L'identité géométrique

Démonstration

1. Par divisions successives

   En effectuant les divisions euclidiennes successives du polynôme \( (a^n - b^n) \) par \( (a - b) \), on s'aperçoit que :

   	$$ a-b $$
   $$\hspace{0.6em} a^n - b^n $$	$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{a^{n-1}} $$
   $$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{-a^n} \textcolor{rgb(93 183 129)}{+a^{n-1}b} - b^n $$	$$ a^{n-1} \textcolor{rgb(93 183 129)}{+a^{n-2}b} $$
   $$ \hspace{1em} 0 \hspace{0.6em} \textcolor{rgb(232 124 124)}{-a^{n-1}b} \textcolor{rgb(93 183 129)}{+a^{n-2}b^2} - b^n $$	$$ a^{n-1} +a^{n-2}b \textcolor{rgb(93 183 129)}{+a^{n-3}b^2} $$
   $$ \hspace{4.2em} 0 \hspace{1.2em} \textcolor{rgb(232 124 124)}{- a^{n-2}b^2} \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ \dots + a^{n-p}b^{p} + \dots} - b^n $$	$$ a^{n-1} + a^{n-2}b +a^{n-3}b^2 \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ \dots + a^{n-p-1} b^{p}} $$
   $$ \hspace{8.2em} 0 \hspace{1.6em} + \dots \textcolor{rgb(232 124 124)}{-a^{n-p}b^{p}} \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ a^{n-p+1}b^{p+1} } + \dots - b^n $$	$$ a^{n-1} + a^{n-2}b +a^{n-3}b^2 + \dots + a^{n-p-1} b^{p} \textcolor{rgb(93 183 129)}{ + a^{n-p} b^{p+1}} $$
   $$ \hspace{15.2em} 0 \hspace{1.4em} \textcolor{rgb(232 124 124)}{- a^{n-p+1}b^{p+1}} + \dots - b^n $$	$$ a^{n-1} + a^{n-2}b +a^{n-3}b^2 + \dots + a^{n-p-1} b^{p} + a^{n-p} b^{p+1} $$
   $$ \hspace{20.4em} \dots \dots \text{ jusqu'à } (p = n - 3)$$	$$ $$
   $$ \hspace{20.4em} 0 \hspace{2em} \textcolor{rgb(93 183 129)}{ + a^2 b^{n-2}} - b^n $$	$$ a^{n-1} + a^{n-2}b +a^{n-3}b^2 + \dots + a^{n-p-1} b^{p} + a^{n-p} b^{p+1} + \dots \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ ab^{n-2} } $$
   $$ \hspace{23em} \textcolor{rgb(232 124 124)}{-a^2 b^{n-2}} \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ a b^{n-1}} - b^n $$	$$ a^{n-1} + a^{n-2}b +a^{n-3}b^2 + \dots + a^{n-p-1} b^{p} + a^{n-p} b^{p-1} + \dots + ab^{n-2} \textcolor{rgb(93 183 129)}{+ b^{n-1} } $$
   $$ \hspace{27.4em} \textcolor{rgb(232 124 124)}{- a b^{n-1}} \textcolor{rgb(232 124 124)}{+ b^n } $$	$$ a^{n-1} + a^{n-2}b +a^{n-3}b^2+ \dots + a^{n-p-1} b^{p} + a^{n-p} b^{p-1} + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1} $$
   $$ \hspace{30em} 0 $$	$$ a^{n-1} + a^{n-2}b +a^{n-3}b^2+ \dots + a^{n-p-1} b^{p} + a^{n-p} b^{p-1} + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1} $$

   Par conséquent, nous obtenons que,

   $$a^n - b^n = (a-b) \Bigl[a^{n-1} + a^{n-2}b +a^{n-3}b^2+ \dots + a^{n-p-1} b^{p} + a^{n-p} b^{p-1} + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1} \Bigr] $$

   Soit finalement,

   $$\forall n \in \mathbb{N}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$
   $$ a^n - b^n = (a-b) \sum_{p=0}^{n-1} a^{n-p-1}b^p \qquad \text{(Identité géométrique)} $$

2. Par une récurrence

   On souhaite démontrer par récurrence la proposition \((P_n)\) suivante :

   $$\forall n \in \mathbb{N}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$
   $$a^n - b^n = (a-b) \sum_{p=0}^{n-1} a^{n-p-1}b^p \qquad (P_n)$$

   1. Calcul du premier terme

      Vérifions que c'est bien vrai pour le premier terme, c'est-à-dire lorsque \( n = 1 \).

      $$a^1 - b^1 = a-b $$

      Or,

      $$ (a-b) \sum_{p=0}^{1-1} a^{1-p-1}b^p $$
      $$ (a-b) \sum_{p=0}^{0} a^{0}b^0 $$
      $$ = a-b $$

      On a donc bien :

      $$ a^1 - b^1 = (a-b) \sum_{p=0}^{1-1} a^{1-p-1}b^p = a - b$$

      \((P_0)\) est vraie.

   2. Vérification de l'hérédité

      Soit \( k \in \mathbb{N}^* \) un entier naturel non nul.

      On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie :

      $$ a^k - b^k = (a-b) \sum_{p=0}^{k-1} a^{k-p-1}b^p \qquad (P_k) $$

      Vérifions si la propriété se transmet au rang \( (k + 1) \) :

      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = (a-b) \sum_{p=0}^{k} a^{k-p}b^p \qquad (P_{k + 1}) $$
      
      

      Repartons de notre hypothèse à démontrer \((P_k)\), et arrangeons le membre de gauche :

      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = a \cdot a^k - b \cdot b^k $$

      Par une astuce algébrique classique, insérons le terme croisé \( -a \cdot b^k + a \cdot b^k \) :

      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = a \cdot a^k - a \cdot b^k + a \cdot b^k - b \cdot b^k $$

      Ensuite, on factorise par \(a\) et \(b^k\) :

      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = a(\underbrace{a^k - b^k} _{(P_k)}) + b^k(a - b) $$

      En injectant notre hypothèse de récurrence \( (P_k) \), on obtient :

      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = a \cdot \left[ (a-b) \sum_{p=0}^{k-1} a^{k-p-1}b^p \right] + b^k(a - b) $$

      Enfin, on factorise une dernière fois par \((a-b)\) :

      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = (a-b) \left[ \sum_{p=0}^{k-1} a^{k-p}b^p + b^k \right] $$

      Le terme isolé \( b^k \) s'intègre parfaitement dans la somme comme le terme d'indice \( (p = k) \) :

      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = (a-b) \left[ \sum_{p=0}^{k-1} a^{k-p}b^p + \underbrace{\sum_{p=k}^{k} a^{k-p}b^p} _{b^k} \right] $$
      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = (a-b) \sum_{p=0}^{k} a^{(k+1)-p-1}b^p $$

      \((P_{k + 1})\) est donc vérifiée.

      $$ a^{k+1} - b^{k+1} = (a-b) \sum_{p=0}^{k} a^{k-p}b^p \qquad (P_{k + 1}) $$

   3. Conclusion

      La proposition \((P_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 1\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{N}\).

      Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

      Et on retrouve bien,

      $$\forall n \in \mathbb{N}^*, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$
      $$ a^n - b^n = (a-b) \sum_{p=0}^{n-1} a^{n-p-1}b^p \qquad \text{(Identité géométrique)} $$