La résolution d'équations du second degré (équations quadratiques)

Démonstration

Résolution et factorisation

Une équation du second degré est de la forme :

On cherche à résoudre :

Alors on démarre l'équation \( (1) \) :

On factorise par \( a \) :

On peut alors transformer \( (2) \) en y injectant \( (3) \) :

Ce qui nous amène à :

On a alors :

Soit :

À partir de ce résultat, il y aura trois cas à prendre en compte.

• \( \alpha) \) si \(\Delta > 0 \): deux racines distinctes \( X_1, \ X_2 \)

Alors \( \sqrt{\Delta} \) existe et les solutions sont directement données par :

$$ X_1 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$
$$ X_2 = \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} $$

Ainsi, le polynôme \(P_2(X)\) admet la factorisation :

$$ P_2(X) = a(X - X_1)(X - X_2) $$
• \( \beta) \) si \( \Delta =0 \) : une racine double \( X_0 \)

Alors \( \sqrt{\Delta} = 0 \) et la racine est double :

$$ X_0 = \frac{- b}{2a} $$

Alors la factorisation de \(P_2(X)\) devient :

$$ P_2(X) = a(X - X_0)^2 $$
• \( \gamma) \) si \(\Delta < 0 \) : deux racines complexes conjuguées \( C_1, \ C_2 \)

Alors \( \sqrt{\Delta} \) n'est pas définie sur \( \mathbb{R} \). En revanche, il peut exister dans l'ensemble des complexes \( (\mathbb{C}) \).

Pour résoudre une équation dans \( \mathbb{C} \) de type :

$$ Y= \sqrt{-\alpha } \Longrightarrow Y^2 = -\alpha $$

On a comme solutions :

$$ \mathcal{S} = \left \{Y_{1} = i \sqrt{ |\alpha |} , \ Y_{2} = -i \sqrt{ |\alpha |} \right \} $$

Dans notre cas, la solution \(\mathcal{S} \) va devenir :

$$ \left \{ \Delta = i \sqrt{ |\Delta |} , \ \Delta = -i \sqrt{ |\Delta |} \right \} $$

On aura alors deux racines complexes :

$$ C_1 = \frac{- b - i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$
$$ C_2 = \frac{- b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} $$

Et la factorisation restera de la même forme que pour le cas où \( \Delta > 0 \) :

$$ P_2(X) = a(X - C_1)(X - C_2)$$

Lien entre coefficients et racines

À partir des deux formules générales pour les racines vues plus haut,

On peut calculer leur somme et produit.

1. Somme des racines \( : X_1 + X_2 \)

$$ X_1 + X_2 = \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$
$$ X_1 + X_2 = \frac{- 2b}{2a} $$
$$ X_1 + X_2 = -\frac{b}{a} $$

2. Produit des racines \( : X_1 X_2 \)

$$ X_1 X_2 = \biggl( \frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2a} \biggr) \biggl( \frac{- b + \sqrt{\Delta}}{2a} \biggr)$$
$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - b\sqrt{\Delta} + b\sqrt{\Delta}- \Delta }{4a^2} $$
$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - \Delta }{4a^2} $$

Or, \(\Delta = b^2 - 4ac \), soit :

$$ X_1 X_2 = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} $$
$$ X_1 X_2 = \frac{ 4ac}{4a^2} $$
$$ X_1 X_2 = \frac{c}{a} $$

Exemples

1. Résolution d'un polynôme du second degré

$$ P_2(X) = 2X^2 - 3X + 1 = 0 $$

On calcule le discriminant \( \Delta \) :

$$ \Delta = (-3) ^2 - 4 \times 2 \times 1 = 1$$

\(\Delta\) est positif, alors \(P_2(X) \) a deux racines réelles \(X_1, X_2\) :

$$ X_1 = \frac{- (-3) - \sqrt{1}}{2 \times 2} $$
$$ X_1 = \frac{2}{4} $$
$$ X_2 = \frac{- (-3) + \sqrt{1}}{2 \times 2} $$
$$ X_2 = \frac{4}{4} $$
$$ \mathcal{S} = \biggl \{X_{1} = \frac{1}{2} , \ X_{2} = 1 \biggr \} $$

\(P_2(X) \) peut alors se factoriser :

$$ P_2(X) = 2 \left(X- \frac{1}{2} \right)\Bigl(X -1 \Bigr) $$

\(P_2(X) \) est le polynôme qui s'annule en \( X = \frac{1}{2}\) et \( X = 1\).

2. Résolution d'un polynôme de degré \(4\) par changement de variable

Résolvons à présent cette nouvelle équation :

$$ P_4(X) = 6X^4 - X^2 - 1 = 0 $$

Lorsqu'on a ce type de situation, on pose un changement de variable :

On pose :

$$ \varphi = X^2$$

Alors le polynôme \(P_4(X)\) devient un polynôme du second dégré :

$$ P_4(X) \Longrightarrow P_2( \varphi) = 6\varphi^2 - \varphi - 1 $$

On peut à présent calcule le discriminant \( \Delta \) :

$$ \Delta = (-1) ^2 - 4 \times (-1) \times 6 = 25$$

Alors \(P_2(\varphi ) \) a deux racines réelles \(\varphi _1, \varphi _2\) :

$$ \varphi _1 = \frac{- (-1) - \sqrt{25}}{2 \times 6} $$
$$ \varphi _1= -\frac{1}{3} $$
$$ \varphi _2 = \frac{- (-1) + \sqrt{25}}{2 \times 6}
$$ \varphi _2 = \frac{1}{2 } $$
$$ \mathcal{S} = \biggl \{\varphi_{1} =-\frac{1}{3} , \ \varphi_{2} = \frac{1}{2 } \biggr \} $$

Et \(P_2(\varphi) \) peut se factoriser ainsi :

$$ P_2(\varphi) = 6 \left(\varphi + \frac{1}{3} \right)\left(\varphi - \frac{1}{2 } \right) $$

On remplace finalement \(\varphi\) par sa valeur initiale, \( \varphi = X^2\) :

$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X^2 - \frac{1}{2 } \right) $$

On peut encore le décomposer :

Or, on sait qu'avec la troisième identité remarquable du second degré :

$$ A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$$

Soit,

$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X + \frac{1}{\sqrt2 } \right)\left(X - \frac{1}{\sqrt2} \right) $$
$$ P_4(X) = 6 \left(X^2 + \frac{1}{3} \right)\left(X + \frac{\sqrt2}{2 } \right)\left(X - \frac{\sqrt2}{2} \right) $$