Soit \(a \in \mathbb{Z}\) un entier relatif et \(p \in \mathbb{P}\) un nombre premier.
Le petit théorème de Fermat nous dit que :
Soit \(a \in \mathbb{Z}\) un entier relatif et \(p \in \mathbb{P}\) un nombre premier.
Essayons de montrer que la proposition suivante \((P_a)\) est vraie :
Vérifions que c'est bien vrai pour le premier terme, c'est-à-dire pour \(a = 0 \).
\((P_0)\) est vraie.
Soit \( k \in \mathbb{N} \) un entier naturel.
On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie pour tout \( k \).
Vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k + 1})\).
Calculons \( (k+1)^p\).
Avec le binome de Newton, on sait que :
Soit ici,
Or, pour tout \( p, i \), avec \( 1 \leqslant i \leqslant p \) on peut appliquer la formule du pion :
Or, on sait par le théorème de Gauss que :
Dans notre cas,
Si \( p \) divise le binôme \( \binom{p}{i} \), alors \( p \) divise aussi le membre central de \( (1) \).
Soit,
Et comme par hypothèse de recurrence,
En résumé, on a les congruences suivantes pour le calcul de \( (k+1)^p \) :
On a alors par somme des congruences que :
Par conséquent, \((P_{k + 1})\) est vraie.
Ici, il s'agit de faire la même chose dans le sens contraire, pour vérifier que c'est aussi vrai dans \( \mathbb{Z}\).
Nous allons donc cette fois vérifier que \((P_{k - 1})\) est vraie.
Calculons \( (k-1)^p \).
\(p\) étant un nombre premier par hypothèse, il sera toujours impair, donc on aura :
De la même manière, si \( p \) divise le binôme \( \binom{p}{i} \), alors \( p \) divise aussi le membre central de \( (1') \) :
Même si ce membre central comporte une alternance de termes négatifs et positifs, son quotient général \( Q \) reste dans \( \mathbb{Z} \).
Et on aura aussi, tout comme précédemment :
Soit pour résumer :
Et finalement,
\((P_{k - 1})\) est vraie.
La proposition \((P_a)\) est vraie pour son premier terme \(a_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), de manière croissante et décroissante.
Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(a \in \mathbb{Z}\).
Soit finalement,
Cela signifie donc que :
Or, on sait par le théorème de Gauss que :
Donc par ailleurs, si \((a \land p = 1)\), alors :
Soit,
Et finalement que,