Index
Soient \( (a, b) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2, \enspace a > b \).
L'algorithme d'Euclide nous dit que :
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Si \( b \) divise \( a \)
$$ \exists q \in \mathbb{N}, $$$$ b \mid a \ \Longrightarrow \ a = bq \ \Longrightarrow \ PGCD(a, b) = b $$
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Si \( b\) ne divise pas \( a\)
$$ \exists q \in \mathbb{N}, \enspace \exists R \in [\![0, (b-1) ]\!] , $$$$ b \nmid a \ \Longrightarrow \ a = bq + R $$
Le \( PGCD(a, b) \) est le dernier reste non nul \( R_n \) de la division euclidienne de \( a \) par \( b \) tel que :
$$ a = \textcolor{rgb(232 124 124)}{b} q_0 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_0} $$Tant que le reste ne divise pas le diviseur de la division précédente , on continue l'algorithme.
On redécompose alors à chaque étape le nouvel élément :
$$ b = \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_0} q_1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_1} \ \Longrightarrow \ R_0 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_1} q_2 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_2} \ \Longrightarrow \ R_k = \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_{k + 1}} q_{k + 2} + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_{k + 2}} $$$$ jusque \ \Longrightarrow R_{n - 3} = q_{n -1 }\textcolor{rgb(232 124 124)}{R_{n - 2}} + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_{n -1}} $$Tant que le reste \( R_{n - 1} \) ne divise toujours pas \( R_{n - 2} \), le reste \( R_{n - 2} \) peut s'écrire :
$$ R_{n - 2} = q_{n}\textcolor{rgb(232 124 124)}{R_{n - 1}} + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_{n}} $$Jusqu'au moment où enfin \( R_n \) divise \( R_{n - 1} \), alors \( R_{n - 1} \) s'écrira :
$$ R_{n - 1} = q_{n + 1}\textcolor{rgb(232 124 124)}{R_{n}} $$À ce moment, par remontée de l'algorithme en injectant tour à tour les valeurs précédentes jusque \( a \) et \( b \), on se rendra compte que l'on pourra toujours factoriser par \(R_{n} \). Et alors :
$$ PGCD(a, b) = R_{n} $$\( \forall n \in \mathbb{N}\), \(\forall k \in [\![0, n ]\!] \), tant que le reste \(R_{k} \) ne divise pas le reste \(R_{k -1 } \) :
$$ b \nmid a \Longrightarrow PGCD(a, b) = PGCD(b, R_0) = PGCD(R_0, R_1) = \enspace ... \enspace = PGCD(R_{n - 1}, R_n) = R_n \neq 0$$
Soient deux entiers naturels \( (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 \), avec \( a > b \).
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Si \( b \) divise \( a \)
Alors, \( a \) s'écrit :
$$ \exists q \in \mathbb{N}, \ a = bq \qquad (a) $$Et à ce moment-là, comme \( b \mid a \) et \( b \mid b \), alors \( PGCD(a, b) = b\).
$$ \exists q \in \mathbb{N}, $$$$ b \mid a \ \Longrightarrow \ a = bq \ \Longrightarrow \ PGCD(a, b) = b $$ -
Si \( b \) ne divise pas \( a \)
Dans ce cas, \( a \) peut s'écrire sous la forme :
$$ \exists q_0 \in \mathbb{N}, \enspace \exists R_0 \in [\![0, (b-1) ]\!] , \enspace a = \textcolor{rgb(232 124 124)}{b}q_0 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_0} \qquad (a^*) $$Alors, manière générale,
$$ \exists q \in \mathbb{N}, \enspace \exists R \in [\![0, (b-1) ]\!] , $$$$ b \nmid a \ \Longrightarrow \ a = bq + R $$-
si \( R_0 \) divise \( b \)
Alors \( b \) s'écrit :
$$ \exists q_1 \in \mathbb{N}, \enspace b = q_1R_0 \qquad (b) $$On peut remonter l'algorithme et injecter \( (b) \) dans \( (a^*) \) :
$$ a = bq_0 + R_0 = q_1R_0q_0 + R_0 = R_0 \underbrace{(q_1 q_0 + 1)} _{ Q_{a} \in \mathbb{N} } $$Soit,
$$ a = Q_{a}R_0 \qquad (a') $$On a alors,
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a = Q_{a}R_0 \qquad (a') \\ b = q_1R_0 \qquad (b) \end{gather*} $$Et à ce moment-là, comme \( (R_0 \mid a) \land (R_0 \mid b) \land (R_0 \mid R_0) \), alors :
$$ PGCD(a, b) =PGCD(b, R_0) = R_0 $$ -
si \( R_0 \) ne divise pas \( b \)
Dans ce cas, \( b \) peut s'écrire sous la forme :
$$ \exists q_1 \in \mathbb{N}, \enspace \exists R_1 \in [\![0, (R_0-1) ]\!], \enspace b = \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_0} q_1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_1} \qquad (b^*) $$-
si \( R_1 \) divise \( R_0 \)
Alors \( R_0 \) s'écrit :
$$ \exists q_2 \in \mathbb{N}, \enspace R_0 = q_2R_1 \qquad (R_0) $$On peut remonter l'algorithme et injecter \( (R_0) \) dans \( (b^*) \) :
$$ b = R_0 q_1 + R_1 = q_2R_1 q_1 + R_1 = R_1 \underbrace{(q_2 q_1 + 1)} _{ Q_{b} \in \mathbb{N} } $$Soit,
$$ b = Q_{b}R_1 \qquad (b') $$On remonte encore une fois en injectant cette fois la nouvelle valeur de \( (b') \) et de \( (R_0) \) dans \( (a^*) \) :
$$a = bq_0 + R_0 = Q_{b}R_1q_0 + q_2R_1 = R_1 \underbrace{(Q_{b} q_0 + q_2)} _{ Q_{a} \in \mathbb{N} } $$$$a = Q_{a}R_1 \qquad (a') $$On a alors,
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a = Q_{a}R_1 \qquad (a') \\ b = Q_{b}R_1 \qquad (b') \end{gather*} $$Et à ce moment-là, comme \( (R_1 \mid a) \land (R_1 \mid b) \land (R_1 \mid R_0) \land (R_1 \mid R_1) \), alors :
$$ PGCD(a, b) =PGCD(b, R_0) =PGCD(R_0, R_1) = R_1 $$ -
si \( R_1 \) ne divise pas \( R_0 \)
Dans ce cas, \( R_0 \) peut s'écrire sous la forme :
$$ \exists q_2 \in \mathbb{N}, \enspace \exists R_2\in [\![0, (R_1-1) ]\!], \enspace R_0 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_1} q_2 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_2} \qquad (R_0^*) $$On continue l'algorithme comme cela jusqu'à ce que \( R_n \) divise \( R_{n- 1} \) et à ce moment-là :
$$ R_{n - 1} = q_{n + 1}\textcolor{rgb(232 124 124)}{R_n} $$Ainsi, par remontée on aura :
$$ R_{n - 2} = q_{n} \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_{n - 1}} + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_n} $$$$ R_{n - 2} = q_{n}\textcolor{rgb(232 124 124)}{q_{n + 1}R_n} + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_n} = R_n\underbrace{(q_{n}q_{n + 1} + 1)} _ \text{ \( Q_{n - 2} \in \mathbb{N} \) } $$$$ R_{n - 2} = R_nQ_{n - 2} $$Par suite, on a une réaction en chaîne jusqu'au début de l'algorithme :
$$ \Biggl[ R_{n - 3} = R_nQ_{n - 3} \Biggr] \Longrightarrow ... \Longrightarrow \Biggl[ R_{n - k} = R_nQ_{n - k} \Biggr] \Longrightarrow ... \Longrightarrow \Biggl[ R_{2} = R_nQ_{2} \Biggr] $$$$ \Biggl[ R_{1} = R_nQ_{1}\Biggr] \Longrightarrow \Biggl[ R_{0} = R_nQ_{0} \Biggr] \Longrightarrow \Biggl[ b = R_nQ_{b}\Biggr] \Longrightarrow \Biggl[ a = R_nQ_{a}\Biggr] $$\( R_n \) sera alors le plus diviseur commun à tous ces nombres.
$$ PGCD(a, b) = PGCD(b, R_0) = PGCD(R_0, R_1) = \enspace ... \enspace = PGCD(R_{n - 1}, R_n) = R_n \neq 0$$
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Et finalement,
\( \forall n \in \mathbb{N}\), \(\forall k \in [\![0, n ]\!] \), tant que le reste \(R_{k} \) ne divise pas le reste \(R_{k -1 } \) :
Ce reste \( R_n \) pourra lui-même se décomposer en différents facteurs, qui composeront l'ensemble des diviseurs de \( a \) et de \( b \) :
Exemples
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Calcul de \( PGCD(1365, 25) \)
On a vu avec l'algorithme qu'il va falloir effectuer des divisions successives, afin de récupérer le dernier reste non nul de cette série de division.
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Calcul de \( 1365 / 25 \)
\( 25 \) ne divise pas \( 1365 \), car cela ne tombe pas juste. On récupère d'abord sa partie entière .
$$ \left \lfloor{\frac{1365}{25}} \right \rfloor = 54 \hspace{5em} (1^{ \textit{è}re} \ division) $$$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\LARGE\frown}{1 \ 36} }5 $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} $$$$ \hspace{-0.2em } -1 \ 25 \hspace{0.04em} . \hspace{0.2em} $$$$ 54 $$$$ \hspace{-0.4em } = \textcolor{#6187B2}{ \overset{\LARGE\frown}{115}} $$$$ \hspace{-0.2em } -100 $$$$ \hspace{-0.2em } = \textcolor{rgb(93 183 129)}{15} $$Alors \( 1365 \) peut s'écrire :
$$ 1365 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{15} $$Calculons le reste \( \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_0} \).
$$ 1365 -\textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 = \textcolor{rgb(93 183 129)}{15} \hspace{5em} (R_0) $$Soit,
$$ 1365 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{15} \qquad (a) $$$$ (a = \textcolor{rgb(232 124 124)}{b} q_0 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_0}) $$ -
Calcul de \( 25 / 15 \)
\( 15 \) ne divise pas \( 25 \).
$$ \left \lfloor{\frac{25}{15}} \right \rfloor = 1 \hspace{5em} (2^{ \textit{è}me } \ division) $$$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\LARGE\frown}{25} } $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{15} $$$$ -15 $$$$ 1 $$$$ \hspace{-0.2em } = \textcolor{rgb(93 183 129)}{10} $$Alors \( 25 \) peut s'écrire :
$$ 25 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{15} \times 1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{10} \qquad (b) $$$$ (b = \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_0} q_1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_1}) $$ -
Calcul de \( 15 / 10 \)
\( 10 \) ne divise pas \( 15 \).
$$ \left \lfloor{\frac{15}{10}} \right \rfloor = 1 \hspace{5em} (3^{ \textit{è}me } \ division) $$$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\LARGE\frown}{15} } $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{10} $$$$ -10 $$$$ 1 $$$$ \hspace{0.2em } = \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} $$Alors \( 15 \) peut s'écrire :
$$ 15 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{10} \times 1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} \qquad (R_0) $$$$ (R_0 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_1} q_2 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{R_2}) $$ -
Calcul de \( 10 / 5 \)
Cette fois-ci, \( 5 \) divise \( 10 \). Le reste est nul.
$$ \frac{10}{5} = 2 \hspace{5em} (4^{ \textit{è}me } \ division) $$$$ \hspace{0.8em } \textcolor{#6187B2}{ \overset{\LARGE\frown}{10} } $$$$ \textcolor{rgb(232 124 124)}{5} $$$$ -10 $$$$ 2 $$$$ \hspace{0.2em } = \textcolor{rgb(93 183 129)}{0} $$Alors \( 10 \) peut s'écrire :
$$ 10 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{5} \times 2 \qquad (R_1) $$$$ (R_1 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{R_2} q_3) $$On a donc comme résultat final :
$$ PGCD(1365, 25) = 5 $$$$ (PGCD(a, b) = R_2) $$
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Remontée de l'algorithme
On peut éventuellement remonter l'algorithme et trouver deux nombres qui conviennent à l'indetité de Bézout .
Ce théorème nous dit que :
$$ \forall (a, b) \in \hspace{0.04em}\mathbb{N}^2, \enspace a > b, $$$$ \delta = a \wedge b \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace au + bv = \delta \qquad (\text{Identité de Bézout})$$Pour cela, on va à chaque fois réinjecter les valeurs dans les résultats du calcul précédent.
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \underline{10} \hspace{0.1em} = \textcolor{rgb(232 124 124)}{5} \times 2 \qquad (R_1) \\ 15 = \hspace{0.1em} \underline{\textcolor{rgb(232 124 124)}{10}} \hspace{0.1em} \times 1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} \qquad (R_0) \end{gather*} \enspace \Longrightarrow \enspace 15 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{(5 \times 2)} \times 1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} \qquad (R_0') $$On isole la valeur du \( PGCD \) car c'est elle qu'on veut à la fin comme résultat.
$$ 15 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{10} \times 1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} \qquad (R_0) \enspace \Longleftrightarrow \enspace \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} = 15 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{10} \times 1 \qquad (R_2) $$Ensuite, on a :
$$ 25 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{15} \times 1 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{10} \qquad (b) \enspace \Longleftrightarrow \enspace \textcolor{rgb(93 183 129)}{10} = 25 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{15} \times 1 \qquad (R_1') $$Avec l'injection de \( (R_1') \) dans \( (R_2) \), on a :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} = 15 - \hspace{0.1em} \underline{ \textcolor{rgb(232 124 124)}{10} } \hspace{0.1em} \times 1 \qquad (R_2) \\ \hspace{0.1em} \underline{ \textcolor{rgb(93 183 129)}{10} } \hspace{0.1em} = 25 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{15} \times 1 \qquad (R_1') \end{gather*} \enspace \Longrightarrow \enspace \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} = 15 - ( 25 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{15} \times 1 ) \times 1 \qquad (R_2') $$Encore, on a :
$$ 1365 = \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 + \textcolor{rgb(93 183 129)}{15} \qquad (a) \enspace \Longleftrightarrow \enspace \textcolor{rgb(93 183 129)}{15} = 1365 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 \qquad (R_0'') $$Avec la double injection de \( (R_0'') \) dans \( (R_2') \), on a :
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \hspace{0.1em} \underline{ \textcolor{rgb(93 183 129)}{15} } \hspace{0.1em} = 1365 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 \qquad (R_0'') \\ \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} = \hspace{0.1em} \underline{ 15 } \hspace{0.1em} - ( 25 - \hspace{0.1em} \underline{ \textcolor{rgb(232 124 124)}{15} } \hspace{0.1em} \times 1 ) \times 1 \qquad (R_2') \end{gather*} \enspace \Longrightarrow \enspace \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} = 1365 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 - ( 25 - ( 1365 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 ) \times 1 ) \times 1 \qquad (R_2'') $$Soit,
$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} = 1365 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 - 25 + 1365 - \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times 54 \qquad (R_2''') $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} = 1365 \times 2 + \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times (-54 - 54 -1) $$$$ \textcolor{rgb(93 183 129)}{5} = 1365 \times 2 + \textcolor{rgb(232 124 124)}{25} \times (-109) $$On a bien :
$$ 5 = 1365 \wedge 25 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \exists (u, v) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \enspace 1365u + 25v = 5 $$$$ \text{avec } \Biggl \{ \begin{gather*} u = 2 \\ v = -109 \end{gather*} $$
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