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Une équation du second s'écrit sous la forme :
Les solutions pour \( X \) lesquelles \( P_2(X) = 0 \) sont appelées les racines du polynôme .
Elles permettent d'obtenir une forme factorisée.
Trois cas sont à envisager après calcul du discriminant \( \Delta \) :
-
\( \alpha) \) si \(\Delta > 0 \) : deux racines distinctes \( X_1, \ X_2 \)
$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$
Et \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :
$$ P_2(X) = a(X - X_1)(X - X_2) $$ -
\( \beta) \) si \( \Delta = 0 \) : une racine double \( X_0 \)
$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$
Et \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :
$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$ -
\( \gamma) \) si \(\Delta < 0 \) : deux racines complexes conjuguées \( C_1, \ C_2 \)
$$ C_1 = \frac{- b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$$$ C_2 = \frac{- b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$
Et \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :
$$ P_2(X) = a(X - C_1)(X - C_2) $$
Par ailleurs, on aura aussi dans le cas général ces deux relations entre coefficients et racines :
Résolution et factorisation
Une équation du second s'écrit sous la forme :
On cherche à résoudre :
Alors on démarre l'équation \( (1) \) :
On factorise par \( a \) :
Or, on remarque que le début des crochets a le même début que \(\left(X + \frac{b}{2a}\right)^2 \), car :
Soit que :
En réécrivant l'équation dans l'autre sens :
On peut alors transformer \( (2) \) en y injectant \( (3) \) :
On reconnaît alors la troisième identité remarquable du second degré :
Avec :
Ce qui nous amène à :
Par simplicité, on pose :
On a alors :
Soit :
À partir de ce résultat, il y aura trois cas à prendre en compte.
-
\( \alpha) \) si \(\Delta > 0 \): deux racines distinctes \( X_1, \ X_2 \)
Alors \( \sqrt{\Delta} \) existe et les solutions sont directement données par :
$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$Ainsi, le polynôme \(P_2(X)\) admet la factorisation :
$$ P_2(X) = a(X - X_1)(X - X_2) $$ -
\( \beta) \) si \( \Delta =0 \) : une racine double \( X_0 \)
Alors \( \sqrt{\Delta} = 0 \) et la racine est double :
$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$Alors la factorisation de \(P_2(X)\) devient :
$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$ -
\( \gamma) \) si \(\Delta < 0 \) : deux racines complexes conjuguées \( C_1, \ C_2 \)
Alors \( \sqrt{\Delta} \) n'est pas définie sur \( \mathbb{R} \). En revanche, il peut exister dans l'ensemble des complexes \( (\mathbb{C}) \).
Pour résoudre une équation dans \( \mathbb{C} \) de type :
$$ Y= \sqrt{-\alpha } \Longrightarrow Y^2 = -\alpha $$On a comme solutions :
$$ \mathcal{S} = \left \{Y_{1} = i \sqrt{ |\alpha |} , \ Y_{2} = -i \sqrt{ |\alpha |} \right \} $$Dans notre cas, la solution \(\mathcal{S} \) va devenir :
$$ \left \{ \Delta = i \sqrt{ |\Delta |} , \ \Delta = -i \sqrt{ |\Delta |} \right \} $$On aura alors deux racines complexes :
$$ C_1 = \frac{- b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$$$ C_2 = \frac{- b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$Et la factorisation restera de la même forme que pour le cas où \( \Delta > 0 \) :
$$ P_2(X) = a(X - C_1)(X - C_2)$$
Lien entre coefficients et racines
À partir des deux formules générales pour les racines vues plus haut,
On peut calculer leur somme et produit.
-
Somme des racines \( : X_1 + X_2 \)
$$ X_1 + X_2 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$$$ X_1 + X_2 = \frac{- 2b}{2a} $$$$ X_1 + X_2 = -\frac{b}{a} $$ -
Produit des racines \( : X_1 X_2 \)
$$ X_1 X_2 = \biggl( \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \biggr) \biggl( \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \biggr)$$$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - b\sqrt{\Delta} + b\sqrt{\Delta}- \Delta }{4a^2} $$$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - \Delta }{4a^2} $$Or, \(\Delta = b^2 - 4ac \), soit :
$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} $$$$ X_1 X_2 = \frac{ 4ac}{4a^2} $$$$ X_1 X_2 = \frac{c}{a} $$
Exemples
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Résolution d'un polynôme du second degré
$$ P_2(X) = 2X^2 - 3X + 1 = 0 $$On calcule le discriminant \( \Delta \) :
$$ \Delta = (-3) ^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1$$\(\Delta\) est positif, alors \(P_2(X) \) a deux racines réelles \(X_1, X_2\) :
$$ X_1 = \frac{- (-3) - \sqrt{1}}{2 \times 2} $$$$ X_1 = \frac{2}{4} $$$$ X_2 = \frac{- (-3) + \sqrt{1}}{2 \times 2} $$$$ X_2 = \frac{4}{4} $$$$ \mathcal{S} = \biggl \{X_{1} = \frac{1}{2} , \ X_{2} = 1 \biggr \} $$\(P_2(X) \) peut alors se factoriser :
$$ P_2(X) = 2 \left(X- \frac{1}{2} \right)\Bigl(X -1 \Bigr) $$\(P_2(X) \) est le polynôme qui s'annule en \( X = \frac{1}{2}\) et \( X = 1\).
-
Résolution d'un polynôme de degré \(4\) par changement de variable
Résolvons à présent cette nouvelle équation :
$$ P_4(X) = 6X^4 - X^2 - 1 = 0 $$Lorsqu'on a ce type de situation, on pose un changement de variable :
On pose :
$$ \varphi = X^2$$Alors le polynôme \(P_4(X)\) devient un polynôme du second degré :
$$ P_4(X) \Longrightarrow P_2( \varphi) = 6\varphi^2 - \varphi - 1 $$On peut à présent calculer le discriminant \( \Delta \) :
$$ \Delta = (-1) ^2 - 4 \times (-1) \times 6 = 25$$Alors \(P_2(\varphi ) \) a deux racines réelles \(\varphi _1, \varphi_2\) :
$$ \varphi _1 = \frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \times 6} $$$$ \varphi _1= -\frac{1}{3} $$$$ \varphi_2 = \frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \times 6} $$$$ \varphi_2 = \frac{1}{2 } $$$$ \mathcal{S} = \biggl \{\varphi_{1} =-\frac{1}{3} , \ \varphi_{2} = \frac{1}{2 } \biggr \} $$Et \(P_2(\varphi) \) peut se factoriser ainsi :
$$ P_2(\varphi) = 6 \left(\varphi + \frac{1}{3} \right)\left(\varphi - \frac{1}{2 } \right) $$On remplace finalement \(\varphi\) par sa valeur initiale, \( \varphi = X^2\) :
$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X^2 - \frac{1}{2 } \right) $$On peut encore le décomposer :
Or, on sait qu'avec la troisième identité remarquable du second degré :
$$ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$$Soit,
$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X + \frac{1}{\sqrt2 } \right)\left(X - \frac{1}{\sqrt2} \right) $$$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X + \frac{\sqrt2}{2 } \right)\left(X - \frac{\sqrt2}{2} \right) $$
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