La formule de Moivre

Démonstration

Soit \( n \in \mathbb{Z}\) un entier relatif, et \( z \in \mathbb{C}\) un nombre complexe de module \( |z|= 1\) sous sa forme trigonométrique, tel que :

1. En passant par l'argument d'un complexe

   En élevant les deux membres à la puissance \(n\), on a :

   $$ z^n = \Bigl[\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta)\Bigr]^n $$

   On sait par la propriété des arguments de nombres complexes élevés à une puissance entière que :

   $$ \forall z \in \mathbb{C}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z}, \enspace \arg(z^n) = n \cdot \arg(z) $$

   Soit ici que,

   $$ \arg(z^n) = n \cdot \arg(z) $$
   $$ \arg(z^n) = n \theta $$

   Si l' argument du complexe \( z^n \) est \( n \theta \), alors ce dernier peut s'écrire sous la forme :

   $$ z^n = \cos(n\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(n\theta) $$

   Et finalement,

   $$ \forall \theta \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z}, $$
   $$ \Bigl[\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta)\Bigr]^n = \cos(n\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(n\theta) \qquad \text{(Formule de Moivre)}$$

2. En passant par la forme exponentielle d'un complexe

   En passant par la forme exponentielle d'un nombre complexe , on peut directement observer que :

   $$ \cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta) = e^{i\theta} $$

   Puis, en élevant les deux membres à la puissance \(n\) :

   $$ \Bigl[\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta)\Bigr]^n = \bigl(e^{i\theta}\bigr)^n $$
   $$ \Bigl[\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta)\Bigr]^n = e^{in\theta} $$

   Et finalement,

   $$ \forall \theta \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, \enspace \forall n \in \mathbb{Z}, $$
   $$ \Bigl[\cos(\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(\theta)\Bigr]^n = \cos(n\theta) + i \hspace{0.2em} \sin(n\theta) \qquad \text{(Formule de Moivre)}$$