La méthode de Newton : une méthode pour déterminer n'importe quelle valeur approchée

Cette méthode consiste à calculer une valeur approchée d'une racine réelle d'une fonction par des itérations successives à partir d'un point de départ bien choisi.

Soit $ f $ une fonction convexe (resp. concave) et strictement croissante (resp. décroissante) sur un intervalle $ I = \bigl[a, b \bigr]$.

On note $ x_0 \in I $ l'unique réel tel que $ f(x_0) = 0 $.

Pour garantir la convergence globale et systématique de la méthode vers cette racine sans risquer de diverger, le choix du point de départ $ a_0 $ doit répondre aux conditions de Fourier.

Les Conditions de Convergence de Fourier

Formalisées par Joseph Fourier, quatre critères stricts sur l'intervalle $\bigl[a, b \bigr]$ verrouillent la convergence de la suite de Newton :

$ f(a) $ et $ f(b) $ sont de signes contraires (existence d'une racine $ x_0 $ par le TVI).
$ f'(x) \neq 0 $ sur tout l'intervalle (la fonction est strictement monotone, garantissant l'unicité de la racine et l'existence des tangentes).
$ f''(x) $ ne change pas de signe (la fonction garde une convexité ou concavité constante, évitant les fluctuations de pente).
Le point de départ $ a_0 $ vérifie : $ f(a_0) \times f''(a_0) > 0 $.

Présentation de la méthode de Newton par dérivations successives

Cette valeur cible $ x_0 $ s'obtient comme la limite de la suite de Newton-Raphson :

$$ x_0 = \lim_{n \to +\infty} a_n $$

Avec $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} $ la suite récurrente définie par :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

Démonstrations

Soit $ f $ une fonction convexe et strictement croissante sur un intervalle $ I = \bigl[a, b \bigr]$.

On note $ x_0 \in I $ l'unique réel tel que $ f(x_0) = 0 $.

Pour garantir la convergence globale et systématique de la méthode vers cette racine sans risquer de diverger, le choix du point de départ $ a_0 $ doit répondre aux conditions de Fourier.

Les Conditions de Convergence de Fourier

Formalisées par Joseph Fourier, quatre critères stricts sur l'intervalle $\bigl[a, b \bigr]$ verrouillent la convergence de la suite de Newton :

$ f(a) $ et $ f(b) $ sont de signes contraires (existence d'une racine $ x_0 $ par le TVI).
$ f'(x) \neq 0 $ sur tout l'intervalle (la fonction est strictement monotone, garantissant l'unicité de la racine et l'existence des tangentes).
$ f''(x) $ ne change pas de signe (la fonction garde une convexité ou concavité constante, évitant les fluctuations de pente).
Le point de départ $ a_0 $ vérifie : $ f(a_0) \times f''(a_0) > 0 $.

Cette dernière condition impose de démarrer du côté où la fonction et sa concavité ont le même signe. Si $ f $ est convexe ($ f'' > 0 $), il faut impérativement choisir $ a_0 $ tel que $ f(a_0) > 0 $ (à droite de la racine) pour construire une suite d'approximations monotone et stable.

Nous savons que cette fonction va s'annuler à un moment donné, mais nous ne savons pas exactement pour quelle valeur $ x_0 $.

Nous avons représenté la tangente à cette courbe au point $ x = a_0 $, et répondant à l'équation :

$$ T_{a_0}(x) = f'(a_0)(x - a_0) + f(a_0)$$

Nous allons alors chercher à évaluer lorsque cette fonction va s'annuler. On a :

$$ T_{a_0}(x) = 0 $$

$$ f'(a_0)(x - a_0) + f(a_0) = 0 $$

$$ f'(a_0)x - f'(a_0).a_0 + f(a_0) = 0 $$

$$ f'(a_0)x = f'(a_0).a_0 - f(a_0) $$

On sait ici que $ f'(a_0) > 0 $, donc on peut diviser par $ f'(a_0) $.

$$ x = \frac{f'(a_0).a_0 - f(a_0)}{f'(a_0)} $$

$$ x = a_1 = a_0 - \frac{ f(a_0)}{f'(a_0)} $$

Si l'on continue et que l'on fait la même chose en partant cette fois-ci de $ a_1 $, nous obtiendrons :

$$ a_2 = a_1 - \frac{ f(a_1)}{f'(a_1)} $$

Nous obtenons alors une suite récurrente $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} $ telle que :

$$ \enspace a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

Plus on établira d'itérations successives et plus l'on va tendre vers la valeur souhaitée, soit :

$$ x_0 = \lim_{n \to +\infty} \enspace (a_n) $$

Avec $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} $ une suite récurrente telle que :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

On pourra réitérer le même raisonnement pour une fonction concave et/ou décroissante et/ou négative, à adapter selon le cas.

Exemple

Nous allons tenter de chercher une valeur approchée de $ \sqrt{2} $ par cette méthode.

Soit $ f $ une fonction telle que $ x_0 = \sqrt{2}$ soit solution de $ f(x_0) = 0 $. Partons de cette hypothèse et cherchons à déterminer cette fonction.

$$ x_0 = \sqrt{2} $$

$$ x_0^2 = 2 $$

$$ x_0^2 - 2 = 0 $$

Nous allons alors étudier la fonction $ f $ définie par :

$$ f(x) = x^2 - 2 $$

Et ainsi trouver une valeur approchée de $ x_0 $ pour laquelle $ f(x_0) = 0 $.

Nous sommes bien dans le cas d' une fonction convexe et strictement croissante, nous pouvons alors appliquer la méthode.

Il va s'agir de calculer les différentes valeurs de la suite :

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)} $$

Avec $ f(x) = x^2 - 2 $ et sa fonction dérivée $ f'(x) = 2x $.

Soit,

$$ a_{n + 1} = a_n - \frac{a_n^2 - 2}{2a_n} $$

D'ailleurs, en mettant au même dénominateur, on retrouve le résultat de la la méthode de Héron :

$$a_{n+1} = \frac{2a_n^2 - (a_n^2 - 2)}{2a_n} = \frac{a_n^2 + 2}{2a_n} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$$

Voici le résultat de la computation avec différentes valeur pour $ a_0 $ :