Les propriétés des séries convergentes

Soit $ t \in \mathbb{N} $ un entier naturel.

Ce nombre $t$ sera utilisé pour faire démarrer les séries théoriquement de n'importe quel indice.

Multiplication par un réel

$$ \forall t \in \mathbb{N}, \enspace \forall a_n, \enspace \forall \lambda \in \hspace{0.04em} \mathbb{R},$$

$$ \sum a_n \text{ converge } \Longrightarrow \sum (\lambda \ a_n) \text{ converge } $$

$$ \Longrightarrow $$

$$ \sum_{k = t}^{+ \infty} (\lambda \ a_k) = \lambda \sum_{k = t}^{+ \infty} a_k $$

Addition

Si les deux séries convergent

$$ \forall \bigl(a_n, \ b_n\bigr),$$

$$ \sum a_n \text{ et } \sum b_n \text{ convergent } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ converge } $$

$$ \Longrightarrow $$

$$ \sum_{k = t}^{+ \infty} (a_k + b_k) = \sum_{k = t}^{+ \infty} a_k + \sum_{k = t}^{+ \infty} b_k $$
Si une des deux séries diverge

$$ \forall \bigl(a_n, \ b_n\bigr),$$

$$ \sum a_n \text{ converge et } \sum b_n \text{ diverge } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ diverge } $$

Identification de séries ayant la même nature

Pour tout couple de séries de signes identiques et constants à partir d'un certain rang :

$$ \forall l \in \mathbb{R}^*_+, $$

$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{$\sum c_n$ et $\sum d_n$ sont de même nature} $$

De plus, si $(l = 1)$ les deux suites sont équivalentes , alors :

$$ c_n \sim d_n \Longrightarrow \text{$\sum c_n$ et $\sum d_n$ sont de même nature} $$

Démonstrations

Soit $ t \in \mathbb{N} $ un entier naturel.

Ce nombre $t$ sera utilisé pour faire démarrer les séries théoriquement de n'importe quel indice.

Multiplication par un réel

Soit $ (a_n) $ une suite numérique et $\lambda \in \mathbb{R}$ un réel.

Supposons que la série $\sum a_n$ converge vers une limite $l$, ce qui se traduit par la limite de ses sommes partielles :

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = t}^n a_k = l $$

Étudions la suite des sommes partielles de la série $\sum (\lambda \ a_n)$. Pour tout entier $n \geqslant t$, les propriétés de linéarité des sommes finies nous permettent de sortir le facteur scalaire :

$$ \sum_{k = t}^n (\lambda \ a_k) = \lambda \sum_{k = t}^n a_k $$

En passant à la limite lorsque $n \to +\infty$ et en appliquant les théorèmes généraux sur les opérations de limites, on obtient la chaîne d'égalités suivante :

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = t}^n (\lambda \ a_k) = \lim_{n \to +\infty} \left[ \lambda \sum_{k = t}^n a_k \right] = \lambda \cdot \lim_{n \to +\infty} \sum_{k = t}^n a_k = \lambda \cdot l $$

La suite des sommes partielles admet une limite finie égale à $\lambda \ l$, ce qui prouve la convergence de la série.

Soit finalement :

$$ \forall (a_n), \enspace \forall \lambda \in \mathbb{R},$$

$$ \sum a_n \text{ converge } \Longrightarrow \sum (\lambda \ a_n) \text{ converge } $$

$$ \Longrightarrow $$

$$ \sum_{k = t}^{+ \infty} (\lambda \ a_k) = \lambda \sum_{k = t}^{+ \infty} a_k $$

Addition

Soient $ \bigl(a_n, \ b_n \bigr) $ deux suites numériques.

Si les deux séries convergent

De la même manière que précédemment, si $\sum a_n$ et $\sum b_n$ convergent, alors :

$$ \exists! \ (l, l') \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \ \left \{ \begin{gather*} \lim_{n \to + \infty} \sum_{k = t}^{n} a_k = l \\ \\ \lim_{n \to + \infty}\sum_{k = t}^{n} b_k = l' \end{gather*} \right \} $$

Alors en sommant les deux expressions, on a :

$$ \lim_{n \to + \infty} \sum_{k = t}^{n} a_k + \lim_{n \to + \infty} \sum_{k = t}^{n} b_k = l + l' $$

La limite d'une somme étant la somme des limites :

$$ \forall (f, \ g),$$

$$\lim (f+g) =\lim (f) +\lim (g) $$

Alors on a maintenant :

$$ \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum_{k = t}^{n} a_k + \sum_{k = t}^{n} b_k \biggr] = l + l' $$

$$ \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum_{k = t}^{n} (a_k + b_k) \biggr] = l + l' $$

Par conséquent, on obtient que $\sum (a_k + b_k) $ converge vers $(l + l')$.

Soit finalement,

$$ \forall \bigl(a_n, \ b_n\bigr),$$

$$ \sum a_n \text{ et } \sum b_n \text{ convergent } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ converge } $$

$$ \Longrightarrow $$

$$ \sum_{k = t}^{+ \infty} (a_k + b_k) = \sum_{k = t}^{+ \infty} a_k + \sum_{k = t}^{+ \infty} b_k $$
Si une des deux séries diverge

Supposons que la série $\sum a_n$ converge vers un réel $l$ et que la série $\sum b_n$ diverge.

Par l'absurde, si la série somme $\sum (a_n + b_n)$ était convergente et tendait vers une limite $L$, alors par linéarité de la somme, la série différence suivante devrait également converger vers $L - l$:

$$ \sum_{k=t}^n b_k = \sum_{k=t}^n \bigl[ (a_k + b_k) - a_k \bigr] $$

En passant à la limite sous les sommes partielles, on obtiendrait :

$$ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=t}^n b_k = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=t}^n (a_k + b_k) - \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=t}^n a_k = L - l $$

Le membre de droite étant un nombre réel fixe ($L - l$), la suite des sommes partielles de $b_n$ admettrait une limite finie, ce qui signifie que $\sum b_n$ convergerait.

Ceci est en contradiction directe avec notre hypothèse de départ. Par conséquent :

Alors,

$$ \forall \bigl(a_n, \ b_n\bigr),$$

$$ \sum a_n \text{ converge et } \sum b_n \text{ diverge } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ diverge } $$

Identification de séries ayant la même nature

Soient $(c_n)$ et $(d_n)$ deux suites à termes strictement positifs à partir du rang $t$, et un réel $l \in \mathbb{R}^*_+ $ tel que :

$$ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 $$

En vertu de la définition de la limite, il est possible de trouver deux réels positifs $(l_1, l_2) \in (\mathbb{R}_+)^2$ tels que :

$$ l_1 < \frac{c_n}{d_n} < l_2 $$

En multipliant tous les termes par $d_n$, on a :

$$ l_1 \ d_n < c_n < l_2 \ d_n $$

$$ \sum_{k=t}^n (l_1 \ d_k) < \sum_{k=t}^n c_k < \sum_{k=t}^n (l_2 \ d_k) $$

Or, on a vu plus haut une propriété qui nous dit que pour une série associée à une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ :

$$ \sum a_n \text{ converge } \Longrightarrow \sum (\lambda \ a_n) \text{ converge } $$

Si $\sum d_n$ converge

Si $\sum d_n$ converge, alors il en est de même pour $\sum (l_2 \ d_n)$.

Par suite, la série $\sum c_n$ étant inférieure à une série convergente, elle converge aussi.

$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{$\sum d_n$ converge $\Longrightarrow \sum c_n$ converge} $$

Remarque :

Si les deux séries sont à termes strictement négatifs, le sens des inégalités s'inversent :

$$ \sum_{k=t}^n (l_1 \ d_k) > \sum_{k=t}^n c_k > \sum_{k=t}^n (l_2 \ d_k) $$

Mais la série $\sum c_n$ reste piégée par la série $\sum d_n$, et le résultat est identique.
Si $\sum d_n$ diverge

De même, si $\sum d_n$ diverge, alors il en est de même pour $\sum (l_1 \ d_n)$.

De la même manière, la série $\sum c_n$ étant supérieure à une série divergente, elle diverge aussi.

$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{$\sum d_n$ diverge $\Longrightarrow \sum c_n$ diverge} $$

Remarque :

Si les deux séries sont à termes strictement négatifs, le résultat est là aussi identique pour les mêmes raisons.

Soit finalement,

Pour tout couple de séries de signes identiques et constants à partir d'un certain rang :

$$ \forall l \in \mathbb{R}^*_+, $$

$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{$\sum c_n$ et $\sum d_n$ sont de même nature} $$

De plus, si $(l = 1)$ les deux suites sont équivalentes :

$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = 1 \Longleftrightarrow c_n \sim d_n $$

On aura en bonus la relation :

$$ c_n \sim d_n \Longrightarrow \text{$\sum c_n$ et $\sum d_n$ sont de même nature} $$

Les propriétés des séries convergentes

Multiplication par un réel

Addition

Si les deux séries convergent

Si une des deux séries diverge

Identification de séries ayant la même nature

Si \(\sum d_n\) converge

Remarque :

Si \(\sum d_n\) diverge

Remarque :