La règle de L'Hôpital

En analyse réelle, la règle de L'Hôpital (ou théorème de Bernoulli-L'Hôpital) est un outil fondamental permettant de lever des formes indéterminées du type $\left[\frac{0}{0}\right]$ ou $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ lors du calcul de limites de quotients de fonctions. Elle établit que, sous certaines conditions de régularité, la limite du rapport de deux fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées.

Soient $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $\alpha$ un point appartenant à l'adhérence de $I$ dans la droite réelle achevée, c'est-à-dire $\alpha \in \overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$. Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies et dérivables sur $I\setminus\{\alpha\}$.

Pour que la règle puisse être licitement appliquée, les trois hypothèses fondamentales suivantes doivent être simultanément vérifiées :

Conditions générales d'application

$g'(x) \neq 0$ pour tout $x \in I$ suffisamment proche de $\alpha$.
Les fonctions induisent une forme indéterminée en $\alpha$, soit par annulation conjointe :
$$ \lim_{x \to \alpha} f(x) = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to \alpha} g(x) = 0 $$
soit par divergence conjointe (indépendamment du signe des infinis) :
$$ \lim_{x \to \alpha} |f(x)| = +\infty \quad \text{et} \quad \lim_{x \to \alpha} |g(x)| = +\infty $$
La limite du quotient des dérivées existe dans $\overline{\mathbb{R}}$, c'est-à-dire :
$$ \lim_{x \to \alpha} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l \quad \text{où } l \in \overline{\mathbb{R}} $$

Si ces conditions sont remplies, alors la limite du rapport des fonctions existe également et lui est égale :

$$ \forall x \in I \setminus \{\alpha\}, \enspace \forall \alpha \in \overline{\mathbb{R}}, \enspace g(x) \neq 0 \quad \text{et} \quad g'(x) \neq 0, $$

$$ \left \{ \begin{gather*} \lim_{x \to \alpha} \ f(x) = 0 \text{ ou }\pm \infty, \\ \lim_{x \to \alpha} \ g(x) = 0 \text{ ou }\pm \infty \\ \\ \lim_{x \to \alpha} \ \frac{f'(x)}{g'(x)} = l \end{gather*} \right \} \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = l \qquad \qquad \bigl(\text{Règle de L'Hôpital} \bigr) $$

Démonstration

Forme indéterminée de type [zéro/zéro] $ : \left[ \frac{0}{0} \right] $

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \lim_{x \to \alpha} \ f(x) = 0 \\ \lim_{x \to \alpha} \ g(x) = 0 \end{gather*} \qquad (H) $$

Si l'on souhaite calculer :

$$ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} $$

On se retrouve avec une forme indéterminée de type $ \left[ \frac{0}{0} \right]$.

$$ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = \left[ \frac{0}{0} \right] $$

Grâce au théorème des accroissements finis généralisé (ou théorème de la moyenne de Cauchy ), on sait que :

$$ \forall (f, \ g) \text{ continues sur } \bigl[a,b \bigr]^2 \text{ et dérivables sur } \bigl ]a,b \bigr[^2, $$

$$ \exists c \in \bigl ]a,b \bigr[, \enspace \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} $$

Dans notre cas,

$$ \forall x \in I, \enspace \exists c \in \hspace{0.04em} ]\alpha, x[, \enspace \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(x) - f(\alpha)}{g(x) - g(\alpha)} \qquad (1) $$

Mais, avec $ (H) $ l'expression $ (1) $ devient $ (2) $ :

$$ \forall x \in I, \enspace \exists c \in \hspace{0.04em} ]\alpha, x[, \enspace \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(x)}{g(x)} \qquad (2) $$

Par suite,

$$ \forall x \in I, \enspace \exists c \in \hspace{0.04em} ]\alpha, x[, \ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = l \qquad (3)$$

Or, comme $ \alpha < c < x$, on a les deux implications suivantes :

$$ x \to \alpha \Longrightarrow c \to \alpha \Longrightarrow c \to x $$

Par conséquent si $ x \to \alpha $, alors $ c \to x $ et on peut réécrire $ (3) $ sous forme $ (3') $ :

$$ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = l \qquad (3') $$

Soit finalement,

$$ \forall x \in I \setminus \{\alpha\}, \enspace \forall \alpha \in \overline{\mathbb{R}}, \enspace g(x) \neq 0 \quad \text{et} \quad g'(x) \neq 0, $$

$$ \left \{ \begin{gather*} \lim_{x \to \alpha} \ f(x) = 0, \\ \lim_{x \to \alpha} \ g(x) = 0 \\ \\ \lim_{x \to \alpha} \ \frac{f'(x)}{g'(x)} = l \end{gather*} \right \} \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = l \qquad \bigl(\text{Règle de L'Hôpital} \bigr) $$
- Cas 1 : levée de l'indétermination
  D'après cette règle, si : $ \lim_{x \to \alpha} \enspace f'(x) \neq 0 $ ou bien $ \lim_{x \to \alpha} \enspace g'(x) \neq 0 $, alors la limite de $ \frac{f}{g} $ s'obtient directement.
- Cas 2 : forme toujours indéterminée
  Dès lors que l'on est toujours sur une une forme indéterminée , on recommence le processus jusqu'à lever l'indétermination.
Forme indéterminée de type [infini/infini] $ : \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right]$

De la même manière, on peut montrer que cela fonctionne aussi lorsque, à la place de $ (H)$ nous avons une nouvelle hypothèse $ (H')$, telle que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \lim_{x \to \alpha} \enspace f(x) = \pm \infty \\ \lim_{x \to \alpha} \enspace g(x) = \pm \infty \end{gather*} \qquad (H') $$

On a alors en passant à la limite, une nouvelle forme indéterminée de type $ \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right]$ :

$$ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right] $$

Réécrivons l'expression $ (1) $ trouvée précédemment :

$$ \forall x \in I, \enspace \exists c \in \hspace{0.04em} ]\alpha, x[, \enspace \frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(x) - f(\alpha)}{g(x) - g(\alpha)} \qquad (1) $$

En passant à la limite, on a :

$$ \forall x \in I, \enspace \exists c \in \hspace{0.04em} ]\alpha, x[, \ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x) - f(\alpha)}{g(x) - g(\alpha)}= l \qquad (4)$$

Comme $ f(\alpha) $ et $ g(\alpha) $ sont tous deux constants et sachant $ (H') $, on peut écrire que :

$$ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x) - f(\alpha)}{g(x) - g(\alpha)}= \lim_{x \to \alpha} \frac{f(x)}{g(x)} = l \qquad (4') $$

Alors, grâce à $ (4) $ et $ (4') $ on obtient $ (5)$ :

$$ \forall x \in I, \enspace \exists c \in \hspace{0.04em} ]\alpha, x[, \ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)}= l \qquad (5)$$

Enfin, de la même manière que précédemment, on a une réaction en chaîne lorsque $x \to a$ :

$$ x \to \alpha \Longrightarrow c \to \alpha \Longrightarrow c \to x $$

Par conséquent si $ x \to \alpha $, alors $ c \to x $ et on peut réécrire $ (5) $ sous forme $ (5') $ :

$$ \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = l \qquad (5') $$

Soit finalement,

$$ \forall x \in I \setminus \{\alpha\}, \enspace \forall \alpha \in \overline{\mathbb{R}}, \enspace g(x) \neq 0 \quad \text{et} \quad g'(x) \neq 0, $$

$$ \left \{ \begin{gather*} \lim_{x \to \alpha} \ f(x) = \pm \infty, \\ \lim_{x \to \alpha} \ g(x) = \pm \infty \\ \\ \lim_{x \to \alpha} \ \frac{f'(x)}{g'(x)} = l \end{gather*} \right \} \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = l \qquad \qquad \bigl(\text{Règle de L'Hôpital} \bigr)^* $$
Forme indéterminée de type [zéro fois l'infini] $ : \bigl[ 0 \times \pm \infty \bigr]$

Enfin, avec un produit $ fg $ ayant une indétermination de type $ [0] \times {[ \pm \infty]}$, telle que :

$$ \lim_{x \to \alpha} \enspace f(x) g(x) = \bigl[ 0 \times \pm \infty \bigr] $$
$$ \text{avec} \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} \lim_{x \to \alpha} \enspace f(x) = 0 \\ \lim_{x \to \alpha} \enspace g(x) = \pm \infty \end{gather*} $$

On pourra considérer plutôt un quotient et appliquer la règle, tel que :

$$ \lim_{x \to \alpha} \enspace f(x) g(x) = \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}$$
Conclusion

$$ \forall x \in I \setminus \{\alpha\}, \enspace \forall \alpha \in \overline{\mathbb{R}}, \enspace g(x) \neq 0 \quad \text{et} \quad g'(x) \neq 0, $$

$$ \left \{ \begin{gather*} \lim_{x \to \alpha} \ f(x) = 0 \text{ ou }\pm \infty, \\ \lim_{x \to \alpha} \ g(x) = 0 \text{ ou }\pm \infty \\ \\ \lim_{x \to \alpha} \ \frac{f'(x)}{g'(x)} = l \end{gather*} \right \} \Longrightarrow \lim_{x \to \alpha} \enspace \frac{f(x)}{g(x)} = l \qquad \qquad \bigl(\text{Règle de L'Hôpital} \bigr) $$

Exemples

Exemple 1

$$ \lim_{x \to 0^+} \enspace \frac{\sin(x)}{x} = \left[ \frac{0^+}{0^+} \right] $$

On tombe sur une forme indéterminée de type $ \left[ \frac{0}{0} \right]$.

On applique la règle :

$$ \lim_{x \to 0^+} \enspace \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \enspace \frac{\cos(x)}{1}= 1 $$
Exemple 2

$$ \lim_{x \to +\infty} \enspace \frac{e^x}{x^n} = \left[ \frac{+ \infty}{+ \infty} \right] $$

En appliquant la règle en série, le numérateur va rester fixe, mais le dénominateur va devenir constant à partir de la $n$-ième dérivation :

$$ \lim_{x \to +\infty} \enspace \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \enspace \frac{e^x}{nx^{n-1}} $$

$$ \lim_{x \to +\infty} \enspace \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \enspace \frac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}} $$

$$ \lim_{x \to +\infty} \enspace \frac{e^x}{x^n} \enspace = \enspace... \enspace = \enspace \lim_{x \to +\infty} \enspace \frac{e^x}{n!} = + \infty $$
Exemple 3

$$ \lim_{x \to 0^+} \ x^n \ln(x) = \bigl[ 0^+ \times - \infty \bigr] $$

$$ \text{avec} \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} \lim_{x \to 0^+} \ x^n = \ 0^+ \\ \lim_{x \to 0^+} \ \ln(x) = - \infty \end{gather*} $$

Pour appliquer la règle, on va considérer le quotient pour le calcul de la limite :

$$ \lim_{x \to 0^+} \ x^n \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \ \frac{\ln(x)}{x^{-n}} $$

À ce moment-là, la règle nous donne que :

$$ \lim_{x \to 0^+} \ x^n \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \ \frac{\frac{1}{x}}{-nx^{-n-1}} $$

$$ \lim_{x \to 0^+} \ x^n \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \ \frac{1}{-nx^{-n}} $$

$$ \lim_{x \to 0^+} \ x^n \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} \ - \frac{x^{n}}{n} = \ 0^+ $$
Exemple 4

$$ \lim_{x \to 0^+} \ \frac{\ln(1 + x)}{x} = \left[ \frac{0^+}{0^+} \right] $$

$$ \lim_{x \to 0^+} \ \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \ \frac{\frac{1}{1 + x}}{1} = 1 $$
Exemple 5

$$ \lim_{x \to 0^+} \ \frac{e^x - 1}{x} = \left[ \frac{0^+}{0^+} \right] $$

$$ \lim_{x \to 0^+} \ \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \ \frac{e^x}{1} = 1 $$

La règle de L'Hôpital : une méthode de levée d'indétermination

Conditions générales d'application

Démonstration

Forme indéterminée de type [zéro/zéro] \( : \left[ \frac{0}{0} \right] \)

Forme indéterminée de type [infini/infini] \( : \left[ \frac{\pm \infty}{\pm \infty} \right]\)

Forme indéterminée de type [zéro fois l'infini] \( : \bigl[ 0 \times \pm \infty \bigr]\)

Conclusion

Exemples