Les propriétés des séries convergentes

Multiplication par un réel

Soient \( \bigl(a_n, b_n\bigr) \) deux suites numériques et \(\lambda \in \mathbb{R}\) un réel.

Si \(\sum a_n\) converge, c'est-à-dire que la série tend vers une certaines limite \(l\) :

Alors, en multipliant les deux côtés par \(\lambda\), on a :

Alors,

Et on peut mettre \(\lambda\) à l'intérieur de la somme,

Par conséquent, on obtient que \(\sum (\lambda \ a_n)\) converge vers \(\lambda \ l\).

Soit finalement,

Addition

1. Si les deux séries convergent

   De la même manière que précédemment, si \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) convergent, alors :

   $$ \exists! \ (l, l') \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, \ \left \{ \begin{gather*} \lim_{n \to + \infty} \sum a_n = l \\ \\ \lim_{n \to + \infty} \sum b_n = l' \end{gather*} \right \} $$

   Alors en sommant les deux expressions, on a :

   $$ \lim_{n \to + \infty} \sum a_n + \lim_{n \to + \infty} \sum b_n = l + l' $$

   La limite d'une somme étant la somme des limites :

   $$ \forall (f, g),$$

   $$ lim (f+g) = lim (f) + lim (g) $$

   Alors on a maintenant :

   $$ \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum a_n + \sum b_n \biggr] = l + l' $$
   $$ \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum (a_n + b_n) \biggr] = l + l' $$

   Par conséquent, on obtient que \(\sum (a_k + b_k) \) converge vers \((l + l')\).

   
   

   Soit finalement,

   $$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr),$$
   $$ \sum a_n \text{ et } \sum b_n \text{ convergent } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ converge } $$

   $$ \Longrightarrow $$

   $$ \sum_{k = 0}^{+ \infty} (a_k + b_k) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} a_k + \sum_{k = 0}^{+ \infty} b_k $$

2. Si une des deux séries diverge

   Si une des deux séries diverge, alors :

   $$ \exists! \ l \in \mathbb{R}, \ \left \{ \begin{gather*} \lim_{n \to + \infty} \sum a_n = l \\ \\ \lim_{n \to + \infty} \sum b_n = + \infty \end{gather*} \right \} $$

   Alors en sommant les deux expressions, on a :

   $$ \lim_{n \to + \infty} \sum a_n + \lim_{n \to + \infty} \sum b_n = l + \bigl[ + \infty \bigr] $$

   De même que plus haut, on peut arranger comme ceci :

   $$ \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum a_n + \sum b_n \biggr] = \underbrace{l + \bigl[ + \infty \bigr]} _{\bigl[ + \infty \bigr]} $$
   $$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \sum (a_n + b_n) \right] = + \infty $$
   
   

   Alors,

   $$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr),$$
   $$ \sum a_n \text{ converge et } \sum b_n \text{ diverge } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ diverge } $$

Identification de séries ayant la même nature

Soit \((c_n, d_n)\) deux suites à termes de signe constant et un réel \(l \in \mathbb{R}^*_+ \) tel que :

Puisque les deux sont suites sont à termes constants, alors \((l > 0)\). De même, il est possible de trouver deux réels \((l_1, l_2)\) tels que :

En multipliant les tous les termes par \(d_n\), on a :

1. si \(\sum d_n\) converge

   Si \(\sum d_n\) converge, alors il en est de même pour \(\sum (l_2 \ d_n)\).

   Par suite, la série \(\sum c_n\) étant inférieure à une série convergente, elle converge aussi.

   $$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{\(\sum d_n\) converge \(\Longrightarrow \sum c_n\) converge} $$

2. si \(\sum d_n\) diverge

   De même, si \(\sum d_n\) diverge, alors il en est de même pour \(\sum (l_1 \ d_n)\).

   De la même manière, la série \(\sum c_n\) étant supérieure à une série divergente, elle diverge aussi.

   $$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{\(\sum d_n\) diverge \(\Longrightarrow \sum c_n\) diverge} $$

Soit finalement,

De plus, si \((l = 1)\) les deux suites sont équivalentes :

On aura en bonus la relation :