Index
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\( \alpha) \) Le discriminant est positif \(: \Delta > 0 \)
$$\forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{x_1, x_2 \bigr \} \Bigr],$$$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \ \ln \left| \frac{x-x_1}{x-x_2} \right|,\hspace{2em} $$$$ \text{avec } \left \{ \begin{gather*} x_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\ x_2 = \frac{- p+\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{gather*} \right \} \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q > 0 \bigr) $$
Dans le cas spécifique où \((p=0, \ q-1)\), on a en prime une définition explicite de la fonction \(\operatorname{Argtanh}\) :
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$$$\operatorname{Argtanh}(x) = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right|$$ -
\( \beta) \) Le discriminant est nul \(: \Delta = 0 \)
$$\forall x \in \hspace{0.04em} \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.04em} \backslash \hspace{0.2em} \Bigl \{ -\frac{p}{2} \Bigr \} \biggr],$$$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = - \frac{1}{ x + \frac{p}{2} } \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q = 0 \bigr) $$
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\( \gamma) \) Le discriminant est négatif \(: \Delta < 0 \)
$$\forall x \in \mathbb{R},$$$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \ \operatorname{Arctan} \left (\frac{x + \frac{p}{2}}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \right ) \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q < 0 \bigr) $$
Avec un numérateur du premier degré et un dénominateur du second degré \( : {\displaystyle \int^x} \frac{P_1(t)}{Q_2(t)} \ dt \)
Démonstrations
De manière générale, on va toujours chercher à se réduire à une fraction entière avec un reste, plutôt que de rester avec un numérateur de plus haut degré que le dénominateur.
Par exemple,
Après la division euclidienne de \((3x^2 + 2x + 1)\) par \((x+1)\) il reste :
Ce qui nous permet maintenant de facilement intégrer :
De même, lorsque l'on a polynôme de type \(ax^2 + bx + c\), on cherchera plutôt à obtenir la forme \(x^2 + px + q\), quitte à simplifier avant l'intégration avant de réhabiliter ce facteur par la suite.
Avec un dénominateur du second degré seul \( : {\displaystyle \int^x} \frac{1}{Q_2(t)} \ dt \)
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\( \alpha) \) Le discriminant est positif \(: \Delta > 0 \)
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q} \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q > 0 \bigr) $$Lors de la résolution d'équations du second degré , si \(\Delta > 0 \), alors on sait que les solutions sont :
$$ X_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$$$$ X_2 = \frac{- p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} $$Et le polynôme \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :
$$ P_2(X) = (X - X_1)(X - X_2) $$Soit dans notre cas,
$$ S_1(x) = \frac{1}{(x - x_1) (x - x_2) }$$$$ \text{avec } \left \{ \begin{gather*} x_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\ x_2 = \frac{- p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{gather*} \right \} $$$$ S_1(x) = \frac{1}{ (x - x_1) (x - x_2) }$$Nous allons maintenant chercher à décomposer \(S_1(x)\) en éléments simples .
C'est-à-dire chercher les réels \( A \) et \(B\) tels que :
$$S_1(x) = \frac{A}{(x - x_1)} + \frac{B}{(x - x_2) }$$En faisant \( (x= x_1)\), on détermine \( A \) :
$$ \underset{(x=x_1)}{S_1(x)}(x - x_1) = \frac{1}{(x - x_2)}= A\Longrightarrow \left(A = \frac{1}{x_1 - x_2}\right) $$Idem, \(\text{avec }( (x= x_1)\), on détermine \( B \) :
$$ \underset{(x=x_2)}{S_1(x)}(x - x_2) = \frac{1}{(x - x_2)}= A\Longrightarrow \left(A = \frac{1}{x_2 - x_1}\right) $$Alors, \(S_1(x)\) peut maintenant s'écrire sous la forme :
$$S_1(x) = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \frac{1}{(x - x_1)} + \frac{1}{(x_2 - x_1)} \frac{1}{(x - x_2) }$$Ce résultat est alors facilement intégrable :
$$ \int^x S_1(t) \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \int^x \frac{1}{(t - x_1)} \ dt + \frac{1}{(x_2 - x_1)} \int^x \frac{1}{(x - x_2) } \ dt$$$$ \int^x S_1(t) \ dt = \frac{\ln\left|x-x_1\right|}{(x_1 - x_2)} + \frac{ \ln \left|x-x_2\right|}{(x_2 - x_1)} $$Soit finalement,
$$\forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{x_1, x_2 \bigr \} \Bigr],$$$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{(x_1 - x_2)} \ \ln \left| \frac{x-x_1}{x-x_2} \right|,\hspace{2em} $$$$ \text{avec } \left \{ \begin{gather*} x_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\ x_2 = \frac{- p+\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{gather*} \right \} \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q > 0 \bigr) $$
Maintenant, si l'on étudie le cas spécifique où \((p = 0, \ q=-1)\), on a :
$$ \forall x \in \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.1em}\backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ 1, -1 \bigr \} \Bigr] , \ S_{1\alpha}(x) = \frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} $$Avec ce qui précède, on a le couple de solutions : \( (x_1 = 1, \ x_2 = -1)\) et,
$$ \int^x S_{1\alpha}(t) \ dt = \int^x \frac{1}{x^2 - 1} \ dt = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1} \right| $$De même,
$$ -\int^x \frac{1}{x^2 - 1} \ dt = -\frac{1}{2} \bigl( \ln(x-1) - \ln(x+1) \bigr) $$Et alors, en prenant l'opposé de cette intégrale :
$$ \int^x \frac{1}{1 - x^2} \ dt = \frac{1}{2} \bigl( \ln(x+1) - \ln(x-1) \bigr) $$$$ \forall x \in \hspace{0.04em} \Bigl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \bigl \{ -1, 1 \bigr \} \Bigr], \ \int^x \frac{1}{1 - x^2} \ dt = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right| \qquad(2) $$Or, on sait grâce aux dérivées des fonctions trigonométriques que :
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, \ \operatorname{Argtanh}(x)' = \frac{1}{1 - x^2}$$$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, \ \operatorname{Arctan}(x) + C = \int^x \frac{1}{1 - x^2} \ dt \qquad(3) $$Les expressions \((2)\) et \((3)\) ayant un terme en commun, elles sont toutes les deux égales à une constante près, respectivement dans l'intervalle en commun.
Soit,
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$$$ \operatorname{Argtanh}(x) + C_1 = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right| + C_2 $$Déterminons cette constante en prenant une valeur de \(x\), par exemple \(x = 0\).
$$ \operatorname{Argtanh}(0) = 0 $$$$\frac{1}{2} \ln \left|\frac{0+1}{0-1} \right| = \ln(1) - \ln(1) = 0 $$Alors, on trouve que :
$$ C_1 = C_2 \Longleftrightarrow C_1 - C_2 = 0 $$$$ \operatorname{Argtanh}(x) = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right| $$On obtient alors une définition explicite de la fonction \(\operatorname{Argtanh}\) :
$$ \forall x \in \hspace{0.04em} ]-1, \hspace{0.1em} 1[, $$$$\operatorname{Argtanh}(x) = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x+1}{x-1} \right|$$ -
\( \beta) \) Le discriminant est nul \(: \Delta = 0 \)
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q} \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q = 0 \bigr) $$Lors de la résolution d'équations du second degré , si \(\Delta = 0\), alors on sait que la solution et double est vaut :
$$ X_0 = - \frac{p}{2}$$Et le polynôme \( P_2(X) \) se factorise de la sorte :
$$ P_2(X) = (X - X_0)^2 $$Soit,
$$ S_1(x) = \frac{1}{ (x - x_0)^2}$$Alors, l'intégrale de cette fraction vaut directement :
$$ \int^x S_1(t) \ dt = \int^x \frac{1}{ (t - x_0)^2 } \ dt$$$$ \int^x S_1(t) \ dt = - \frac{1}{ (x - x_0) } $$Soit finalement,
$$\forall x \in \biggl[ \mathbb{R} \hspace{0.2em} \backslash \hspace{0.2em} \left \{ - \frac{p}{2} \right \} \biggr],$$$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = - \frac{1}{ x + \frac{p}{2} } \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q = 0 \bigr) $$ -
\( \gamma) \) Le discriminant est négatif \(: \Delta < 0 \)
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q} \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q < 0 \bigr) $$Alors, le polynôme n'admet pas de racine réelle.
Pour tout de même intégrer cette fraction, on va chercher à utiliser la forme canonique.
En effet, \((x^2 + px + q)\) vaut presque \(\left(x + \frac{p}{2}\right)^2\), à une constante près :
$$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 = x^2 + px + \frac{p^2}{4} $$On obtient le dénominateur de \(S_1(x)\) en ajoutant deux termes :
$$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 \textcolor{rgb(232 124 124)}{ \ + q - \frac{p^2}{4}} = x^2 + px \textcolor{rgb(232 124 124)}{ + q - \frac{p^2}{4}} + \frac{p^2}{4} $$$$ \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + q - \frac{p^2}{4} = x^2 + px + q $$On peut alors l'appliquer à notre polynôme :
$$ S_1(x) = \frac{1}{x^2 + px + q}$$$$ S_1(x) = \frac{1}{\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \frac{p^2}{4} + q} $$$$ S_1(x) = \frac{1}{\left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + \Bigl( q - \frac{p^2}{4} \Bigr) } $$On reconnaît la forme d'une intégrale usuelle :
$$\int^x \frac{u'(t)}{a^2 + u^2} \ dt = \frac{1}{a}\operatorname{Arctan} \left (\frac{u}{a} \right ) $$$$ \text{avec } \left \{ \begin{gather*} u(t) =\left(x + \frac{p}{2}\right) \\ u'(t) = 1 \\ a = \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } \end{gather*} \right \} $$Alors,
$$ \int^x S_1(t) \ dt = \int^x \frac{1}{\left(t + \frac{p}{2}\right)^2 + \Bigl( q - \frac{p^2}{4} \Bigr) } \ dt $$$$ \int^x S_1(t) \ dt = \frac{1}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \ \operatorname{Arctan} \left (\frac{x + \frac{p}{2}}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \right ) $$Soit finalement,
$$\forall x \in \mathbb{R},$$$$ \int^x \frac{1}{t^2 + pt + q} \ dt = \frac{1}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \ \operatorname{Arctan} \left (\frac{x + \frac{p}{2}}{ \sqrt{ q - \frac{p^2}{4} } } \right ) \qquad \bigl(\text{si }\Delta = p^2 - 4q < 0 \bigr) $$
Avec un numérateur du premier degré et un dénominateur du second degré \( : {\displaystyle \int^x} \frac{P_1(t)}{Q_2(t)} \ dt \)
Étant donné que le numérateur est presque la dérivée du numérateur, allons chercher à obtenir une forme de type :
Pour cela, nous allons ajouter un terme puis le retrancher immédiatement :
Par suite, on peut factoriser par \(\frac{A}{2}\) :
La première intégrale est alors celle de la forme recherchée, et la seconde doit s'intégrer selon le résultat du discriminant \(\Delta\), comme vu précédemment.
Soit finalement,
Récapitulatif des méthodes d'intégration et primitives
Exemples
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Exemples d'intégration d'une fraction rationnelle avec dénominateur du second degré seul \( : {\displaystyle \int^x} \frac{1}{Q_2(t)} \ dt \)
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Exemple 1 : avec un discriminant positif \((\Delta > 0)\)
$$ D = \int^x \frac{dt}{2t^2 -4t + 1} $$On essaie de se ramener à une forme de type \(\frac{1}{x^2 + px + q}\).
$$ D = \frac{1}{2} \int^x \frac{dt}{t^2 -2t + \frac{1}{2}} $$Calculons le discriminant \(\Delta\).
$$ \Delta = p^2 - 4q $$$$ \Delta = (-2)^2 - 4 \times \frac{1}{2} $$$$ \Delta = 4 - 2 = 2 $$On a alors deux solutions \((t_1, t_2)\).
$$ \left \{ \begin{gather*} t_1 = \frac{- p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2}\\ t_2 = \frac{- p +\sqrt{p^2 - 4q}}{2} \end{gather*} \right \} \Longleftrightarrow \left \{ t_1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ t_2 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right \}$$Alors, notre intégrale peut s'écrire sous forme factorisée :
$$ D = \frac{1}{2} \int^x \frac{dt}{\left(t - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left(t - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) } $$Effectuons une décomposition en éléments simples :
Posons la fonction \(F(X) \) :
$$F(X) = \frac{1}{\left(X - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \left(X - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) } \qquad (F(X))$$Nous allons chercher les réels \( a \) et \(b\) tels que :
$$F(X) = \frac{a}{\left(X - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \frac{b}{\left(X - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$En faisant \( \left(X = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), on détermine \( a \) :
$$ \underset{\left(X = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{F(X)} \times \left(X - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\left(X - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}= a \Longrightarrow \left(a = -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) $$En faisant maintenant \( \left(X = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\), on détermine \( b \) :
$$ \underset{\left(X = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{F(X)} \times \left(X - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{\left(X - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}= b \Longrightarrow \left(b = \frac{1}{\sqrt{2}} \right) $$Enfin, cette intégrale peut s'écrire sous forme décomposée :
$$ D = \int^x -\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\left(t - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right) } \ dt + \frac{1}{2} \int^x \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\left(t - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) } \ dt $$On peut à présent intégrer :
$$ D = -\frac{1}{2\sqrt{2}} \Biggl[ \ln \left| t - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right| \Biggr]^x + \frac{1}{2\sqrt{2}} \Biggl[ \ln\left| t - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right| \Biggr]^x$$$$ D = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \left( \ln\left| x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right| - \ln\left| x - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \right| \right) $$$$ D = \frac{1}{2\sqrt{2}} \times \ln\left| \frac{x - 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{x - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} \right| $$ -
Exemple 2 : avec un discriminant nul \((\Delta = 0)\)
$$ E = \int^x \frac{dt}{t^2 + 2t + 1} $$Calculons le discriminant \(\Delta\).
$$ \Delta = p^2 - 4q $$$$ \Delta = 2^2 - 4 \times 1 $$$$ \Delta = 4 - 4 = 0 $$On a alors une solution double \( t_0 \).
$$t_0 = \frac{- 2}{2} = -1 $$Alors, notre intégrale peut s'écrire sous forme factorisée :
$$ E = \int^x \frac{dt}{(t+1)^2} $$À partir d'ici, on intègre facilement et :
$$ E = \Bigg[ -\frac{1}{t+1} \Biggr]^x $$$$ E = -\frac{1}{x+1} $$ -
Exemple 3 : avec un discriminant négatif \((\Delta < 0)\)
$$ F = \int^x \frac{dt}{t^2 + t + 3} $$Calculons le discriminant \(\Delta\).
$$ \Delta = p^2 - 4q $$$$ \Delta = 1^2 - 4 \times 3 $$$$ \Delta = 1 - 12 = -11 $$Dans ce cas, on va utiliser la forme canonique du polynôme :
$$ F = \int^x \frac{dt}{\left(t + \frac{1}{2} \right)^2 + \left(3 - \frac{1}{4} \right)} $$$$ F = \int^x \frac{dt}{\left(t + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{11}{4} } $$$$ F = \int^x \frac{dt}{\left(t + \frac{1}{2} \right)^2 + \sqrt{\frac{11}{4}}^2 } $$Alors, l'intégrale est maintenant une primitive usuelle :
$$ F = \frac{1}{\sqrt{\frac{11}{4}}} \times \operatorname{Arctan}\left( \frac{t + \frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{11}{4}}} \right) $$$$ F = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{11}} \times \operatorname{Arctan}\left( \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{11}} \left(t + \frac{1}{2} \right) \right) $$
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Exemple d'intégration d'une fraction rationnelle avec numérateur du premier degré et dénominateur du second degré \(: {\displaystyle \int^x} \frac{P_1(t)}{Q_2(t)} \ dt \)
$$ G = \int^x \frac{3t-5}{-2t^2 + 5t + 6} \ dt $$Comme précédemment, on se ramène à une forme de type \((x^2 + px + q)\) au dénominateur.
$$ G = -\frac{1}{2} \int^x \frac{3t-5}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt $$On utilise la méthode vue plus haut dans la démonstration .
$$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{\frac{A}{2} (2x) + \frac{Ap}{2} - \frac{Ap}{2} + B}{x^2 + px + q} $$$$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{\frac{A}{2} \left(2x + \frac{Ap}{2} \right) - \frac{Ap}{2} + B}{x^2 + px + q} $$C'est-à-dire obtenir une séparation en deux quotients distincts :
$$ \frac{Ax + B}{x^2 + px + q} = \frac{A}{2}\frac{2x + p}{x^2 + px + q} + \frac{B - \frac{Ap}{2}}{x^2 + px + q} $$Et pouvoir utiliser la primitive usuelle :
$$ \int^x \frac{u'}{u} \ du = \ln |u|$$$$ G = -\frac{1}{2} \int^x \frac{\frac{3}{2} \times (2x) + \frac{3 \times \left(-\frac{5}{2}\right)}{2} - \frac{3 \times \left(-\frac{5}{2}\right)}{2} -5}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt $$$$ G = -\frac{1}{2} \left( \int^x \frac{ \frac{3}{2} \left(2x -\frac{5}{2}\right) + \frac{15}{4} -5 }{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt \right) $$On peut maintenant séparer le grand quotient en deux quotients distincts.
$$ G = -\frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \int^x \frac{ \left(2x -\frac{5}{2}\right)}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt + \int^x \frac{ \frac{15}{4} -5 }{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt \right) $$$$ G = -\frac{3}{4} \int^x \frac{ 2x -\frac{5}{2} }{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt \ - \ \frac{1}{2} \int^x \frac{\frac{15}{4} - 5}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt $$$$ G = -\frac{3}{4} \Biggl[ \ln \left| t^2 -\frac{5}{2}t -3 \right| \Biggr]^x \ + \ \frac{5}{8} \int^x \frac{1}{t^2 -\frac{5}{2}t -3} \ dt $$$$ G = -\frac{3}{4} \ln \left| x^2 -\frac{5}{2}x -3 \right| \ + \ \frac{5}{8} G_2 $$On doit intégrer la seconde intégrale \(G_2\) en utilisant les méthodes précédentes. On calcule le discriminant \(\Delta\).
$$\Delta = p^2 - 4q$$$$\Delta = \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \times (-3)$$$$\Delta = \frac{25}{4} + 12$$$$\Delta = \frac{25}{4} + \frac{48}{4}$$$$\Delta = \frac{73}{4} $$On a alors deux solutions \((t_1, t_2)\).
$$ \left \{ \begin{gather*} t_1 = \frac{\frac{5}{2} - \sqrt{\frac{73}{4}}}{2}\\ t_2 = \frac{\frac{5}{2} + \sqrt{\frac{73}{4}}}{2}\end{gather*} \right \} \Longleftrightarrow \left \{ t_1 = \frac{5 - \sqrt{73}}{4}, \ t_2 = \frac{5 +\sqrt{73}}{4} \right \}$$Alors, notre intégrale \(G_2\) peut s'écrire sous forme factorisée :
$$ G_2 = \frac{1}{2} \int^x \frac{dt}{\left(t - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right) \left(t - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right) } $$Effectuons une décomposition en éléments simples :
Posons la fonction \(F(X) \) :
$$F(X) = \frac{1}{\left(X - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right) \left(X - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right) } \qquad (F(X))$$Nous allons chercher les réels \( \alpha \) et \(\beta\) tels que :
$$F(X) = \frac{\alpha}{\left(X - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right)} + \frac{\beta}{ \left(X - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right)}$$En faisant \( \left(X = \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \), on détermine \( \alpha \) :
$$ \underset{\left(X = \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right)}{F(X)} \times \left(X - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right) = \frac{1}{\left(X - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right)}= \alpha \Longrightarrow \left(\alpha = -\frac{2}{\sqrt{73}} \right) $$En faisant maintenant \( \left(X = \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \), on détermine \( \beta \) :
$$ \underset{\left(X = \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right)}{F(X)} \times \left(X - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right) = \frac{1}{\left(X - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right)}= \beta \Longrightarrow \left(\beta = \frac{2}{\sqrt{73}} \right) $$Enfin, cette intégrale peut s'écrire sous forme décomposée :
$$ G_2 = -\frac{2}{\sqrt{73}} \int^x \frac{dt}{\left(t - \left( \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right) \right)} + \frac{2}{\sqrt{73}}\int^x \frac{dt}{ \left(t - \left( \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right) \right)} $$$$ G_2 = \frac{2}{\sqrt{73}} \left( \Biggl[ \ln\left| t - \frac{5 + \sqrt{73}}{4} \right| - \ln\left| t - \frac{5 - \sqrt{73}}{4} \right| \Biggr]^x \right) $$$$ G_2 = \frac{2}{\sqrt{73}} \ \ln\left| \frac{x - \frac{5 + \sqrt{73}}{4}}{x - \frac{5 - \sqrt{73}}{4}} \right| $$$$ G_2 = \frac{2}{\sqrt{73}} \ \ln\left| \frac{4x - (5 + \sqrt{73})}{4x - ( 5 - \sqrt{73})} \right| $$Soit en injectant le résultat précédent, on obtient l' intégrale finale :
$$ G = -\frac{3}{4} \ln \left| x^2 -\frac{5}{2}x -3 \right| \ + \ \frac{5}{8} G_2 $$$$ G = -\frac{3}{4} \ln \left| x^2 -\frac{5}{2}x -3 \right| \ + \ \frac{5}{8} \times \frac{2}{\sqrt{73}} \ \ln\left| \frac{4x - (5 + \sqrt{73})}{4x - ( 5 - \sqrt{73})} \right| $$$$ G = -\frac{3}{4} \ \ln \left| x^2 -\frac{5}{2}x -3 \right| \ + \ \frac{5}{4\sqrt{73}} \ \ln\left| \frac{4x - (5 + \sqrt{73})}{4x - ( 5 - \sqrt{73})} \right| $$
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