French flag Arrows English flag
Moon Arrows Sun
Arrows
Avec démos
Arrows
Mode formulaire
Return Index
Imprimer

Les propriétés des nombres premiers

L'ensemble \(\mathbb{P}\) est l'ensemble des nombres premiers :

$$ \mathbb{P} = \Bigl \{2, 3, 5, 7, 11, 13, ...etc. \Bigr \}$$

On appelle nombre premier, un nombre \(p \in \mathbb{P}\) qui a uniquement comme diviseur lui-même et \(1\).

$$ \mathcal{D}(p) = \bigl \{p, 1 \bigr \} $$

De même, on dira que deux nombres \((a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2\) sont premiers entre eux si leur unique diviseur commun est \(1\).

$$ \mathcal{D}(a, b) = \bigl \{1 \bigr \} \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge b = 1 $$
$$ \forall (p_1, p_2) \in \hspace{0.04em} \mathbb{P}, $$
$$ (p_1, p_2) \in \hspace{0.04em} \mathbb{P} \Longrightarrow p_1 \wedge p_2 = 1$$

Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace n \geqslant 2, \enspace \exists! r \in \mathbb{N}^*, \enspace \exists! (p_1 < p_2 < ... < p_r) \in \mathbb{P}^r, \enspace \exists! (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_r) \in (\mathbb{N}^*)^r, $$
$$ n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_r^{\alpha_r}$$
$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace n \geqslant 2,$$

Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) possède au moins un diviseur premier.

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace n \geqslant 4,$$

Tout entier naturel \(n \geqslant 4 \) non premier possède au moins un diviseur strict \(d_0 \) tel que \( d_0 \leqslant \sqrt{n} \).

$$ \forall p \in \mathbb{P}, \enspace \forall a \in \mathbb{Z}, $$
$$ p \nmid a \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 $$
$$ \forall p \in \mathbb{P}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2, $$
$$ p \mid ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} (p \mid a) \enspace ou \enspace (p \mid b) \qquad \bigl(\text{Lemme d'Euclide} \bigr) $$
$$ \forall (p, a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{P}^3, $$
$$ p \mid ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} (p=a) \enspace ou \enspace (p=b) \qquad \bigl(\text{Lemme d'Euclide (corollaire)} \bigr) $$

Démonstrations

Deux nombres premiers sont premiers entre eux

Soient \((p_1, p_2) \in \hspace{0.04em} \mathbb{P} \) deux nombres premiers.

Alors :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \mathcal{D}(p_1) = \bigl \{1, p_1 \bigr \} \\ \mathcal{D}(p_2) = \bigl \{1, p_2 \bigr \} \end{gather*} $$

Leur seul diviseur commun est \( 1 \).

Alors,

$$ \forall (p_1, p_2) \in \hspace{0.04em} \mathbb{P}, $$
$$ (p_1, p_2) \in \hspace{0.04em} \mathbb{P} \Longrightarrow p_1 \wedge p_2 = 1$$

La réciproque n'est pas vraie.

Par exemple : \(16 \wedge 35 = 1\)

Et pourtant ces deux nombres ne sont pas premiers.

Décomposition d'un nombre en facteurs premiers

Soit \(n \in \mathbb{N}\) un entier naturel avec \(n \geqslant 2\).

Ce nombre admet un nombre fini de diviseurs.

  1. si \( n \) est premier

    Il n'y a qu'un seul facteur.

    $$ n= p_1^{\alpha_1} \enspace \enspace (\text{avec} \enspace \alpha_1 = 1) $$

  2. si \( n \) n'est pas premier

    On sait que \( n \) a au moins un diviseur premier.

    $$ n = n_1 p_1 $$

    1. - Si \( n_1 \) n'est pas premier

      On recommence :

      $$ n_1 = n_2 p_2 $$
      $$ n = p_1. n_2 p_2 $$

    2. - Si \( n_2 \) n'est pas premier

      On effectue cette procédure jusqu'au dernier diviseur qui sera nécessairement premier.

      On pourra éventuellement retomber sur les mêmes nombres premiers plusieurs fois de suite.

      $$ n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_i^{\alpha_i}$$

Soit finalement,

Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace n \geqslant 2, \enspace \exists! r \in \mathbb{N}^*, \enspace \exists! (p_1 < p_2 < ... < p_r) \in \mathbb{P}^r, \enspace \exists! (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_r) \in (\mathbb{N}^*)^r, $$
$$ n= p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_r^{\alpha_r}$$

Tout nombre supérieur à 2 possède au moins un diviseur premier

Soit \(n \in \mathbb{N}\) un entier naturel avec \(n \geqslant 2\).

Deux cas se présentent :

  1. \( n \) est premier

    Alors, \( n \mid n \).

    Il a bien au moins un diviseur premier.

  2. \( n \) n'est pas premier

    \( n \) possède au moins un diviseur strict.

    $$ \mathcal{D}(n) = \bigl \{1, d_1, d_2, \ ... \, n \} $$

    Soit \( d_1 \) le plus petit diviseur strict de \(n \), \(d_1 \) est forcément premier, car s'il ne l'était pas, il aurait un diviseur inférieur à lui-même qui diviserait \( n \), et \( d_1 \) ne serait pas le plus petit diviseur de \(n \).


Soit finalement,

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace n \geqslant 2,$$

Tout entier naturel \(n \geqslant 2\) possède au moins un diviseur premier.

Tout nombre non premier supérieur à 4 possède au moins un diviseur strict

Soient \(n \in \{ \mathbb{N} \hspace{0.2em} \backslash\ \mathbb{P} \} \) un entier naturel non premier avec \(n \geqslant 4\), et \(d_0 \in \mathbb{N}\) un diviseur strict de \(n\).

Alors,

$$ \exists d' \geqslant d_0, \enspace n =d_0 d' $$

En multipliant par \(d_0 \) les deux membres,

$$ d_0^2 \leqslant d_0d' \Longleftrightarrow d_0^2 \leqslant n $$
$$ d_0 \leqslant \sqrt{n} $$

Et finalement,

$$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace n \geqslant 4,$$

Tout entier naturel \(n \geqslant 4 \) non premier possède au moins un diviseur strict \(d_0 \) tel que \( d_0 \leqslant \sqrt{n} \).

Lien de primalité entre un nombre premier et tout entier relatif

Soient \( p \in \mathbb{P} \) un nombre premier et \(a \in \mathbb{Z} \) un entier relatif.

$$ \mathcal{D}(p) = \bigl \{p, 1 \bigr \} $$
$$ \mathcal{D}(a) = \bigl \{1, \ ... \, a \} $$

Si \( p \nmid a \) alors \( p \not\in \mathcal{D}(a) \). D'où le fait que :

$$ p \nmid a \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \mathcal{D}(a) \wedge \mathcal{D}(p) = \bigl \{1 \bigr \} $$
$$ p \nmid a \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 $$
Réciproque

Si \(a \wedge p = 1\), comme \(p\) divise uniquement \(1\) et lui-même, alors \(p \nmid a\).

$$ a \wedge p = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p \nmid a $$
Conclusion
$$ \forall p \in \mathbb{P}, \enspace \forall a \in \mathbb{Z}, $$
$$ p \nmid a \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge p = 1 $$

Lemme d'Euclide

Soient \( p \in \mathbb{P} \) un nombre premier, \( (a, b) \in \hspace{0.1em} \mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.

Si \( p \mid ab \), alors deux cas se présentent :

  1. \( p \) divise \( a \)

    Alors, le théorème est vrai

  2. \( p \) ne divise pas \( a \)

    Alors, le lien de primalité entre un nombre premier et tout entier relatif nous dit que comme \( p \nmid a\), alors \( a \wedge p = 1\).

    Or, avec le théorème de Gauss :

    $$ \forall (a, b, c) \in (\mathbb{Z})^3,\enspace (a \mid bc) \text{ et } (a \wedge b = 1) \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \mid c $$

    Ce qui nous permet de dire que \( p \) divise \( b \).


Soit finalement,

$$ \forall p \in \mathbb{P}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2, $$
$$ p \mid ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} (p \mid a) \enspace ou \enspace (p \mid b) \qquad \bigl(\text{Lemme d'Euclide} \bigr) $$

Corollaire du lemme d'Euclide

Soient \( (p, a, b) \in \hspace{0.1em} \mathbb{P}^3 \), trois nombres premiers.

Si \( p \mid ab \), on a vu plus haut qu'avec le lemme d'Euclide , on a :

$$ p \mid ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p \mid a \enspace ou \enspace p \mid b $$

Voyons ce qu'il se passe dans les deux cas.

  1. \( p \) divise \( a \)

    \( a \) est premier donc ses deux seuls diviseurs sont \( 1 \) et \( a \).

    Or, \( p \neq 1 \) par hypothèse car c'est un nombre premier, alors :

    $$ p \mid a \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p = a $$

  2. \( p \) divise \( b \)

    Ce sont les mêmes hypothèses pour \( b \), par conséquent :

    $$ p \mid b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p = b $$

Soit finalement,

$$ \forall (p, a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{P}^3, $$
$$ p \mid ab \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} (p=a) \enspace ou \enspace (p=b) \qquad \bigl(\text{Lemme d'Euclide (corollaire)} \bigr) $$

Récapitulatif des propriétés des nombres premiers

Scroll top Retour en haut de page