Soient \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite numérique.
Supposons que la suite \((u_n)\) tende vers une certaine limite \(\Bigl(l \in \bigl\{ \mathbb{R} \cup \infty \bigr \}\Bigr)\) réelle ou infinie, à partir d'un certain rang \(n_0\) :
$$ \forall \varepsilon > 0, \ \exists n_0 \in \mathbb{N}, \ \forall n \geqslant n_0, \hspace{2em} | u_n - l | < \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon \qquad (H) $$
Par rigueur de la démonstration, nous avons besoin de majorer par \(\frac{\varepsilon}{2}\), car plus tard dans la démonstration nous aurons deux parties à majorer.
Maintenant, si l'on regarde comment se comporte sa moyenne :
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| = \left| \frac{u_1 + u_2 + \ ... \ + \hspace{0.2em} u_n}{n} - l \right| $$
En mettant au même dénominateur, on a :
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| = \left| \frac{u_1 + u_2 + \ ... \ + \hspace{0.2em} u_n}{n} - \textcolor{rgb(118 139 240)}{\frac{n}{n} \times \ } l \right| $$
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| = \left| \frac{u_1 + u_2 + \ ... \ + \hspace{0.2em} u_n - nl}{n} \right| $$
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| = \left| \frac{(u_1 - l) + (u_2 - l) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (u_n - l)}{n} \right| $$
Or, on sait que :
$$ \forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, $$
$$ | a + b | \leqslant |a| + |b| $$
Ainsi,
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| \leqslant \frac{|u_1 - l| + |u_2 - l| \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} |u_n - l|}{n} $$
Divisons la somme de droite en deux parties distinctes :
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| \leqslant \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n_0 - 1} |u_k - l| + \frac{1}{n} \sum_{k = n_0}^n |u_k - l| $$
Or, on sait avec \((H)\) qu'à partir d'un certain rang \(n_0\), la suite \((u_n)\) converge.
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| \leqslant \frac{|u_1 - l| + |u_2 - l| + \ ... \ + \hspace{0.2em} |u_{n_0 - 1} - l| \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{\varepsilon}{2}}{n} $$
Par simplicité, on pose la variable \(M\) suivante, somme des termes précédents \(u_{n_0}\) :
$$ M = |u_1 - l| + |u_2 - l| + \ ... \ + \hspace{0.2em} |u_{n_0 - 1} - l| $$
que l'on remplace dans l'expression précédente.
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| \leqslant \frac{M}{n} + \frac{(n - n_0 + 1)\varepsilon}{2n} $$
À ce stade, on doit choisir un rang \(n_1\) assez grand pour s'assurer que le premier bloc devienne inférieur à \(\frac{\varepsilon}{2}\) (la partie de droite étant déjà sous contrôle direct grâce à la relation \((H)\)).
Puisque \(M\) est une constante indépendante de \(n\), le premier bloc tend vers \(0\) lorsque \(n\) tend vers l'infini :
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{M}{n} = 0 $$
Par conséquent, par définition de la limite, il existe un rang \(n_1\) à partir duquel ce bloc devient inférieur à \(\frac{\varepsilon}{2}\) :
$$ \exists n_1 \in \mathbb{N}, \ \forall n \geqslant n_1, \hspace{2em} \frac{M}{n} < \frac{\varepsilon}{2} $$
On pose :
$$ N = max\Bigl \{ n_0, \ n_1\Bigr \}$$
Ainsi, par sommation des deux majorations :
$$ \forall (n \geqslant N), $$
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} $$
$$ \left| \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k - l \right| < \varepsilon $$
Alors, si \((u_n)\) tend vers une certaine limite, sa moyenne tend vers cette même limite.
$$ \lim_{n \to \infty} \bigl[ u_n \bigr] = l \Longrightarrow \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n u_k \right] = l \qquad \bigl(\text{Théorème de Cesàro} \bigr) $$
Soit \( (u_n)_{n \in \mathbb{N}} \) une suite numérique récurrente d'ordre 2 non nulle, et combinaison linéaire de ces deux termes précédents telle que :
$$ u_{n + 2} = p.u_{n + 1} + q.u_n \qquad (1) $$
$$ \Bigl(\text{ avec } (p, q) \in \bigl(\mathbb{R}^*\bigr)^2 \Bigr) $$
Pour ce type de suite récurrente, les exposants fonctionnent très bien avec les solutions de type exponentielle. Alors, une solution adaptée serait de la forme :
$$ u_n = r^n \qquad (\text{ avec } r \in \mathbb{R}^*) \qquad (2) $$
Alors, si l'on injecte \((2)\) dans \((1)\), on a :
$$ r^{n + 2} = p.r^{n + 1} + q.r^n $$
En divisant par \(r^n\), on a maintenant :
$$ r^2 = pr + q $$
$$ r^2 - pr - q = 0 \qquad(E_c) $$
On se retrouve avec une
équation du second degré
à résoudre.
On obtient alors au plus deux solutions pour \(r\) : \((\alpha, \beta)\).
Or, ces deux solutions cherchées, \(\alpha^n\) et \(\beta^n\) forment un
espace vectoriel
à deux dimensions sur \(\mathbb{R}\).
Car, si \(\alpha^n\) et \(\beta^n\) sont solutions pour incarner \((u_n)\), alors :
$$ \left \{ \begin{gather*} \alpha^{n + 2} = p.\alpha^{n + 1} + q.\alpha \\ \\ \beta^{n + 2} = p.\beta^{n + 1} + q.\beta \end{gather*} \right \} $$
$$ \left \{ \begin{gather*} A\alpha^{n + 2} = Ap.\alpha^{n + 1} + Aq.\alpha \qquad(3) \\ \\ B\beta^{n + 2} = Bp.\beta^{n + 1} + Bq.\beta \qquad(4) \end{gather*} \right \} $$
En effectuant l'opération \( \bigl((3) + (4) \bigr)\), on a :
$$ A\alpha^{n + 2} + B\beta^{n + 2} = Ap.\alpha^{n + 1} + Aq.\alpha + Bp.\beta^{n + 1} + Bq.\beta $$
Puis, en rassemblant termes de degré identique,
$$ A\alpha^{n + 2} + B\beta^{n + 2} = Ap.\alpha^{n + 1} + Bp.\beta^{n + 1} + Aq.\alpha + Bq.\beta $$
$$ \underbrace{A\alpha^{n + 2} + B\beta^{n + 2}} _{u_{n + 2}} = p\underbrace{(A.\alpha^{n + 1} + B.\beta^{n + 1})} _{u_{n + 1}} + q\underbrace{(A.\alpha + B.\beta)} _{u_n} $$
On voit bien alors que la solution :
$$ u_n = A.\alpha^n + B.\beta^n $$
est solution de \((1)\).
Alors, on peut déterminer le terme général de cette suite :
$$ u_{n + 2} = p.u_{n + 1} + q.u_n \Longrightarrow u_n = A. \alpha^n + B.\beta^n \hspace{2em} \text{avec } \left \{ \begin{gather*} (p, q) \in \bigl(\mathbb{R}^*\bigr)^2 \\ \\ A \text{ et } B \text{ à déterminer selon } u_0 \text{ et } u_1 \\ \\ \alpha \text{ et } \beta \text{ les deux racines de } \Bigl[ r^2 - pr - q = 0 \Bigr] \end{gather*} \right \} $$
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