Les propriétés des nombres complexes

Démonstrations

Les modules \( : |z|\)

Modules de l'opposé et du conjugué

Écrivons les complexes \( |-z|\) et \( | \overline{z} | \) sous leur forme algébrique.

Soit finalement,

Module du produit

Écrivons les complexes \( z, z' \) sous leur forme algébrique.

On calcule dans un premier temps \( z z' \) :

Ensuite, on calcule \( | z z' | \) :

Enfin, on calcule \( | z| \hspace{0.2em}. |z' | \) :

On remarque que les expressions \( (1) \) et \( (2) \) sont équivalentes, alors :

De la même manière, on aura :

Module d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \(z\) sous leur forme algébrique.

Calculons \(z^n\) :

Puis \(|z^n|\) :

On retrouve bien \(\left|z \right|^n\). Soit finalement,

Les arguments \( : \arg(z) \)

Arguments des conjugué et opposé

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

1. Pour le conjugué \(\overline{z}\)

Écrivons le complexe \( \overline{z} \) sous sa forme trigonométrique.

$$\overline{z} = |z|.\left( \cos(\theta) - i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) $$

Mais,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \cos(\theta) = \cos(-\theta) \\ -\sin(\theta) = \sin(-\theta) \end{gather*} $$

Soit,

$$\overline{z} = |z|.\left( \cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right) $$

D'où,

$$ \arg(\overline{z}) = -\arg(z) $$

2. Pour l'opposé \( -z \)

$$-z = -|z|.\left( \cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) $$
$$-z = |z|.\left( -\cos(\theta) - i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) $$

Mais,

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} -\cos(\theta) = \cos(\pi + \theta) \\ -\sin(\theta) = \sin(\pi + \theta) \end{gather*} $$

Soit,

$$ -z = |z|.\left( \cos(\pi + \theta) + isin(\pi + \theta) \right) $$

D'où,

$$ \arg(-z) = \pi +\arg(z) $$

Soit finalement,

Argument du produit

Écrivons les complexes \( z, z' \) sous leur forme trigonométrique.

On calcule \( z z' \) :

Soit,

Soit que,

Soit finalement,

Argument de l'inverse

Soit \(z \in \hspace{0.04em}\mathbb{C}^*\) un nombre complexe non nul.

Partons de l'équation suivante :

Alors,

Soit que,

Soit finalement,

Argument du quotient

Soit \(z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe et \(z' \in \hspace{0.04em}\mathbb{C}^*\) un nombre complexe non nul.

Écrivons le quotient \(\frac{z}{z'}\) sous forme de produit :

Soit que,

Alors,

Soit finalement,

Argument d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

1. Calcul du carré \( : z^2 \)

$$ z^2 = \Bigl[ |z|.\left(\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) \Bigr]^2 $$

Grâce aux propriétes du module élevé à une puissance entière \( | z^n | \) , on sait que :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{N}, $$

$$ |z^n| = |z|^n $$

Soit,

$$ z^2 = |z|^2.\left(\cos(\theta) + i.\sin(\theta) \right)^2$$
$$ z^2 = |z|^2.\left(\cos^2(\theta) + 2i.\sin(\theta)\cos(\theta) - \sin^2(\theta) \right)$$
$$ z^2 = |z|^2.\left(\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) + 2i.\sin(\theta)\cos(\theta) \right)$$

Grâce aux formules de duplications trigonométriques , on sait que :

$$ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) \\ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \end{gather*} $$

Alors, on reconnaît que :

$$ z^2 = |z|^2.\left(\cos(2\theta) + i. \sin(2\theta) \right)$$

Soit que,

$$ \arg(z^2) = 2 . \arg(z) $$

2. Preuve par récurrence

Tentons de prouver par récurrence que :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z},$$
$$ \arg(z^n) = n \cdot \arg(z) \qquad (P_n) $$

1. Calcul du premier terme

$$ z = |z|.\left(\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right) $$
$$ z^0 = |z|^0.\left(\cos(0 \times \theta) + isin( 0 \times \theta) \right) $$
$$ 1 = 1 \times ( 1 + 0) $$

Alors, \((P_0)\) est vraie.

2. Vérification de l'hérédité

1. Avec un exposant \( n \) l'ensemble des entiers naturels \( (n \in \mathbb{N}) \)

Soit \( k \in \mathbb{N} \) un entier naturel.

On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie pour tout \( k \), et vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k + 1})\).

Si c'est bien le cas, nous devrions obtenir comme résultat que :

$$ \arg(z^{k+1}) = (k+1) . \arg(z) \qquad (P_{k + 1}) $$

On calcule alors \(z^{k+1}\) :

$$ z^{k+1} = |z|^{k+1}.\left(\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) \right)^{n+1} $$

Or, on sait que le l'argument d'un produit est la somme des facteurs de ce produit :

$$ \forall z, z' \in \hspace{0.04em} \mathbb{C}^2, $$

$$ \arg( z z') = \arg(z) + \arg(z') $$

Soit ici que,

$$ \arg(z^{k+1}) = \arg( z . z^k) = \arg(z) + \arg(z^k) $$
$$ \arg(z^{k+1}) = \arg(z) + \arg(z) + \arg(z^{k-1}) $$

Et ainsi de suite jusque :

$$ arg\left(z^{k+1}\right) = (k+1).\arg(z) $$

Par conséquent, \((P_{k + 1})\) est vraie dans l'ensemble \( \mathbb{N}\) des entiers naturels.

Montrons maintenant cette hérédité est aussi en sens inverse.

2. Avec un exposant \( n \) l'ensemble des entiers relatifs \( (n \in \mathbb{Z}) \)

Soit \( k \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.

On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie pour tout \( k \), et vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k - 1})\).

Si c'est bien le cas, nous devrions obtenir comme résultat que :

$$ \arg(z^{k-1}) = (k-1) . \arg(z) \qquad (P_{k - 1}) $$

On effectue maintenant le calcul de \(z^{k-1}\) :

$$ z^{k-1} = \frac{z^k}{z} $$

Or, on sait que l'argument d'un quotient de deux complexes équivaut à la différence des arguments de ces deux complexes :

$$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall z' \in \mathbb{C^*},$$

$$ arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg(z) -\arg(z') $$

Soit ici que,

$$ \arg(z^{k-1}) = arg\left( \frac{z^k}{z} \right) = \arg(z^k) - \arg(z) $$
$$ \arg(z^{k-1}) = k.\arg(z) - \arg(z) $$
$$ \arg(z^{k-1}) = (k-1).\arg(z) $$

Alors, \((P_{k - 1})\) est vraie pour l'ensemble \( \mathbb{Z}\) des entiers relatifs.

3. Conclusion

La proposition \((P_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), de manière croissante et décroissante.

Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{Z}\).

Soit finalement,

Les conjugués \( : \overline{z}\)

Conjugué de la somme

Écrivons les complexes \( z_1, z_2 \) sous leur forme algébrique.

En effecutant leur somme, on a:

Maintenant, en appliquant le conjugué :

Et finalement,

De la même manière,

Conjugué d'un produit

Écrivons les complexes \( z_1, z_2 \) sous leur forme algébrique.

En effecutant leur produit, on a:

Maintenant, en appliquant le conjugué :

Calculons à présent le produit \( \overline{z_1}. \overline{z_2} \) séparément :

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (3) \) et \( (4) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,

Conjugué d'un quotient

Écrivons les complexes \( z \) et \( \overset{-}{z} \) sous leur forme algébrique.

En effecutant leur quotient, on a :

On multiplie maintenant les numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

Soit dans notre cas,

On développe le numérateur,

À présent, en appliquant le conjugué, on a :

Calculons maintenant le quotient \( \frac{\overline{z_1}}{ \overline{z_2}} \) séparément :

De la même manière que précédemment,

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (5) \) et \( (5) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,

Complexe multiplié par son conjugué

Écrivons les complexes \( z \) et \( \overset{-}{z} \) sous leur forme algébrique.

Calculons leur produit :

Soit dans notre cas,

Et finalement,

Conjugué d'un complexe élevé à une puissance entière

Écrivons le complexe \( z \) sous sa forme trigonométrique.

Calculons maintenant \( z^n \) :

Alors, on peut écrire que :

Appliquons-lui maintenant son conjugué :

Calculons maintenant de manière séparée \( (\overline{z})^n \) en repartant de \( \overline{z} \).

À nouveau avec la formule de Moivre , on peut écrire que :

Après avoir calculé le résultat des expressions \( (7) \) et \( (8) \), on s'aperçoit qu'elles sont égales :

Et finalement,

Récapitulatif des formules des propriétés des nombres complexes