La puissance d'un point par rapport à un cercle

Cas 1 : Point intérieur au cercle

Si un point $ O$ est l'intersection entre deux cordes $ (AB )$ et $ (CD )$ d'un cercle à l'intérieur de celui-ci, et telles que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point intérieur (avec les angles)

Alors, les deux triangles $ AOC $ et $ DOB $ sont semblables , et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point $O$ vaut :

$$\overline{OA} \times \overline{OB} = \overline{OC} \times \overline{OD}$$

Cas 2 : Point extérieur au cercle

Si un point $ O$ est l'intersection entre deux cordes $ (AC )$ et $ (DB )$ d'un cercle à l'extérieur de celui-ci, et telles que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur (avec les angles)

Alors, les deux triangles $ ABO $ et $ DCO $ sont semblables , et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point $O$ vaut :

$$\overline{OA} \times \overline{OB} = \overline{OC} \times \overline{OD}$$

Cas 3 : Point extérieur au cercle avec une tangente

Si un point $ O$ est l'intersection entre une corde $ (AC )$ du cercle et une tangente à ce même cercle passant par $ T$, et telles que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur et une tangente (avec les angles)

Alors, les deux triangles $ OAT $ et $ CTO $ sont semblables , et le produit entre les longueurs respectivement proportionnelles en partant du point $O$ vaut :

$$\overline{OA} \times \overline{OC} = \overline{OT} ^2$$

Cas 4 : Point extérieur au cercle avec deux tangentes

Si un point $ O$ est l'intersection entre deux tangentes au cercle passant respectivement par $ T$ et $ T'$, et telles que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur et deux tangentes (avec les angles)

Alors, le triangle $ OTT' $ est un triangle isocèle, et dans ce cas :

$$\overline{OT} = \hspace{0.04em} \overline{OT'}$$

Démonstrations

Cas 1 : Point intérieur au cercle

Soit un cercle et deux cordes $AB$ et $CD$ telle que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point intérieur

Le point $O$ est le point d'intersection entre les droites $(AB)$ et $(CD)$ à l'intérieur du cercle.

Les angles $ \widehat{BAC}$ et $ \widehat{BDC}$ interceptent le même arc $ \overset{\frown}{BC}$ sur le cercle. Ils sont donc égaux.

$$ \widehat{BAC} = \widehat{BDC} = \alpha $$

De la même manière, les angles $ \widehat{ABD}$ et $ \widehat{ACD}$ interceptent le même arc $ \overset{\frown}{AD}$ sur le cercle.

$$ \widehat{ABD} = \widehat{ACD} = \beta $$

Les deux triangles $ AOC $ et $ DOB $ ayant deux angles deux-à-deux respectivement égaux, ils sont semblables .

On a alors les proportions suivantes :

$$ \frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} $$

Soit finalement,

$$\overline{OA} \times \overline{OB} = \overline{OC} \times \overline{OD}$$

Cas 2 : Point extérieur au cercle

Soit un cercle et deux cordes $AB$ et $CD$ telle que la figure suivante :

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur

Le point $O$ est le point d'intersection entre les droites $(AC)$ et $(BD)$ à l'extérieur du cercle, cette intersection forme un sommet d'angle $\theta$.

Les angles $ \widehat{BAC}$ et $ \widehat{BDC}$ interceptent le même arc $ \overset{\frown}{BC}$ sur le cercle. Ils sont donc égaux.

$$ \widehat{BAC} = \widehat{BDC} = \alpha $$

Par suite, les mesures des angles $ \widehat{ABO}$ et $ \widehat{DCO}$ sont égales, étant le troisième angle des deux triangles respectifs :

$$ \widehat{ABO} = \widehat{DCO} = \beta = \pi - (\alpha + \theta) $$

Les deux triangles $ ABO $ et $ DCO $ ayant deux angles deux-à-deux respectivement égaux, ils sont semblables .

On a alors les proportions suivantes :

$$ \frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB} $$

Soit finalement,

$$\overline{OA} \times \overline{OB} = \overline{OC} \times \overline{OD}$$

Cas 3 : Point extérieur au cercle avec une tangente

En reprenant notre figure précédente en faisant tendre les points $B$ et $D$ vers un nouveau point $T$, pour que la droite $(OT)$ soit tangente au cercle.

Puissance d'un point par rapport à un cercle - point extérieur (construction d'une tangente T)

En construisant ce nouveau point $T$, on a conservé l'équivalence entre les deux angles $\alpha$.

Les deux triangles $ OAT $ et $ CTO $ ayant deux angles deux-à-deux respectivement égaux, ils sont semblables .

On a alors les proportions suivantes :

$$ \frac{OA}{OT} = \frac{OT}{OC} $$

Soit finalement,

$$\overline{OA} \times \overline{OC} = \overline{OT} ^2$$

Cas 4 : Point extérieur au cercle avec deux tangentes

En reprenant notre figure précédente et en faisant tendre cette fois les points $A$ et $C$ vers un nouveau point $T'$, la droite $(OT')$ devient à son tour tangente au cercle.

En construisant ce nouveau point $T'$, on conserve l'équivalence entre les angles caractéristiques coupant le cercle.

Cette double configuration nous permet d'appliquer la propriété de puissance démontrée précédemment pour chacune des deux tangentes.

En utilisant le résultat établi dans le Cas 3, nous pouvons exprimer la relation de proportionnalité pour chacune des deux droites tangentes issues du point $O$ :

Pour la première tangente coupant le cercle en $T$, on a : $ \overline{OT}^2 = \overline{OA} \times \overline{OC} $
Pour la seconde tangente coupant le cercle en $T'$, on a de la même manière : $ \overline{OT'}^2 = \overline{OA} \times \overline{OC} $

Par transitivité de l'égalité algébrique, nous en déduisons immédiatement :

$$ \overline{OT}^2 = \overline{OT'}^2 $$

Les longueurs étant des grandeurs géométriques strictement positives, l'égalité des carrés implique l'égalité des distances. Le triangle $ OTT' $ est donc isocèle en $ O $ :

$$\overline{OT} = \overline{OT'}$$