposition \((Q_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{N}\).

      Par le principe de récurrence, elle est ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

      
      

      Alors,

      $$ \forall n \in \mathbb{N}, $$
      $$ \varphi^{n + 1} = \varphi F_{n + 1} + F_n $$

Expressions récursives du nombre d'or

1. Avec des racines carrées

   En reprenant l'expression déjà démontrée de \(\varphi^2\) :

   $$ \varphi^2 = \varphi + 1 \qquad (\varphi^2) $$

   En passant à la racine carrée (on a déjà posé \(\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)) :

   $$ \varphi = \sqrt{\varphi + 1} \qquad (1) $$

   1. Sous forme de racines carrées infinies

      Dans l'expression \((1)\), comme \(\varphi\) est exprimé en fonction de lui-même, on peut l'auto-injecter :

      $$ \varphi = \sqrt{\sqrt{\varphi + 1} + 1} $$
      $$ \varphi = \sqrt{\sqrt{\sqrt{\varphi + 1} + 1} + 1} $$

      Et ainsi de suite...

      $$ \varphi = \sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{1 + \dots} + 1} + 1} + 1} $$

   2. Sous forme de suite récurrente

      On peut aussi exprimer l'expression \((1)\) sous forme de suite récurrente :

      $$ a_{n + 1} = \sqrt{1 + a_{n}} $$

      Ainsi,

      $$ \varphi = \lim_{n \to \infty} a_{n} $$

      $$ \text{où } \Biggl \{ \begin{gather*} \text{la suite } a_n \text{ est exprimée sous forme récurrente } : a_{n + 1} = \sqrt{1 + a_{n}} \\ \text{son premier terme } : a_0 = 0 \end{gather*} $$

2. Avec des fractions

   De même que plus haut, on repart aussi de \(\varphi^2\) :

   $$ \varphi^2 = \varphi + 1 \qquad (\varphi^2) $$

   En divisant par \(\varphi\), on a maintenant :

   $$ \frac{\varphi^2}{\textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi}} = \frac{\varphi}{\textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi}} + \frac{1}{\textcolor{rgb(118 139 240)}{\varphi}} $$

   Et par conséquent :

   $$ \varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \qquad (2) $$

   1. Sous forme de fractions infinies

      De la même manière, \((2)\) exprime \(\varphi\) en fonction de lui-même, alors on peut l'auto-injecter :

      $$ \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\varphi}} $$
      $$ \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 \frac{1}{\varphi}}} $$

      Et ainsi de suite...

      $$ \varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1+ \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}}} $$

   2. Sous forme de suite récurrente

      On peut aussi exprimer l'expression \((2)\) sous forme de suite récurrente :

      $$ b_{n + 1} = 1 + \frac{1}{b_n} $$

      Ainsi,

      $$ \varphi = \lim_{n \to \infty} b_{n} $$

      $$ \text{où } \Biggl \{ \begin{gather*} \text{la suite } b_n \text{ est exprimée sous forme récurrente } : b_{n + 1} = 1 + \frac{1}{b_n} \\ \text{son premier terme } : b_1 = 1 \end{gather*} $$