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Le petit théorème de Fermat

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) un entier relatif et \(p \in \mathbb{P}\) un nombre premier.

Le petit théorème de Fermat nous dit que :

Démonstration

1. Par récurrence

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) un entier relatif et \(p \in \mathbb{P}\) un nombre premier.

Essayons de montrer que la proposition suivante \((P_a)\) est vraie :

$$ \forall a \in \mathbb{Z}, \enspace p \in \mathbb{P}, $$
$$ a^p \equiv a \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] \qquad (P_a) $$

1. Calcul du premier terme

Vérifions que c'est bien vrai pour le premier terme, c'est-à-dire pour \(a = 0 \).

$$ 0^p \hspace{0.2em} \equiv \hspace{0.2em} 0 \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] $$

\((P_0)\) est vraie.

2. Vérification de l'hérédité

1. Dans l'ensemble des entiers naturels \( : \mathbb{N} \)

Soit \( k \in \mathbb{N} \) un entier naturel.

On suppose que la proposition \((P_k)\) est vraie pour tout \( k \).

$$ k^p \equiv k \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] \qquad (P_{k}) $$

Vérifions que c'est bien le cas pour \((P_{k + 1})\).

$$ (k+1)^p \equiv k+1 \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] \qquad (P_{k + 1}) $$

Calculons \( (k+1)^p\).

Avec le binome de Newton, on sait que :

$$\forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall (a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2,$$

$$ (a + b)^n = \sum_{p = 0}^n \binom{n}{p} a^{n-p}b^p $$

Soit ici,

$$ (k+1)^p = k^p + \sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p}{i} k^{p-i} + 1 \qquad (1) $$

Or, pour tout \( p, i \), avec \( 1 \leqslant i \leqslant p \) on peut appliquer la formule du pion :

$$ \binom{p}{i} = \frac{p}{i} \binom{p-1}{i-1} $$
$$ i \binom{p}{i} = p \binom{p-1}{i-1} $$

Or, on sait par le théorème de Gauss que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, \enspace a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$

Dans notre cas,

$$ \forall i \in \hspace{0.04em} 1 \leqslant i \leqslant (p-1),$$
$$ p / i\binom{p}{i} \enspace et \enspace p \wedge i = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} p / \binom{p}{i} $$

Si \( p \) divise le binôme \( \binom{p}{i} \), alors \( p \) divise aussi le membre central de \( (1) \).

$$ (k+1)^p = k^p + \enspace \underbrace{\sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p}{i} k^{p-i} } _\text{\( = \hspace{0.2em} pQ, \hspace{0.4em} avec \hspace{0.4em} Q \hspace{0.1em} \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \)} \hspace{0.1em} + 1 \qquad (1) $$

Soit,

$$ \sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p}{i} k^{p-i} \equiv 0 \bigl[p\bigr] $$

Et comme par hypothèse de recurrence,

$$ k^p \equiv k \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] \qquad (P_k) $$

En résumé, on a les congruences suivantes pour le calcul de \( (k+1)^p \) :

$$ (k+1)^p = \underbrace{ k^p } _\text{\( \equiv \hspace{0.2em} k \hspace{0.2em} [p] \)} + \enspace \underbrace{\sum_{i = 1}^{p-1} \binom{p}{i} k^{p-i} } _\text{\( \equiv \hspace{0.2em} 0 \hspace{0.2em} [p] \)} \hspace{0.2em} + 1 $$

On a alors par somme des congruences que :

$$ (k+1)^p \equiv k + 1 \bigl[p\bigr] \qquad (P_{k + 1}) $$

Par conséquent, \((P_{k + 1})\) est vraie.

2. Dans l'ensemble des entiers relatifs : \( \mathbb{Z} \)

Ici, il s'agit de faire la même chose dans le sens contraire, pour vérifier que c'est aussi vrai dans \( \mathbb{Z}\).

Nous allons donc cette fois vérifier que \((P_{k - 1})\) est vraie.

$$ (k-1)^p \equiv k - 1 \bigl[p\bigr] \qquad (P_{k - 1}) $$

Calculons \( (k-1)^p \).

$$ (k-1)^p = k^p + \sum_{i = 1}^{p-1} (-1)^i \binom{p}{i} k^{p-i} + (-1)^p \qquad (P_{k - 1}) $$

\(p\) étant un nombre premier par hypothèse, il sera toujours impair, donc on aura :

$$ (k-1)^p = k^p + \sum_{i = 1}^{p-1} (-1)^i \binom{p}{i} k^{p-i} -1 \qquad (1') $$

De la même manière, si \( p \) divise le binôme \( \binom{p}{i} \), alors \( p \) divise aussi le membre central de \( (1') \) :

$$ (k-1)^p = k^p + \enspace \underbrace{\sum_{i = 1}^{p-1} (-1)^i \binom{p}{i} k^{p-i} } _\text{\( = \hspace{0.2em} pQ, \hspace{0.4em} avec \hspace{0.4em} Q \hspace{0.1em} \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z} \)}\hspace{0.2em} - 1 \qquad (1') $$

Même si ce membre central comporte une alternance de termes négatifs et positifs, son quotient général \( Q \) reste dans \( \mathbb{Z} \).

Et on aura aussi, tout comme précédemment :

$$ k^p \equiv k \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] \qquad (P_k) $$

Soit pour résumer :

$$ (k-1)^p = \underbrace{ k^p } _\text{\( \equiv \hspace{0.2em} k \hspace{0.2em} [p] \)} + \enspace \underbrace{\sum_{i = 1}^{p-1} (-1)^i \binom{p}{i} k^{p-i} } _\text{\( \equiv \hspace{0.2em} 0 \hspace{0.2em} [p] \)} \hspace{0.2em} - 1 $$

Et finalement,

$$ (k-1)^p \equiv k - 1 \bigl[p\bigr] \qquad (P_{k - 1}) $$

\((P_{k - 1})\) est vraie.

3. Conclusion

La proposition \((P_a)\) est vraie pour son premier terme \(a_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{Z}\), de manière croissante et décroissante.

Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(a \in \mathbb{Z}\).




Soit finalement,

$$ \forall a \in \mathbb{Z}, \enspace p \in \mathbb{P}, $$
$$ a^p \equiv a \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] \qquad \bigl(\text{Petit théorème de Fermat} \bigr) $$

Cela signifie donc que :

$$ p / (a^p - a) \Longrightarrow p / a(a^{p - 1} - 1) $$

Or, on sait par le théorème de Gauss que :

$$ \forall (a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, \enspace a / bc \enspace et \enspace a \wedge b = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a/c $$

Donc par ailleurs, si \((a \land p = 1)\), alors :

$$ p / (a^{p - 1} - 1) $$

Soit,

$$ a^{p - 1} - 1 \equiv 0 \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] $$

Et finalement que,

$$ \forall a \in \mathbb{Z}, \enspace p \in \mathbb{P}, \enspace (a \land p = 1), $$
$$ a^{p - 1} \equiv 1 \hspace{0.2em} \bigl[p\bigr] $$

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