Les propriétés des nombres complexes

Modules de l'opposé et du conjugué

Écrivons les complexes \( |-z|\) et \( | \overline{z} | \) sous leur forme algébrique.

Soit finalement,

Module du produit

Écrivons les complexes \( z, z' \) sous leur forme algébrique.

On calcule dans un premier temps \( z z' \) :

Ensuite, on calcule \( | z z' | \) :

Enfin, on calcule \( | z| \hspace{0.2em}. |z' | \) :

On remarque que les expressions \( (1) \) et \( (2) \) sont équivalentes, alors :

De la même manière, on aura :

Module d'un complexe élevé à une puissance entière

Soit \(z \in \mathbb{C}\).

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel \(n \in \mathbb{N}\), on a la propriété suivante :

1. Initialisation (pour \(n = 0\))

   Par convention, pour tout complexe \(z \neq 0\), on a \(z^0 = 1\). Calculons les deux membres :

   $$ \begin{cases} |z^0| = |1| = 1 \\ |z|^0 = 1 \end{cases} $$

   L'égalité est vérifiée, donc la proposition \((P_0)\) est vraie.

2. Hérédité

   Soit \(k \in \mathbb{N}\) un entier naturel fixé. Supposons que la proposition \((P_k)\) soit vraie, c'est-à-dire que \(|z^k| = |z|^k\). Vérifions si elle reste vraie au rang \(k+1\), soit :

   $$ \left|z^{k+1}\right| = |z|^{k+1} \qquad (P_{k}) $$

   Par les lois des puissances, on sait que \(z^{k+1} = z^k \times z\). En appliquant le module, on obtient :

   $$ |z^{k+1}| = |z^k \times z| $$

   Or, nous avons démontré précédemment que le module d'un produit est égal au produit des modules :

   $$ \forall (z, z') \in \mathbb{C}^2, \enspace |z z'| = |z| \cdot |z'| $$

   Ce qui nous permet de séparer le produit :

   $$ |z^{k+1}| = |z^k| \cdot |z| $$

   En utilisant notre hypothèse de récurrence (\(|z^k| = |z|^k\)), on peut substituer ce terme :

   $$ |z^{k+1}| = |z|^k \cdot |z| = |z|^{k+1} $$

   La propriété est donc héréditaire.

3. Conclusion

   La proposition \((P_n)\) est vraie au rang \(0\) et elle est héréditaire pour tout entier naturel \(n\). Par le principe de récurrence, on conclut que :

   $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$
   $$ |z^n| = |z|^n $$

Arguments des conjugué et opposé

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

1. Pour le conjugué \(\overline{z}\)

   Écrivons le complexe \( \overline{z} \) sous sa forme trigonométrique.

   $$\overline{z} = |z| \cdot \left( \cos(\theta) - i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) $$

   Mais,

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \cos(\theta) = \cos(-\theta) \\ -\sin(\theta) = \sin(-\theta) \end{gather*} $$

   Soit,

   $$\overline{z} = |z| \cdot \left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right) $$

   D'où,

   $$ \arg(\overline{z}) = -\arg(z) $$

2. Pour l'opposé \( -z \)

   $$-z = -|z| \cdot \left( \cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) $$
   $$-z = |z| \cdot \left( -\cos(\theta) - i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) $$

   Mais,

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} -\cos(\theta) = \cos(\pi + \theta) \\ -\sin(\theta) = \sin(\pi + \theta) \end{gather*} $$

   Soit,

   $$ -z = |z| \cdot \left( \cos(\pi + \theta) + isin(\pi + \theta) \right) $$

   D'où,

   $$ \arg(-z) = \pi +\arg(z) $$

Soit finalement,

Argument du produit

Écrivons les complexes \( z, z' \) sous leur forme trigonométrique.

On calcule \( z z' \) :

Soit,

Soit que,

Soit finalement,

Argument de l'inverse

Soit \(z \in \hspace{0.04em}\mathbb{C}^*\) un nombre complexe non nul.

Partons de l'équation suivante :

Alors,

Soit que,

Soit finalement,

Argument du quotient

Soit \(z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe et \(z' \in \hspace{0.04em}\mathbb{C}^*\) un nombre complexe non nul.

Écrivons le quotient \(\frac{z}{z'}\) sous forme de produit :

Soit que,

Alors,

Soit finalement,

Argument d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

1. Calcul du carré \( : z^2 \)

   $$ z^2 = \Bigl[ |z| \cdot \left(\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) \Bigr]^2 $$

   Grâce aux propriétes du module élevé à une puissance entière \( | z^n | \) , on sait que :

   $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$

   $$ |z^n| = |z|^n $$

   Soit,

   $$ z^2 = |z|^2.\left(\cos(\theta) + i \sin(\theta) \right)^2$$
   $$ z^2 = |z|^2.\left(\cos^2(\theta) + 2i.\sin(\theta)\cos(\theta) - \sin^2(\theta) \right)$$
   $$ z^2 = |z|^2.\left(\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) + 2i.\sin(\theta)\cos(\theta) \right)$$

   Grâce aux formules de duplications trigonométriques , on sait que :

   $$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \\ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \end{gather*} $$

   Alors, on reconnaît que :

   $$ z^2 = |z|^2.\left(\cos(2\theta) + i. \sin(2\theta) \right)$$

   Soit que,

   $$ \arg(z^2) = 2 . \arg(z) $$

2. Preuve par récurrence

   Tentons de prouver par récurrence que :

   $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z},$$
   $$ \arg(z^n) = n \cdot \arg(z) \qquad (P_n) $$

   1. Calcul du premier terme

      $$ z = |z| \cdot \left(\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) $$
      $$ z^0 = |z|^0.\left(\cos(0 \times \theta) + isin( 0 \times \theta) \right) $$
      $$ 1 = 1 \times ( 1 + 0) $$

      Alors, \((P_0)\) est vraie.

   2. Vérification de l'hérédité

      1. Avec un exposant \( n \) l'ensemble des entiers naturels \( (n \in \mathbb{N}) \)

         Soit \( k \in \mathbb{N} \) un entier naturel.

         On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraieau rang \( k \), et vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k + 1})\).

         Si c'est bien le cas, nous devrions obtenir comme résultat que :

         $$ \arg(z^{k+1}) = (k+1) . \arg(z) \qquad (P_{k + 1}) $$

         On calcule alors \(z^{k+1}\) :

         $$ z^{k+1} = |z|^{k+1}.\left(\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right)^{k+1} $$

         Or, on sait que le l'argument d'un produit est la somme des facteurs de ce produit :

         $$ \forall z, z' \in \hspace{0.04em} \mathbb{C}^2, $$

         $$ \arg( z z') = \arg(z) + \arg(z') $$

         Soit ici que,

         $$ \arg(z^{k+1}) = \arg( z . z^k) = \arg(z) + \arg(z^k) $$
         $$ \arg(z^{k+1}) = \arg(z) + \arg(z) + \arg(z^{k-1}) $$

         Et ainsi de suite jusque :

         $$ \arg\left(z^{k+1}\right) = (k+1).\arg(z) $$

         Par conséquent, \((P_{k + 1})\) est vraie dans l'ensemble \( \mathbb{N}\) des entiers naturels.

         Montrons maintenant cette hérédité est aussi en sens inverse.

      2. Avec un exposant \( n \) l'ensemble des entiers relatifs \( (n \in \mathbb{Z}) \)

         Soit \( k \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.

         On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraieau rang \( k \), et vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k - 1})\).

         Si c'est bien le cas, nous devrions obtenir comme résultat que :

         $$ \arg(z^{k-1}) = (k-1) . \arg(z) \qquad (P_{k - 1}) $$

         On effectue maintenant le calcul de \(z^{k-1}\) :

         $$ z^{k-1} = \frac{z^k}{z} $$

         Or, on sait que l'argument d'un quotient de deux complexes équivaut à la différence des arguments de ces deux complexes :

         $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall z' \in \mathbb{C^*},$$

         $$ \arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg(z) -\arg(z') $$

         Soit ici que,

         $$ \arg(z^{k-1}) = \arg\left( \frac{z^k}{z} \right) = \arg(z^k) - \arg(z) $$
         $$ \arg(z^{k-1}) = k.\arg(z) - \arg(z) $$
         $$ \arg(z^{k-1}) = (k-1).\arg(z) $$

         Alors, \((P_{k - 1})\) est vraie pour l'ensemble \( \mathbb{Z}\) des entiers relatifs.

   3. Conclusion

      La proposition \((P_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), de manière croissante et décroissante.

      Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).

Soit finalement,

Conjugué de la somme

Écrivons les complexes \( z_1, z_2 \) sous leur forme algébrique.

En effectuant leur somme, on a:

Maintenant, en appliquant le conjugué :

Et finalement,

De la même manière,

Conjugué d'un produit

Écrivons les complexes \( z_1, z_2 \) sous leur forme algébrique.

En effecutant leur produit, on a:

Maintenant, en appliquant le conjugué :

Calculons à présent le produit \( \overline{z_1}. \overline{z_2} \) séparément :

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (3) \) et \( (4) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,

Conjugué d'un quotient

Écrivons les complexes \( z \) et \( \overset{-}{z} \) sous leur forme algébrique.

En effecutant leur quotient, on a :

On multiplie maintenant les numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

Soit dans notre cas,

On développe le numérateur,

À présent, en appliquant le conjugué, on a :

Calculons maintenant le quotient \( \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} \) séparément :

De la même manière que précédemment,

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (5) \) et \( (5) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,

Complexe multiplié par son conjugué

Écrivons les complexes \( z \) et \( \overset{-}{z} \) sous leur forme algébrique.

Calculons leur produit :

Soit dans notre cas,

Et finalement,

Conjugué d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

Calculons maintenant \( z^n \) :

Alors, on peut écrire que :

Appliquons-lui maintenant son conjugué :

Calculons maintenant de manière séparée \( (\overline{z})^n \) en repartant de \( \overline{z} \).

À nouveau avec la formule de Moivre , on peut écrire que :

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (7) \) et \( (8) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,