Les lois géométriques du triangle

Loi des sinus

Pour le démontrer, projectons une hauteur \( h_c \) sur la longueur \( c \), et telle que la figure suivante :

Immédiatement, il vient les relations suivantes :

En divisant l'égalité \( (1) \) par \( a \), on a :

De la même manière, on divise \( (2) \) par \( b \) :

On voit que les membres de droite de \( (3) \) et \( (4) \) sont équivalents, il s'en suit que :

En reproduisant cette opération sur les deux autres longueurs du triangle, on aura deux nouvelles équations :

Les égalités \( (5), (6), (7) \) ayant un membre commun deux-à-deux, elles sont toutes les trois égales.

Et finalement,

Théorème d'Al-Kashi

Dans les démonstrations qui suivent, nous allons démontrer le théorème uniquement sur le premier des trois côtés du triangle. Après cela, les deux autres démonstrations sont triviales.

1. Avec le théorème de Pythagore

   1. Cas d'un triangle aigu

      Pour le démontrer, nous avons projeté sur \( c \) la hauteur \( h_c \) pour obtenir la figure suivante :

      

      Dans le petit triangle \(\{a, h_c, m\}\), le théorème de Pythagore nous donne :

      $$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$
      $$ a^2 = (c-n)^2 + h_c^2 $$
      $$ a^2 = c^2 - 2cn + n^2 + h_c^2 \qquad (1) $$

      Or, dans l'autre petit triangle \(\{b, h_c, n\}\),

      $$ n^2 + h_c^2 = b^2 \qquad (2) $$

      Et aussi,

      $$ \cos(\alpha) = \frac{n}{b} \Longleftrightarrow n = b.\cos(\alpha) \qquad (3) $$

      En injectant \((2)\) et \((3)\) dans \((1)\), on a :

      $$ a^2 = c^2 - 2cb.\cos(\alpha) + b^2 $$

      Soit finalement,

      $$\forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^3, \enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$
      $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi) $$

   2. Cas d'un triangle obtus

      

      De la même manière, dans le petit triangle \(\{a, h_c, m\}\), le théorème de Pythagore nous donne :

      $$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$
      $$ a^2 = (n-b)^2 + h_c^2 $$
      $$ a^2 = n^2 - 2nb + b^2 + h_c^2 \qquad (4) $$

      Or, dans le grand triangle \(\{h_c, n, c\}\),

      $$ h_c^2 + n^2 = c^2 \qquad (5) $$

      Et aussi,

      $$ \cos(\alpha) = \frac{n}{c} \Longleftrightarrow n = c.\cos(\alpha) \qquad (6) $$

      En injectant \((5)\) et \((6)\) dans \((4)\), on a :

      $$\forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^3, \enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$
      $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi) $$

2. Par le produit scalaire

   Si l'on considère les longueurs \(a, b, c\) comme trois vecteurs, et telle que la figure suivante :

   

   Alors, on a par la relation de Chasles :

   $$ \vec{a} = \vec{b} - \vec{c} \qquad (7) $$
   

   Grâce à la propriété de carré scalaire , on sait que :

   $$ \forall \vec{u},$$

   $$ \vec{u}\cdot\vec{u} = {|| \vec{u} ||}^2$$

   Alors, on a :

   $$ \vec{a}\cdot\vec{a} = {|| \vec{a} ||}^2$$

   En injectant la proposition \((7)\), on obtient alors :

   $$ (\vec{b} - \vec{c})^2 = {|| \vec{a} ||}^2$$

   De même, avec les identités remarquables du produit scalaire , on a la propriété suivante :

   $$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

   $$ (\vec{u} - \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 - 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$

   Soit dans notre cas de figure,

   $$ {|| \vec{b} ||}^2 - 2 \vec{b}\cdot\vec{c} + {|| \vec{c} ||}^2 = {|| \vec{a} ||}^2$$
   $$ b^2 - 2 bc \ \cos(\vec{b}, \vec{c}) + c^2 = a^2 $$

   Et finalement,

   $$\forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^3, \enspace \forall \alpha \in \mathbb{R}, $$
   $$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi) $$

3. Conclusion

   Nous avons démontré la première formule du théorème :

   $$ a^2 = b^2 + c^2 -2bc \cdot \cos(\alpha) \qquad (Al-Kashi)$$

   On retrouve alors les deux autres relations en répétant cette démonstration sur les deux longueurs restantes.

   $$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) \qquad (Al-Kashi^*) $$
   $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma) \qquad (Al-Kashi^{**}) $$

Formule de l'aire

Pour le démontrer, projectons une hauteur \( h_c \) sur la longueur \( c \), et telle que la figure suivante :

Immédiatement, il vient les relations suivantes :

Par suite, il vient que :

Maintenant, en injectant les valeurs de \(h_c\) provenant de \((1')\) et \((2')\) dans celle de \((\mathcal{A})\), on a la double égalité :

Enfin, en projetant une des deux autres hauteurs, on retrouve la troisième égalité, et finalement :

Formule de Héron

Pour démontrer cette formule, on projette comme précédemment la hauteur \( h_c \) sur la longueur \( c \) :

Grâce au théorème d'Al-Kashi , on a la relation suivante :

Et par suite,

En injectant maintenant l'expression \((3)\) dans l'expression \((4)\), on a :

On s'arrange pour retrouver les deux premières identités remarquables :

Et on factorise maintenant à l'aide de la troisième identité remarquable :

On retire les parenthèses :

Alors, en injectant l'expression \((5)\) dans l'expression \((6)\), on a :

En remettant les éléments en ordre, on a :

À ce stade, introduisons le périmétre \(P\) du triangle, alors l'expression devient :

Puis celle de demi-périmètre \(p\) :

On factorise toutes les expressions entre parenthèses par \(2\) :

Soit finalement,

Pour tout triplet de longueurs \((a, b, c)\) d'un triangle :