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Les propriétés du produit scalaire

Soient \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\) deux vecteurs.

On note \(||\vec{u}|| \) et \(||\vec{v}|| \) les normes respectives des vecteurs \( \vec{u}\) et \( \vec{v}\), et \( (\vec{u} , \vec{v})\) l'angle formé par les deux vecteurs.

On appelle le produit scalaire \( \vec{u}\cdot\vec{v} \), le nombre réel résultant de :

$$ \vec{u}\cdot\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) $$

C'est la norme du projeté orthogonal du vecteur \( \vec{u}\) sur le vecteur \( \vec{v}\), multiplié par la norme du vecteur \( \vec{v}\).

Projeté orthogonal du vecteur u sur le vecteur v
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$
$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v}\cdot \vec{u} $$
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$
$$ \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ orthogonaux } \Longleftrightarrow \vec{u}\cdot \vec{v} = 0 $$
$$ \forall \vec{u},$$
$$ \vec{u}\cdot\vec{u} = {|| \vec{u} ||}^2 $$
$$ \forall \left [\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} , \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} \right], $$
$$ \vec{u}\cdot \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$
$$ \forall \lambda \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$
$$ (\lambda\vec{u})\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot(\lambda\vec{v}) = \lambda (\vec{u}\cdot\vec{v}) $$

Par ailleurs, en effectuant le produit scalaire \( (\lambda\vec{u})\cdot(\mu\vec{v})\), on obtient :

$$ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$
$$ (\lambda\vec{u})\cdot(\mu\vec{v}) = \lambda \mu (\vec{u}\cdot\vec{v}) $$
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$
$$ \vec{u}\cdot( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} $$

Et aussi la distributivité à gauche :

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$
$$ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $$

On a les mêmes formules que les identités remarquables .

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$
$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 + 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$
$$ (\vec{u} - \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 - 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$
$$ {|| \vec{u} ||}^2 - {|| \vec{v} ||}^2= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) $$
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$
$$ \vec{u}\cdot\vec{v} =\frac{1}{2} \left( {|| \vec{u} + \vec{v} ||}^2 - {|| \vec{u} ||}^2 - {|| \vec{v} ||}^2 \right ) $$
$$ \vec{u}\cdot\vec{v} =\frac{1}{2} \left( {|| \vec{u} ||}^2 + {|| \vec{v} ||}^2 - {|| \vec{u} \cdot \vec{v} ||}^2 \right ) $$
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

La projection vectorielle de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) vaut :

$$ \overrightarrow{proj}_{\mathcal{(\vec{u})}} \hspace{0.1em} \bigl(\vec{v}\bigr) = \frac{(\vec{u}\cdot\vec{v})}{||\vec{u}||^2}. \vec{u} $$
Projection d'un vecteur sur un autre vecteur

Démonstrations

Commutativité

Soient \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) deux vecteurs.

Pour les deux produits scalaires \( \vec{u}\cdot\vec{v} \) et \( \vec{v}\cdot\vec{u} \), on a :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \\ \vec{v} \cdot \vec{u} = ||\vec{v}|| \times ||\vec{u}|| \times \cos(\vec{v}, \vec{u}) \end{gather*} $$

Si on appelle \(\alpha \) = \( (\vec{u}, \vec{v}) \), l'angle entre \( \vec{u} \) et \(\vec{v} \), alors :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \cos(\alpha ) = \cos(\vec{u}, \vec{v}) \\ \cos( - \alpha ) = \cos(\vec{v}, \vec{u}) \end{gather*} $$

Or, la fonction cosinus est paire et : \( \forall \alpha \in \mathbb{R}, \ \cos(\alpha ) = \cos(-\alpha ) \).

Alors on en déduit que : \( \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \cos(\vec{v}, \vec{u}) \).

Soit finalement,

$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$
$$ \vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u} $$

Vecteurs orthogonaux

Soient \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) deux vecteurs différents du vecteur nul.

  1. Implication de gauche à droite

    Partons de l'hypothèse que \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sont orthogonaux.

    Alors, par la définition du produit scalaire,

    $$ \vec{u}\cdot\vec{v} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{v}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) $$

    Mais si \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sont orthogonaux, alors \(\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \).

    Alors leur produit scalaire sera nul, et :

    $$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$
    $$ \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ orthogonaux } \Longrightarrow \vec{u}\cdot \vec{v} = 0 $$

  2. Réciproque

    Réciproquement, étant donné que par hypothèse nos deux vecteurs \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sont différents du vecteur nul, alors :

    $$ \vec{u}\cdot \vec{v} = 0 \Longrightarrow \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 $$

    Et,

    $$ \forall k \in \mathbb{N}, \ \cos(\vec{u}, \vec{v}) = 0 \Longrightarrow \Biggl\{ (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{k\pi}{2} \Biggr \} $$

    Alors, les deux vecteurs \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sont orthogonaux.

    $$\vec{u}\cdot \vec{v} = 0 \Longrightarrow \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ orthogonaux } $$

  3. Conclusion

    $$ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \neq \vec{0},$$
    $$ \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ orthogonaux } \Longleftrightarrow \vec{u}\cdot \vec{v} = 0 $$

Carré scalaire

Soit un vecteur \(\vec{u} \).

Alors, par la définition du produit scalaire,

$$ \vec{u}\cdot\vec{u} = ||\vec{u}|| \times ||\vec{u}|| \times \cos(\vec{u}, \vec{u}) $$

Mais \(\cos(\vec{u}, \vec{u}) = \cos \left(0\right) = 1 \).

Alors, il reste uniquement les normes des deux vecteurs.

Soit finalement :

$$ \forall \vec{u},$$
$$ \vec{u}\cdot\vec{u} = {|| \vec{u} ||}^2 $$

Produit scalaire par les coordonnées des vecteurs

Soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}\) deux vecteurs dans un repère orthonormé \( (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) et telle que la figure suivante :

Deux vecteurs u et v dans l'espace

Alors on peut exprimer \(\vec{u} \) et \(\vec{v} \) sous la forme suivante :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \vec{u} = x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k} \\ \vec{v} = x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k} \end{gather*} $$

Alors le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{v} \) vaut :

$$ \vec{u}\cdot\vec{v} = (x \vec{i} + y \vec{j} +z \vec{k}) \cdot ( x' \vec{i} + y' \vec{j} +z' \vec{k}) $$
$$ \vec{u}.\vec{v} = xx'\vec{i} \cdot \vec{i} + xy'\vec{i} \cdot \vec{j} + xz'\vec{i} \cdot \vec{k} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yy'\vec{j}.\vec{j} + yz'\vec{j} \cdot \vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k} \cdot \vec{j} + zz'\vec{k} \cdot \vec{k} $$
$$ \vec{u}.\vec{v} = xx' {|| \vec{i} ||}^2 + yy'{|| \vec{j} ||}^2 + zz'{|| \vec{k} ||}^2 + xy'\vec{i} \cdot \vec{j} + xz'\vec{i} \cdot \vec{k} + yx'\vec{j} \cdot \vec{i} + yz'\vec{j} \cdot \vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k} \cdot \vec{j} \qquad (1) $$

Les trois vecteurs \(\vec{i} \cdot \vec{j}, \vec{k} \) sont par hypothèse nos vecteurs unitaires, alors :

$$ {|| \vec{i} ||}^2 = {|| \vec{j} ||}^2 = {|| \vec{k} ||}^2 = 1 $$

Par ailleurs, étant dans un repère orthonormé, les trois vecteurs \(\vec{i} \cdot \vec{j}, \vec{k} \) sont orthogonaux , alors leur produit scalaire est nul :

$$ \vec{i}\cdot\vec{j} = \vec{i}\cdot\vec{k}= \vec{j} \cdot \vec{k} = 0 $$

Et par commutativité du produit scalaire , on a aussi :

$$ \vec{j}\cdot\vec{i} = \vec{k}\cdot\vec{i}= \vec{k} \cdot \vec{j} = 0 $$

Soit en réécrivant \((1) \),

$$ \vec{u}.\vec{v} = xx' + yy' + zz' + \hspace{0.1em} \underbrace { xy'\vec{i} \cdot \vec{j} + xz'\vec{i} \cdot \vec{k} + yx'\vec{j}.\vec{i} + yz'\vec{j} \cdot \vec{k} + zx'\vec{k}.\vec{i} + zy'\vec{k} \cdot \vec{j} } _{ = \hspace{0.1em} 0 } $$

Et finalement,

$$ \forall \left [\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} , \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix} \right], $$
$$ \vec{u}\cdot \vec{v} = xx' + yy' +zz' $$

Bilinéarité

Soient \((\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2\) deux réels et \(\vec{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}, \ \vec{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\z' \end{pmatrix}\) deux vecteurs.

En utilisant l'expression par les coordonnées, on a :

$$ (\lambda\vec{u})\cdot\vec{v} = (\lambda x)x' + (\lambda y)y' + (\lambda z)z' = \lambda(xx' + yy' + zz') = \lambda (\vec{u}\cdot\vec{v}) $$

Mais aussi de fait,

$$ \vec{u}\cdot(\lambda\vec{v}) = x(\lambda x') + y(\lambda y') + z(\lambda z') = \lambda(xx' + yy' + zz') = \lambda (\vec{u}\cdot\vec{v}) $$

On a alors une bilinéarité :

$$ \forall \lambda \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$
$$ (\lambda\vec{u})\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot(\lambda\vec{v}) = \lambda (\vec{u}\cdot\vec{v}) $$

Par ailleurs, en effectuant le produit scalaire \( (\lambda\vec{u})\cdot(\mu\vec{v})\), on obtient :

$$ \forall (\lambda, \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}),$$
$$ (\lambda\vec{u})\cdot(\mu\vec{v}) = \lambda \mu (\vec{u}\cdot\vec{v}) $$

Distributivité par rapport à l'addition

Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs, exprimés aussi \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CD}\) tels que la figure suivante :

Illustration de la distributivité pour les vecteurs

On note aussi sur cette figure la somme \((\vec{v} + \vec{w})\) donnant \(\overrightarrow{AD}\).

  1. Distributivité à droite

    Alors le produit scalaire \(\vec{u}\cdot( \vec{v} + \vec{w}) \) vaut :

    $$ \vec{u}\cdot( \vec{v} + \vec{w}) = || u || \times || v + w || \times \cos(\vec{u}, \vec{v} + \vec{w})$$
    $$ \vec{u}\cdot( \vec{v} + \vec{w}) = || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{AD} || \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) \qquad (1) $$

    Calculons maintenant que valent indépendamment les produits scalaires \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) et \(\vec{u}\cdot\vec{w}\) :

    $$ \left \{ \begin{gather*} \vec{u}.\vec{v} = || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{AC} || \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \\ \vec{u} \cdot \vec{w} = || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{CD} || \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) \end{gather*} \right \} $$
    Illustration de la distributivité pour les vecteurs (démo)

    Or \(\left[|| \overrightarrow{AC} || \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})\right]\) et \(\left[|| \overrightarrow{CD} || \times \cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{CD})\right]\) sont les projetés orthogonaux respectifs des vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sur le vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

    $$ \left \{ \begin{gather*} \vec{u}.\vec{v} = || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{AC'} || \qquad(2) \\ \vec{u} \cdot \vec{w} = || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{C'D'} || \qquad(3) \end{gather*} \right \} $$

    Donc, la somme des deux expressions \((2)\) et \((3)\) vaut :

    $$ \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w} = || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{AC'} || + || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{C'D'} || $$
    $$ \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w} = || \overrightarrow{AB} || \times \left[ || \overrightarrow{AC'} || + || \overrightarrow{C'D'} || \right] $$

    De plus, les deux vecteurs \(|| \overrightarrow{AC'} ||\) et \(|| \overrightarrow{C'D'} ||\) étant alignés, on a :

    $$ \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w} = || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{AD'} || $$

    Et \(|| \overrightarrow{AD'} ||\) étant le projeté orthogonal du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) sur \(\overrightarrow{AB}\), on a à présent :

    $$ \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w} = || \overrightarrow{AB} || \times || \overrightarrow{AD} || \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) $$

    Alors, grâce à l'expression précédente \((1)\), on a finalement :

    $$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$
    $$ \vec{u}\cdot( \vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} $$

  2. Distributivité à gauche

    Et grâce à la commutativité du produit scalaire , on a aussi la distributivité à gauche :

    $$ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot (\vec{u} + \vec{v}) $$

    En développant l'expression avec la distributivité à droite, on a :

    $$ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{w}\cdot\vec{u} + \vec{w} \cdot \vec{v} $$

    Et toujours grâce à la commutativité :

    $$ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $$

    Soit finalement,

    $$ \forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}), $$
    $$ (\vec{u} + \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v} \cdot \vec{w} $$

Identités remarquables

On a vu plus haut que le produit scalaire est distributif , c'est la propriété qui va être utilisée dans cette partie.

  1. Calcul de \( (\vec{u} + \vec{v})^2 \)

    $$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = (\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{u} + \vec{v}) $$
    $$ (\vec{u} + \vec{v})^2 =\vec{u}\cdot \vec{u} + \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v}. \vec{v} $$
    $$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 + 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$

  2. Calcul de \( (\vec{u} - \vec{v})^2 \)

    C'est la même chose avec un signe \((-)\) dans le double produit.

    $$ (\vec{u} - \vec{v})^2 = (\vec{u} - \vec{v})\cdot(\vec{u} - \vec{v}) $$
    $$ (\vec{u} - \vec{v})^2 =\vec{u}\cdot \vec{u} - \vec{u}\cdot\vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{v}. \vec{v} $$
    $$ (\vec{u} - \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 - 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$

  3. Calcul de \( (\vec{u} + \vec{v})\cdot (\vec{u} - \vec{v}) \)

    $$ (\vec{u} + \vec{v})\cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \vec{u}\cdot \vec{u} - \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \vec{u} - \vec{v}. \vec{v} $$

    On a vu que le produit scalaire est commutatif , alors \( \vec{u}\cdot \vec{v} = \vec{v}\cdot \vec{u} \), et :

    $$ (\vec{u} + \vec{v}). (\vec{u} - \vec{v}) = {|| \vec{u} ||}^2 \hspace{0.1em} \underbrace{ - \ \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{v} } _{ = \hspace{0.1em} 0 } \hspace{0.1em} - {|| \vec{v} ||}^2$$
    $$ {|| \vec{u} ||}^2 - {|| \vec{v} ||}^2= (\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) $$

On obtient exactement les mêmes formules que les identités remarquables classiques.

Expression en fonction des normes

On a vu plus haut que :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} (\vec{u} + \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 + 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 \qquad (4) \\ (\vec{u} - \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 - 2 \vec{u} \cdot \vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 \qquad (5) \end{gather*} $$

En travaillant avec l'expression \( (4) \), on a :

$$ (\vec{u} + \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 + 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 \qquad (4) $$

Mais grâce à la propriété des carrés scalaires , on sait que :

$$ \forall \vec{u}, \ (\vec{u})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 $$

Alors l'expression \( (4) \) devient :

$$ {|| \vec{u} + \vec{v} ||}^2 = {|| \vec{u} ||}^2 + 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2$$
$$2 \vec{u}\cdot\vec{v} = {|| \vec{u} + \vec{v} ||}^2 - {|| \vec{u} ||}^2 - {|| \vec{v} ||}^2$$

Et finalement,

$$ \vec{u}\cdot\vec{v} =\frac{1}{2} \left( {|| \vec{u} + \vec{v} ||}^2 - {|| \vec{u} ||}^2 - {|| \vec{v} ||}^2 \right ) $$

De la même manière, avec l'expression \( (5) \), on a :

$$ (\vec{u} - \vec{v})^2 = {|| \vec{u} ||}^2 - 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$
$$ {|| \vec{u} - \vec{v} ||}^2 = {|| \vec{u} ||}^2 - 2 \vec{u}\cdot\vec{v} + {|| \vec{v} ||}^2 $$
$$ 2 \vec{u}\cdot\vec{v} = {|| \vec{u} ||}^2 + {|| \vec{v} ||}^2 - {|| \vec{u} - \vec{v} ||}^2 $$
$$ \vec{u}\cdot\vec{v} =\frac{1}{2} \left( {|| \vec{u} ||}^2 + {|| \vec{v} ||}^2 - {|| \vec{u} \cdot \vec{v} ||}^2 \right ) $$

Projection d'un vecteur sur un vecteur

La projection scalaire de \(\vec{v}\) sur \(\vec{u}\) vaut :

$$ || \vec{v'} || = || \vec{u} || \times || \vec{v} || \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) $$

Ainsi, ayant sa norme on peut lui attribuer la direction et le sens de \(\vec{u}\) via l'opération :

$$ \vec{v'} = || \vec{v'} || \times \frac{\vec{u}}{|| \vec{u} ||^2} $$

Et avec ce qui précède, on a :

$$ \vec{v'} = || \vec{u} || \times || \vec{v} || \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \times \frac{\vec{u}}{|| \vec{u} ||^2} $$
$$ \vec{v'} = \vec{u}\cdot\vec{v} \times \frac{\vec{u}}{|| \vec{u} ||^2} $$
Projection d'un vecteur sur un autre vecteur
$$ \forall (\vec{u}, \vec{v}), $$

La projection vectorielle de \(\vec{u}\) sur \(\vec{v}\) vaut :

$$ \overrightarrow{proj}_{\mathcal{(\vec{u})}} \hspace{0.1em} \bigl(\vec{v}\bigr) = \frac{(\vec{u}\cdot\vec{v})}{||\vec{u}||^2}. \vec{u} $$

Récapitulatif des formules des propriétés du produit scalaire

Exemples

  1. Calculer la distance d'un point à un plan

    Soit un plan \((\mathcal{P})\) dans l'espace, passant par un point \(A\bigl(x_0, y_0, z_0\bigr)\) et orthogonal à un vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix} a\\ b \\c \end{pmatrix}\)(avec \(a, b, c \) non nuls tous les trois).

    Distance d'un point à un plan par le produit scalaire

    Il s'agit de déterminer la distance \([HM]\) du point \(M\bigl[x, y, z \bigr]\) au plan \((\mathcal{P})\).

    Comme les vecteurs \(\vec{n}\) et \(\overrightarrow{HA}\) sont orthogonaux , on a :

    $$ \vec{n} \ \cdot \ \overrightarrow{HA} = 0$$
    $$ \vec{n} \ \cdot \ (\overrightarrow{HM} + \ \overrightarrow{MA}) = 0$$
    $$ \vec{n} \ \cdot \ \overrightarrow{HM} + \ \vec{n} \ \cdot \ \overrightarrow{MA} = 0$$
    $$ || \vec{n} || \times || \overrightarrow{HM} || + \vec{n} \ \cdot \ \overrightarrow{MA} = 0$$
    $$ || \overrightarrow{HM} || = \frac{\vec{n} \ \cdot \ \overrightarrow{AM}}{ || \vec{n} ||} $$
    $$ HM = \left | \frac{\vec{n} \ \cdot \ \overrightarrow{AM}}{ || \vec{n} ||} \right| $$

    Alors, connaissant les coordonnées du point \(M\), on peut appliquer la méthode de calcul du produit scalaire par le produit des coordonnées :

    $$ HM = \left | \frac{a(x -x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) }{ \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \right| $$
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