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La dérivabilité d'une fonction

La dérivée est une notion clef dans l’analyse de fonctions, car elle sous-tend toute la science physique.

Notion de dérivabilité

Soit une fonction \( f :x \longmapsto f(x) \) continue sur son ensemble de définition.

  1. Nombre dérivé
  2. On appelle \( f'(a) \) le nombre dérivé de la fonction \( f \) au point \( (x=a )\) tel que :

    $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

    Si (et seulement si) ce nombre existe, on dit alors que \( f \) est dérivable en un point \(a\).

    $$ f \text{ est dérivable en } a \Longleftrightarrow \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}= f'(a) \in \mathbb{R} $$

    En déterminant l'expression générale de la fonction dérivée \(f'\), on pourra définir où est-ce que la fonction \(f\) est dérivable.

  3. Fonction dérivée
  4. La fonction \(f'\), dérivée de la \( f \) s'exprime ainsi :

    $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

    C'est la limite du taux de variation quand \( h \to 0 \).

    On pourra aussi la retrouver sous cette forme :

    $$ f'(x) = \lim_{x \to a} \enspace \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

    À ce moment-là, ce sera la limite du taux de variation quand \( x \to a \).

    Notion de dérivabilité - deux cas principaux
La dérivabilité implique la continuité
$$ f \text{ est dérivable en } a \Longrightarrow f \text{ est continue en } a $$
Le signe de la dérivée indique le sens de variation
$$ \forall x \in \bigl[a,b \bigr], \ f'(x) \geqslant 0 \ \Longleftrightarrow f \text{ est croissante sur } \bigl[a,b \bigr] $$
$$ \forall x \in \bigl[a,b \bigr], \ f'(x) \leqslant 0 \ \Longleftrightarrow f \text{ est décroissante sur } \bigl[a,b \bigr] $$

De plus, si et seulement si \(f'\) change de signe entre avant et après un certain point \(a\), la fonction \(f\) admet un extremum local en ce point.

Dérivabilité - extremum local
$$ f'(x) \text{ change de signe avant et après } (x=a) \Longleftrightarrow f \text{ admet un extremum en } (x=a) $$
Équation de la tangente au point a

Nous avons dans la définition de la dérivée que le nombre dérivé correspondait à la pente de la tangente à la courbe d'une fonction.

Cette droite admet pour équation au point d'abscisse \((x = a)\) :

$$ T_{a}(x) = f'(a)(x - a) + f(a) $$

De plus, dans le cas d'une fonction convexe (resp. concave), cette tangente se situe toujours au dessous (resp. au dessus) de la courbe.

$$f \text{ est convexe sur } \bigl[a,b \bigr] \Longleftrightarrow f(x) \geqslant f'(a)(x - a) + f(a) $$
$$f \text{ est concave sur } \bigl[a,b \bigr] \Longleftrightarrow f(x) \leqslant f'(a)(x - a) + f(a)$$
Lien entre développement limité d'ordre 1 et dérivabilité
$$ f \text{ est dérivable en } a \ \Longleftrightarrow \ f \text{ admet un développement limité d'ordre 1 en } a $$

Démonstrations

Notion de dérivabilité

Soit une fonction \( f :x \longmapsto f(x) \), continue sur un intervalle \( [a, \ a+h] \).

Nous y situons deux points sur l’axe des abscisses, \( a \) et \( a +h \) (\( h \) étant une distance relativement petite). Leur image étant respectivement \( f(a) \) et \( f(a + h) \), on obtient deux points : \( A(a; f(a)) \) et \( B(a + h; f(a + h)) \).

On a de même tracé la droite qui les relie telle que la figure suivante :

Première approximation de la dérivée

On peut alors calculer une pente moyenne de la variation de cette fonction entre \( A \) et \( B \).

  1. Nombre dérivé

    1. Calcul de la pente entre \(A\) et \(B\)
    2. Cette pente, nous pouvons la calculer avec la formule suivante :

      $$ m = \frac{ \Delta _y}{\Delta _x}$$

      $$ m = \frac{ y_B- y_A}{x_B- x_A}$$

      Calcul de la pente entre A et B

      Dans notre cas, cela donne :

      $$ m = \frac{f(a+h) - f(a)}{ a + h -a} $$

      Soit :

      $$ m = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \qquad (1) $$
    3. Réduction de la distance \(AB\)
    4. Nous allons alors réduire petit à petit cette distance \( h \) qui sépare nos deux points sur l’axe des abscisses, en faisant tendre progressivement le point \(B\) vers le point \(A\).

      Réduction de la distance entre A et B

      Nous voyons que les valeurs de \( a \) et \( (a + h) \) commencent à se rapprocher, et la droite qui relie les points \( A \) et \( B \) commencent à dessiner une tangente à la courbe.

    5. Réduction à une distance infinitésimale
    6. De la même manière, nous allons encore réduire la distance \( h \), celle-ci commence à tendre vers \( 0 \).

      Réduction à une distance infinitésimale

      On voit à présent que les deux points \( A \) et \( B \) sont quasiment confondus, et que nous obtenons alors une tangente quasi-parfaite à la courbe au point d'abscisse \( a \).

    7. Nombre dérivé d'une fonction au point \(a\)
    8. En imaginant que \( h \) devient de plus en plus petit et s’approche de \( 0 \), notre formule \( (1) \) peut s'exprimer sous forme de limite :

      $$ m = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$

      Ce nombre \( m\) obtenu, pour un \( a \) choisi arbitrairement, sera appelé le nombre dérivé de la fonction \( f \) au point \( a \). Il sera noté \( f'(a) \).

      $$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

      Si ce nombre n'est pas calculable, la dérivée n'est pas définie en ce point \( a \).

      Maintenant, si (et seulement si) ce nombre existe, on dit alors que \( f \) est dérivable en un point \(a\).

      $$ f \text{ est dérivable en } a \Longleftrightarrow \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}= f'(a) \in \mathbb{R} $$

      En déterminant l'expression générale de la fonction dérivée \(f'\), on pourra définir où est-ce que la fonction \(f\) est dérivable.

  2. Fonction dérivée

  3. Et par généralisation, c'est-à-dire pour tout \( x \), on appelle \( f' \) la fonction dérivée de la fonction \( f \).

    $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

    L'ensemble de définition de \( f' \) dépendra alors de son expression, et sera restreint au maximum l'ensemble de définition de la fonction \( f \).

    Par exemple, la fonction \( ln(x) \) n'est définie que sur \(\mathbb{R^*_+}\).

    Alors, sa dérivée :

    $$ ln(x)' = \frac{1}{x} $$

    est elle aussi restreinte (a minima) à cet intervalle de départ, tandis que la fonction \( f: x \longmapsto \frac{1}{x} \) est normalement définie sur \(\mathbb{R^*}\), qui est un intervalle plus large.

    On dit que la dérivée est la limite du taux de variation quand \( h \) tend vers \( 0 \).

    On pourra aussi la retrouver sous cette forme :

    $$ f'(x) = \lim_{x \to a} \enspace \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

    À ce moment-là, ce sera la limite du taux de variation quand \( x \to a \).

    Notion de dérivabilité - deux cas principaux

En physique, on pourra aussi utiliser la notation différentielle de Leibniz \( \frac{df}{dx} \), ou celle de Newton \( \overset{.}{f} \).

Particulièrement pour le calcul intégral, il est pratique d'utiliser celle de Leibniz.

La dérivabilité implique la continuité

On a vu que si une fonction est dérivable en un point \( a\), alors :

$$ \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}= f'(a) \in \mathbb{R} $$

Par suite,

$$ \lim_{h \to 0} \ f(a+h) = hf'(a) + f(a) $$
$$ \lim_{h \to 0} \ f(a+h) = f(a)$$

Ce qui implique la continuité de la fonction \( f \) au point \( x = a\).

$$ f \text{ est dérivable en } \Longrightarrow f \text{ est continue en } a $$

Le signe de la dérivée indique le sens de variation

Soit une fonction \(f\) continue et positive sur \(\bigl[a,b \bigr]\), et dérivable sur \( \hspace{0.1em} ]a,b[\).

De même, soient \( (x_1, x_2) \in \hspace{0.1em} ]a,b[ \), deux points intérieurs à \( \hspace{0.1em} ]a,b[\) dans cet ordre.

D'après le théorème des accroissements finis :

$$ f \ continue \ sur \ \bigl[a,b \bigr] \text{ et } dérivable \ sur \ ]a,b[ \ \Longrightarrow \ \exists c \in \hspace{0.05em} ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}$$

Dans notre cas,

$$ \forall (x_1, x_2) \in \hspace{0.1em} ]a,b[ ,$$
$$ \exists x_3 \in \hspace{0.05em} ]x_1, x_2[, \ f'(x_3) = \frac{ f(x_2) - f(x_1)}{x_2-x_1}$$
Dérivabilité - sens de variations

L'intervalle \((x_2-x_1)\) étant toujours positif, si la fonction \(f\) est croissante sur \(\bigl[a,b \bigr]\), elle l'est donc aussi sur \(]x_1, x_2[\), et dans ce cas :

$$ f(x_2) - f(x_1) \geqslant 0 \Longleftrightarrow f'(x_3) \geqslant 0 $$

La dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) sera alors positive pour tout \( x \in \bigl[a,b \bigr]\).

Le même raisonnement s'applique pour une fonction décroissante.

$$ \forall x \in \bigl[a,b \bigr], \ f'(x) \geqslant 0 \ \Longleftrightarrow f \text{ est croissante sur } \bigl[a,b \bigr] $$
$$ \forall x \in \bigl[a,b \bigr], \ f'(x) \leqslant 0 \ \Longleftrightarrow f \text{ est décroissante sur } \bigl[a,b \bigr] $$

De plus, si et seulement si \(f'\) change de signe entre avant et après un certain point \(a\), la fonction \(f\) admet un extremum local en ce point.

Dérivabilité - extremum local
$$ f'(x) \text{ change de signe avant et après } (x=a) \Longleftrightarrow f \text{ admet un extremum local en } (x=a) $$

À adapter selon les deux cas possibles :

$$ \Bigl[ \left(f'(x) > 0 \right) \text{ avant } a \text{ puis } \left(f'(x) < 0 \right) \text{ après } a \Bigr] \Longleftrightarrow f \text{ admet un maximum local en } (x=a) $$
$$ \Bigl[ \left(f'(x) < 0 \right) \text{ avant } a \text{ puis } \left(f'(x) > 0 \right) \text{ après } a \Bigr] \Longleftrightarrow f \text{ admet un minimum local en } (x=a) $$

Équation de la tangente au point a

Représentons un schéma d'une fonction et de sa tangente, issu du nombre dérivé au point d'abscisse \(a\).

Équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse a

Le point \(a\) a alors pour image \( f(a)\) ou \( T_a(a)\) puisque par définition, une tangente est un point d'intersection.

On a de même placé un point théorique \( M(x; T_a(x))\) sur la tangente à la courbe.

En appliquant le calcul de la pente pour les points \( A \) et \( B \), on a :

$$ m = \frac{ \Delta y}{\Delta x}$$
$$ m = \frac{ T_a(x) - T_a(a)}{x - a} \qquad (2) $$

Or, on sait que la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse \( a \) est la même chose que le nombre dérivé en \( a \):

$$ m = f'(a) \qquad (3) $$

Soit, en injectant \( (3) \) dans \( (2) \),

$$ f'(a) = \frac{ T_a(x) - T_a(a)}{x - a}$$
$$ f'(a)(x - a) = T_a(x) - T_a(a) $$

Et comme \( T_a(a) = f(a) \),

$$ f'(a)(x - a) = T_a(x) - f(a) $$

La tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\) admet pour équation :

$$ T_{a}(x) = f'(a)(x - a) + f(a) $$

Par ailleurs, dans le cas d'une fonction convexe, au sein d'un intervalle \(I = [a, b]\), toute corde allant de part et d'autre de ces deux points se situe au-dessus de la courbe.

Sa tangente ne peut alors qu'être au-dessous :

$$ f(x) \geqslant T_{a}(x) $$
$$f \text{ est convexe sur } \bigl[a,b \bigr] \Longleftrightarrow f(x) \geqslant f'(a)(x - a) + f(a) $$
$$f \text{ est concave sur } \bigl[a,b \bigr] \Longleftrightarrow f(x) \leqslant f'(a)(x - a) + f(a)$$

Et l'inégalité sera inversée dans le cas d'une fonction concave.

Lien entre développement limité d'ordre 1 et dérivabilité

On a vu plus haut que l'équation de la tangente en un point \(a\) valait :

$$ T_{a}(x) = f'(a)(x - a) + f(a) $$

Alors, on peut représenter la courbe de cette tangente \(T_a\), avec celle de la fonction d'étude \(f\), et remarquer que pour tout point quelconque \(M(x, y)\), il existe une différence \(\varepsilon_a(x)\) entre ces deux fonctions.

Dérivabilité - lien avec les développements limité d'ordre 1
  1. Implication de gauche à droite
  2. Si une fonction \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(1\) en \(a\) \((DL_n(a))\), alors au voisinage de \((x = a) \) :

    $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + o(x-a) $$
    $$ \Bigl( \text{où} \enspace o(x-a) = (x-a) \varepsilon(x) \qquad \bigl(avec \enspace \lim_{x \to a} \ \varepsilon(x) = 0 \bigr) \Bigr) $$

    Ce qui implique l'existence de \(f'(a)\). Alors,

    $$ f \text{ admet un développement limité d'ordre 1 en } a \ \Longrightarrow \ f \text{ est dérivable en } a$$
  3. Réciproque
  4. Si maintenant la fonction est dérivable en \(a\), alors comme l'illustre bien la figure précédente :

    $$ \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \frac{T_a(x) + \varepsilon_a(x) - f(a) }{x-a} $$

    En remplaçant \(T_a(x)\) par sa valeur, on obtient :

    $$ \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \frac{f'(a)(x - a) + f(a) + \varepsilon_a(x) - f(a)}{x-a} $$
    $$ f(x) - f(a) = f'(a)(x - a) + \varepsilon_a(x)(x-a) $$

    Et finalement,

    $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \varepsilon_a(x)(x-a) $$

    Et comme au point \((x=a)\), on a \(f(x) = T_a (x)\), on a bien aussi :

    $$\lim_{x \to a} \ \varepsilon_a(x) = 0 $$

    Ce qui est la définition d'un développement limité à l'ordre \(1\). Alors,

    $$ f \text{ est dérivable en } a \ \Longrightarrow \ f \text{ admet un développement limité d'ordre 1 en } a$$
  5. Conclusion
  6. Les deux implications précédentes donnent lieu à une équivalence, soit :

    $$ f \text{ est dérivable en } a \Longleftrightarrow \ f \text{ admet un développement limité d'ordre 1 en } a $$

Exemple

  1. Le signe de la dérivée indique le sens de variation

  2. Étudions les variations de la fonction \(f\) suivante :

    $$f(x) = \frac{1}{x} - 2\sqrt{x} $$

    Cette fonction est uniquement définie sur : \( D_f = \ ] 0, +\infty[\).

    On calcule sa dérivée \(f'\).

    $$f(x) = \hspace{0.1em} \underbrace{-\frac{1}{x^2}} _\text{ \( < \hspace{0.2em} 0\)} - \hspace{0.1em} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}} } _\text{ \( < \hspace{0.2em} 0\)} $$

    \(f'(x)\) est toujours négative sur \(D_f\).

    Alors, \(f(x)\) sera décroissante dans cette intervalle.

    $$ x $$
    $$ 0 $$
    $$ \dots $$
    $$ +\infty $$
    $$ signe \ de \ f' $$
    $$ \bigl [-\infty \bigr] $$
    $$- $$
    $$ \bigl [ 0^- \bigr] $$
    $$ variations \ de \ f $$
    $$ \bigl [+\infty\bigr] $$
    $$ \bigl [-\infty \bigr] $$

    Par ailleurs on a :

    $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \lim_{x \to 0} \ f(x) = +\infty \\ \lim_{x \to +\infty} \ f(x) = -\infty \end{gather*} $$
    $$ \Biggl \{ \begin{gather*} \lim_{x \to 0} \ f'(x) = -\infty \\ \lim_{x \to +\infty} \ f'(x) = \hspace{0.1em} 0^- \end{gather*} $$
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