Le principe de superposition

Soient $ (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 $ deux entiers naturels et :

une série de fonctions continues $ a_1(x), a_2(x), \ ... \, a_n(x) $
une série de fonctions $ f_1(x), f_2(x), \ ... \, f_m(x) $

Soit $ y(x) $ une fonction de classe $ \mathbb{C}^{n}$ sur un intervalle $I$. On note $y^{(n)}$ sa dérivée $n$-ième.

Dans le cadre de la résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $n$ où le second membre est une combinaison linéaire de fonctions telle que $ (E)$ :

$$ a_n(x) y^{(n)}(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} \lambda_m f_m(x) \qquad (E) $$

avec pour tout $ k \in [\![ 1, m ]\!] $, la fonction $ (y_k) $ comme solution particulière de l'équation $ (E_k) $ :

$$ a_n(x) y^{(n)}(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_k(x) \qquad (\tilde E_k) \\ $$

Le principe de superposition nous dit que :

$$ \forall k \in [\![ 1, m ]\!], $$

$$ y_k \ \underline{\text{ solution particulière de }} (\tilde E_k) \Longleftrightarrow (\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \lambda_m y_m) \underline{\text{ solution particulière totale de }} (E) $$

Démonstrations

Soient $ (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 $ deux entiers naturels et :

une série de fonctions continues $ a_1(x), a_2(x), \ ... \, a_n(x) $
une série de fonctions $ f_1(x), f_2(x), \ ... \, f_m(x) $

Soit $ y(x) $ une fonction de classe $ \mathbb{C}^{n}$ sur un intervalle $I$. On note $y^{(n)}$ sa dérivée $n$-ième.

Nous disposons de l'équation $ (E) $, différentielle linéaire d'ordre $ n$ où le second membre est une combinaison linéaire de fonctions.

$$ a_n(x) y^{(n)}(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} \lambda_m f_m(x) \qquad (E) $$

Solution particulière de chaque fonction $ f_k(x)$

Pour tout $ k \in [\![ 1, m ]\!] $, nous disposons alors d'une série d'équations $ (\tilde E_k) $ à résoudre :

$$ \left \{ \begin{gather*} a_n(x) y^{(n)}(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_1(x) \qquad (\tilde E_1) \\ a_n(x) y^{(n)}(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_2(x) \qquad (\tilde E_2) \\ ........................ \\ a_n(x) y^{(n)}(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_k(x) \qquad (\tilde E_k) \\ ........................ \\ a_n(x) y^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) y'(x) + a_0(x) y(x) = f_m(x) \qquad (\tilde E_m) \\ \end{gather*} \right \}$$

Dans cette série d'équations, on remarque alors que :

$$ \forall k \in [\![ 1, m ]\!], \enspace y_k \enspace solution \enspace de \enspace (\tilde E_k) $$

Si chaque $ y_k $ est solution de $ (\tilde E_k) $, alors chaque $ y_k $ vérifie :

$$ a_n(x) y_k^{(n)}(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1(x) y_k'(x) + a_0(x) y_k(x) = f_k(x) \qquad (\tilde E_k)$$

Ainsi, en multipliant $ (\tilde E_k) $ par $ \lambda_k $ :

$$ a_n(x) \lambda_k y_k^{(n)}(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} a_1(x) \lambda_k y_k'(x) + a_0(x) \lambda_k y_k(x) = \lambda_k f_k(x) \qquad ( \lambda_k \tilde E_k)$$

Or, grâce à la linéarité de la dérivée , on sait que :

$$ \bigl( \lambda f \bigr)' = \lambda f' $$

Soit dans notre cas,

$$ \forall k \in [\![ 1, m]\!], \enspace \bigl( \lambda_k y_k \bigr)' = \lambda_k y'_k \qquad (1) $$

Grâce à $ (1) $, on peut arranger voir que :

$$ a_n(x) (\lambda_k y_k)^{(n)}(x) + \ ... \ + a_1(x) \bigl(\lambda_k y_k \bigr)'(x) + a_0(x) \bigl(\lambda_k y_k\bigr)(x) = \lambda_k f_k(x) \qquad ( \lambda_k \tilde E_k)$$

Cette équation permet de montrer que :

$$ \forall k \in [\![ 1, m]\!], \enspace \lambda_k y_k \enspace solution \enspace de \enspace (\lambda_k \tilde E_k) $$
Solution particulière totale issue de l'aggrégation des fonctions $ \lambda_k f_k $

Précédemment, nous avons pu voir que chaque $ \lambda_k y_k $ est solution de $ (\lambda_k \tilde E_k) $ :

$$ \left \{ \begin{gather*} a_n(x) (\lambda_1 y_1)^{(n)}(x) + \ ... \ + a_1(x) \bigl(\lambda_1 y_1 \bigr)(x)' + a_0(x) \bigl(\lambda_1 y_1\bigr)(x) = \lambda_1 f_1(x) \qquad (\lambda_1 \tilde E_1) \\ a_n(x) (\lambda_2 y_2)^{(n)}(x) + \ ... \ + a_1(x) \bigl(\lambda_2 y_2\bigr)(x) ' + a_0(x) \bigl(\lambda_2 y_2\bigr)(x) = \lambda_2 f_2(x) \qquad (\lambda_2 \tilde E_2) \\ ........................ \\ a_n(x) (\lambda_k y_k)^{(n)}(x) \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + a_1(x) \bigl(\lambda_k y_k \bigr)(x)' + a_0(x) \bigl(\lambda_k y_k \bigr)(x) = \lambda_k f_k(x) \qquad (\lambda_k \tilde E_k) \\ ........................ \\ a_n(x) (\lambda_m y_m)^{(n)}(x) + \ ... \ + a_1(x) \bigl(\lambda_m y_m\bigr)(x) ' + a_0(x) \bigl(\lambda_m y_m \bigr)(x) = \lambda_m f_m(x) \qquad (\lambda_m \tilde E_m) \\ \end{gather*} \right \} $$

En faisant la somme des $ (\lambda_k \tilde E_k) $ de $1 $ à $m $ :

$$ a_n(x) \underbrace{\Biggl[ \sum_{k=1}^m \lambda_k y_k^{(n)} \Biggr]} _{ y_p^{(n)} } \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1(x) \underbrace{\Biggl[ \sum_{k=1}^m \lambda_k y_k' \Biggr]} _{ y_p' } \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_0(x) \underbrace{\Biggl[ \sum_{k=1}^m \lambda_k y_k \Biggr]} _{ y_p } \hspace{0.2em} = \hspace{0.2em} \sum_{k=1}^m \lambda_k f_k \qquad (E^*) $$

Soit une solution particulière totale $ y_p $ qui sera l'addition de toutes les solutions particulières $ \lambda_k y_k $ :

$$ y_p(x) = \lambda_1 y_1(x) + \lambda_2 y_2(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} \lambda_m y_m(x) $$

Enfin, grâce à $ (E^*) $, on voit que cette fonction est bien solution de $ ( E) $ :

$$ a_n(x) y_p^{(n)}(x) + \ ... \ + a_1(x) y_p'(x) + a_0(x) y_p(x) = \lambda_1 f_1(x) + \lambda_2 f_2(x) + \ ... \ + \hspace{0.2em} \lambda_m f_m(x) \qquad (E) $$

Soit finalement,

$$ \forall k \in [\![ 1, m ]\!], $$

$$ y_k \ \underline{\text{ solution particulière de }} (\tilde E_k) \Longleftrightarrow (\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 \hspace{0.2em} + \ ... \ + \hspace{0.2em} \lambda_m y_m) \underline{\text{ solution particulière totale de }} (E) $$

Exemples

Soit $ (E) $ une équation différentielle linéaire du premier ordre $ EDL_1 $ à coefficient constant et $ (H) $ son équation homogène associée :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} y'(x) + 2 y(x) = 2x^2 + 3\cos(x) + 1 \qquad (E) \\ y'(x) + 2y(x) = 0 \qquad (H) \end{gather*} $$

Nous disposons alors d'une série d'équations $ (\tilde E_1), (\tilde E_2), (\tilde E_3) $ à résoudre :

$$ \left \{ \begin{gather*} y'(x) + 2 y(x) = x^2 \qquad \qquad (\tilde E_1) \\ y'(x) + 2 y(x) = \cos(x) \qquad (\tilde E_2) \\ y'(x) + 2 y(x) = 1 \qquad \qquad (\tilde E_3) \\ \end{gather*} \right \} $$

Résolution de la première équation $ (\tilde E_1)$

Cette équation a été résolue dans l'exemple de résolution d'une $ EDL_1 $ à coefficient constant .

La solution particulière $ y_1 $ de $ (\tilde E_1) $ est :

$$ y_1(x)= \frac{x^2 }{2}-\frac{x}{2} + \frac{1}{4} $$
Résolution de la seconde équation $ (\tilde E_2)$

Nous disposons d'une solution à l'équation homogène $ (H) $ (voir l'exemple de résolution d'une $ EDL_1 $ à coefficient constant ):

$$ y_h(x) = Ke^{-2x} $$

On cherche alors une solution particulière $ y_p $ de la forme :

$$ y_2(x) = K(x) e^{-2x} \qquad (y_2) $$

Après variation de la constante , on cherche à déterminer la fonction $ K(x) $ tel que :

$$ K'(x) = \cos(x)e^{2x} $$

En prenant maintenant sa primitive , on a :

$$ K(x) = \int^x \cos(t)e^{2t} \hspace{0.2em} dt$$

On fait une intégration par parties avec pour choix de $ u $ et $ v' $ :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} u(t) = \cos(t) \\ v'(t) = e^{2t } \end{gather*} $$

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} u'(t) = -\sin(t)\\ v(t) = \frac{1}{2} e^{2t } \end{gather*} $$

$$K(x) = \frac{1}{2} \Biggl[\cos(t) e^{2t }\Biggr]^x - \int^x \frac{1}{2} (-\sin(t)) \hspace{0.2em} e^{2t } \hspace{0.2em} dt $$

$$K(x) = \frac{1}{2} \Biggl[\cos(t)e^{2t }\Biggr]^x + \int^x \frac{1}{2} \sin(t) \hspace{0.2em} e^{2t } \hspace{0.2em} dt $$

$$K(x) = \frac{1}{2} \Biggl[\cos(t) e^{2t }\Biggr]^x + \frac{1}{2} \Biggl( \frac{1}{2} \Biggl[\sin(t) e^{2t }\Biggr]^x - \frac{1}{2}\int^x \cos(t) e^{2t} \hspace{0.2em} dt \Biggr) $$

On remarque que $ K(x) $ réapparaît, donc on le remplace :

$$K(x) = \frac{1}{2} \Biggl[\cos(t) e^{2t }\Biggr]^x + \frac{1}{4} \Biggl[\sin(t) e^{2t }\Biggr]^x - \frac{1}{4} K(x) $$

$$ \frac{5}{4} K(x) = \frac{1}{2} \cos(x)e^{2x } + \frac{1}{4} \sin(x) e^{2x } $$

$$ K(x) =\frac{8}{20} \cos(x) e^{2x } + \frac{4}{20} \sin(x) e^{2x } $$

$$ K(x) = e^{2x } \biggl( \frac{2}{5}\cos(x) + \frac{1}{5} \sin(x) \biggr) \qquad (K) $$

On injecte $ K $ dans $ y_p $ et les exponentielles s'annihilent :

$$ y_2(x) = e^{2x } \biggl( \frac{2}{5} \cos(x) + \frac{1}{5} \sin(x) \biggr) e^{-2x} $$

La solution particulière $ y_2 $ de $ (\tilde E_2) $ est :

$$ y_2(x)= \frac{2 }{5}\cos(x) +\frac{1}{5}\sin(x) $$
Résolution de la troisième équation $ (\tilde E_3)$

$$ y'(x) + 2 y(x) = 1 \qquad \qquad (\tilde E_3) $$

Ici, $\frac{1 }{2} $ est solution évidente.

La solution particulière $ y_3 $ de $ (\tilde E_3) $ est :

$$ y_3(x)= \frac{1 }{2} $$
Superposition des solutions $ : \sum \lambda_k y_k $

On a vu dans la démonstration plus haut que :

$$ \forall k \in [\![ 1, m ]\!], $$

$$ y_k \ \underline{\text{ solution particulière de }} (\tilde E_k) \Longleftrightarrow (\lambda_1 y_1 + \lambda_2 y_2 \hspace{0.2em} + \ ... \ + \hspace{0.2em} \lambda_m y_m) \underline{\text{ solution particulière totale de }} (E) $$

Soit dans notre cas :

$$ 2 y_1(x) + 3 y_2(x) + y_3(x) \underline{\text{ solution particulière totale de }} ( E) $$

Calculons alors cette solution particulière totale $y_p$ :

$$ y_p(x) = 2 y_1(x) + 3 y_2(x) + y_3(x) $$

$$ y_p(x) = 2 \Biggl( \frac{x^2 }{2}-\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \Biggr) + 3 \Biggl(\frac{2 }{5}\cos(x) +\frac{1}{5}\sin(x) \Biggr) + \frac{1}{2} $$

$$ y_p(x) = x^2 - x + \frac{1}{2} + \frac{6 }{5}\cos(x) +\frac{3}{5}\sin(x) + \frac{1}{2} $$

$$ y_p(x) = x^2 - x + 1 + \frac{6 }{5}\cos(x) +\frac{3}{5}\sin(x) $$
Vérification de la solution particulière totale $ y_p$

Si $ y_p $ est solution de $ (E) $, alors :

$$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x^2 + 3\cos(x) + 1 $$

Vérifions le.

$$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = \Biggl( 2x -1 -\frac{6 }{5} \sin(x) +\frac{3}{5} \cos(x)\Biggr) + 2\Biggl( x^2 - x + 1 + \frac{6 }{5}\cos(x) +\frac{3}{5}\sin(x) \Biggr) $$

$$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x -1 -\frac{6 }{5} \sin(x) +\frac{3}{5} \cos(x) + 2x^2 - 2x +2 + \frac{12 }{5}\cos(x) + \frac{6}{5}\sin(x)$$

En remettant un peu d'ordre :

$$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x^2 + \hspace{0.2em} \underbrace{ 2x - 2x} _{ =0 } \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} 2 -1 + \hspace{0.2em} \underbrace{\frac{6}{5}\sin(x) -\frac{6 }{5} \sin(x)} _{ =0 } \hspace{0.2em} + \frac{12 }{5}\cos(x) +\frac{3}{5} \cos(x) $$

$$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x^2 +1 + \frac{15}{5}\cos(x) $$

$$ y_p'(x) + 2 y_p(x) = 2x^2 + 3\cos(x) +1 $$

On a vérifié que $ y_p $ était bien solution de $ (E) $.

Le principe de superposition

Solution particulière de chaque fonction \( f_k(x)\)

Solution particulière totale issue de l'aggrégation des fonctions \( \lambda_k f_k \)

Exemples

Résolution de la première équation \( (\tilde E_1)\)

Résolution de la seconde équation \( (\tilde E_2)\)

Résolution de la troisième équation \( (\tilde E_3)\)

Superposition des solutions \( : \sum \lambda_k y_k \)

Vérification de la solution particulière totale \( y_p\)