La dérivabilité d'une fonction

Démonstrations

Notion de dérivabilité

Soit une fonction \( f :x \longmapsto f(x) \), continue sur un intervalle \( [a, \ a+h] \).

Nous y situons deux points sur l’axe des abscisses, \( a \) et \( a +h \) (\( h \) étant une distance relativement petite). Leur image étant respectivement \( f(a) \) et \( f(a + h) \), on obtient deux points : \( A(a; f(a)) \) et \( B(a + h; f(a + h)) \).

On a de même tracé la droite qui les relie telle que la figure suivante :

On peut alors calculer une pente moyenne de la variation de cette fonction entre \( A \) et \( B \).

1. Nombre dérivé

1. Calcul de la pente entre \(A\) et \(B\)

Cette pente, nous pouvons la calculer avec la formule suivante :

$$ m = \frac{ \Delta _y}{\Delta _x} $$
$$ m = \frac{ y_B- y_A}{x_B- x_A} $$


Dans notre cas, cela donne :

$$ m = \frac{f(a+h) - f(a)}{ a + h -a} $$

Soit :

$$ m = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \qquad (1) $$
2. Réduction de la distance \(AB\)

Nous allons alors réduire petit à petit cette distance \( h \) qui sépare nos deux points sur l’axe des abscisses, en faisant tendre progressivement le point \(B\) vers le point \(A\).



Nous voyons que les valeurs de \( a \) et \( (a + h) \) commencent à se rapprocher, et la droite qui relie les points \( A \) et \( B \) commencent à dessiner une tangente à la courbe.

3. Réduction à une distance infinitésimale

De la même manière, nous allons encore réduire la distance \( h \), celle-ci commence à tendre vers \( 0 \).



On voit à présent que les deux points \( A \) et \( B \) sont quasiment confondus, et que nous obtenons alors une tangente quasi-parfaite à la courbe au point d'abscisse \( a \).

4. Nombre dérivé d'une fonction au point \(a\)

En imaginant que \( h \) devient de plus en plus petit et s’approche de \( 0 \), notre formule \( (1) \) peut s'exprimer sous forme de limite :

$$ m = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$

Ce nombre \( m\) obtenu, pour un \( a \) choisi arbitrairement, sera appelé le nombre dérivé de la fonction \( f \) au point \( a \). Il sera noté \( f'(a) \).

$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Si ce nombre n'est pas calculable, la dérivée n'est pas définie en ce point \( a \).

Maintenant, si (et seulement si) ce nombre existe, on dit alors que \( f \) est dérivable en un point \(a\).

$$ f \text{ est dérivable en } a \Longleftrightarrow \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(a+h) - f(a)}{h}= f'(a) \in \mathbb{R} $$

En déterminant l'expression générale de la fonction dérivée \(f'\), on pourra définir où est-ce que la fonction \(f\) est dérivable.

2. Fonction dérivée

Et par généralisation, c'est-à-dire pour tout \( x \), on appelle \( f' \) la fonction dérivée de la fonction \( f \).

$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \enspace \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

L'ensemble de définition de \( f' \) dépendra alors de son expression, et sera restreint au maximum l'ensemble de définition de la fonction \( f \).

Par exemple, la fonction \( ln(x) \) n'est définie que sur \(\mathbb{R^*_+}\).

Alors, sa dérivée :

$$ ln(x)' = \frac{1}{x} $$

est elle aussi restreinte (a minima) à cet intervalle de départ, tandis que la fonction \( f: x \longmapsto \frac{1}{x} \) est normalement définie sur \(\mathbb{R^*}\), qui est un intervalle plus large.

On dit que la dérivée est la limite du taux de variation quand \( h \) tend vers \( 0 \).

On pourra aussi la retrouver sous cette forme :

$$ f'(x) = \lim_{x \to a} \enspace \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

À ce moment-là, ce sera la limite du taux de variation quand \( x \to a \).

En physique, on pourra aussi utiliser la notation différentielle de Leibniz \( \frac{df}{dx} \), ou celle de Newton \( \overset{.}{f} \).

Particulièrement pour le calcul intégral, il est pratique d'utiliser celle de Leibniz.

La dérivabilité implique la continuité

On a vu que si une fonction est dérivable en un point \( a\), alors :

Par suite,

Ce qui implique la continuité de la fonction \( f \) au point \( x = a\).

Le signe de la dérivée indique le sens de variation

Soit une fonction \(f\) continue et positive sur \(\bigl[a,b \bigr]\), et dérivable sur \( \hspace{0.1em} \bigl ]a,b \bigr[\).

De même, soient \( (x_1, x_2) \in \hspace{0.1em} \bigl ]a,b \bigr[ \), deux points intérieurs à \( \hspace{0.1em} \bigl ]a,b \bigr[\) dans cet ordre.

Dans notre cas,

L'intervalle \((x_2-x_1)\) étant toujours positif, si la fonction \(f\) est croissante sur \(\bigl[a,b \bigr]\), elle l'est donc aussi sur \(]x_1, x_2[\), et dans ce cas :

La dérivée \(f'\) de la fonction \(f\) sera alors positive pour tout \( x \in \bigl[a,b \bigr]\).

Le même raisonnement s'applique pour une fonction décroissante.

De plus, si et seulement si \(f'\) change de signe entre avant et après un certain point \(a\), la fonction \(f\) admet un extremum local en ce point.

À adapter selon les deux cas possibles :

Équation de la tangente au point a

Représentons un schéma d'une fonction et de sa tangente, issu du nombre dérivé au point d'abscisse \(a\).

Le point \(a\) a alors pour image \( f(a)\) ou \( T_a(a)\) puisque par définition, une tangente est un point d'intersection.

On a de même placé un point théorique \( M(x; T_a(x))\) sur la tangente à la courbe.

En appliquant le calcul de la pente pour les points \( A \) et \( B \), on a :

Soit, en injectant \( (3) \) dans \( (2) \),

Et comme \( T_a(a) = f(a) \),

La tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\) admet pour équation :

Par ailleurs, dans le cas d'une fonction convexe, au sein d'un intervalle \(I = \bigl[a, b \bigr]\), toute corde allant de part et d'autre de ces deux points se situe au-dessus de la courbe.

Sa tangente ne peut alors qu'être au-dessous :

Et l'inégalité sera inversée dans le cas d'une fonction concave.

Lien entre développement limité d'ordre 1 et dérivabilité

On a vu plus haut que l'équation de la tangente en un point \(a\) valait :

Alors, on peut représenter la courbe de cette tangente \(T_a\), avec celle de la fonction d'étude \(f\), et remarquer que pour tout point quelconque \(M(x, y)\), il existe une différence \(\varepsilon_a(x)\) entre ces deux fonctions.

1. Implication de gauche à droite

Si une fonction \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(1\) en \(a\) \((DL_n(a))\), alors au voisinage de \((x = a) \) :

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + o(x-a) $$
$$ \Bigl( \text{où} \enspace o(x-a) = (x-a) \varepsilon(x) \qquad \bigl(\text{avec} \enspace \lim_{x \to a} \ \varepsilon(x) = 0 \bigr) \Bigr) $$

Ce qui implique l'existence de \(f'(a)\). Alors,

$$ f \text{ admet un développement limité d'ordre 1 en } a \ \Longrightarrow \ f \text{ est dérivable en } a$$
2. Réciproque

Si maintenant la fonction est dérivable en \(a\), alors comme l'illustre bien la figure précédente :

$$ \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \frac{T_a(x) + \varepsilon_a(x) - f(a) }{x-a} $$

En remplaçant \(T_a(x)\) par sa valeur, on obtient :

$$ \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \frac{f'(a)(x - a) + f(a) + \varepsilon_a(x) - f(a)}{x-a} $$
$$ f(x) - f(a) = f'(a)(x - a) + \varepsilon_a(x)(x-a) $$

Et finalement,

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \varepsilon_a(x)(x-a) $$

Et comme au point \((x=a)\), on a \(f(x) = T_a (x)\), on a bien aussi :

$$\lim_{x \to a} \ \varepsilon_a(x) = 0 $$

Ce qui est la définition d'un développement limité à l'ordre \(1\). Alors,

$$ f \text{ est dérivable en } a \ \Longrightarrow \ f \text{ admet un développement limité d'ordre 1 en } a$$
3. Conclusion

Les deux implications précédentes donnent lieu à une équivalence, soit :

$$ f \text{ est dérivable en } a \Longleftrightarrow \ f \text{ admet un développement limité d'ordre 1 en } a $$

---

Exemple

1. Le signe de la dérivée indique le sens de variation

Étudions les variations de la fonction \(f\) suivante :

$$f(x) = \frac{1}{x} - 2\sqrt{x} $$

Cette fonction est uniquement définie sur : \( D_f = \ ] 0, +\infty[\).

On calcule sa dérivée \(f'\).

$$f(x) = \hspace{0.1em} \underbrace{-\frac{1}{x^2}} _\text{ \( < \hspace{0.2em} 0\)} - \hspace{0.1em} \underbrace{\frac{1}{\sqrt{x}} } _\text{ \( < \hspace{0.2em} 0\)} $$

\(f'(x)\) est toujours négative sur \(D_f\).

Alors, \(f(x)\) sera décroissante dans cette intervalle.

$$ x $$	$$ 0 $$	$$ \dots $$	$$ +\infty $$
$$ signe \ de \ f' $$	$$ \bigl [-\infty \bigr] $$	$$- $$	$$ \bigl [ 0^- \bigr] $$
$$ variations \ de \ f $$	$$ \bigl [+\infty\bigr] $$		$$ \bigl [-\infty \bigr] $$

Par ailleurs on a :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \lim_{x \to 0} \ f(x) = +\infty \\ \lim_{x \to +\infty} \ f(x) = -\infty \end{gather*} $$
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} \lim_{x \to 0} \ f'(x) = -\infty \\ \lim_{x \to +\infty} \ f'(x) = \hspace{0.1em} 0^- \end{gather*} $$