Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Démonstration

Théorème de Pythagore

Soit un triangle \(\{a, \; b, \; c\}\) rectangle entre \( a\) et \( b\), tel que la figure suivante :

Pour prouver la véracité du thèorème, nous avons projeté la hauteur \( h_c\) sur l'hypoténuse \( c\).

On sait que la somme des angles d'un triangle est égal à \(\pi \enspace (180°)\) .

Dans le triangle principal formé par \(\{a, b, c\}\), on remarque que \(\alpha + \beta + \frac{\pi}{2} = \pi\).

Cette relation générale va nous permettre de déduire d'autres angles.

Dans le second triangle formé par \(\{m, \; h_c, \; a\}\), on a un angle droit et l'angle \(\beta\). Le troisième angle est alors \(\alpha\).

Enfin, dans le dernier triangle formé par \(\{h_c, \; n, \; b\}\), on a un angle droit et l'angle \(\alpha\). Le troisième angle est donc \(\beta\).

Nous les avons ajoutés à la figure suivante :

Une propriété des triangles semblables nous dit que lorsque deux triangles ont deux-à-deux les mêmes angles, ils sont semblables, et auront alors deux-à-deux leurs côtés similaires formant un même ratio.

Dans ce cas, on a les relations suivantes :

Grâce aux expressions \((1)\) et \((2)\), on a :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a^2 = cm \qquad (3) \\ b^2 = cn \qquad (4) \end{gather*} $$

Maintenant, en additionnant \((3) \) et \((4)\), on obtient :

Mais \( (m + n = c) \), soit finalement :

Réciproque du théorème de Pythagore

Pour prouver à présent la réciproque du théorème, nous disposons d'un triangle, a priori rectangle, mais partons uniquement de l'hypothèse que :

1. Par calcul de l'angle \(\gamma\), a priori droit

Nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit, en séparant l'angle \( \gamma \) en deux angles \( \gamma_a \) et \( \gamma_b \) :



Si \(\gamma\) est un angle droit, alors \(cos(\gamma) = 0\).

On sait par les formules d'addition trigonométriques que :

$$ \forall (\alpha, \beta) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2, $$

$$ cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha) cos(\beta) - sin(\alpha) sin(\beta) $$

Soit dans notre cas,

$$ cos(\gamma) = cos(\gamma_a + \gamma_b) = cos(\gamma_a) cos(\gamma_b) - sin(\gamma_a) sin(\gamma_b) $$
$$ cos(\gamma) = \frac{h_c}{a} . \frac{h_c}{b} - \frac{m}{a} . \frac{n}{b} $$
$$ cos(\gamma) = \frac{h_c^2 - mn}{ab} \qquad (5) $$

Avec les équations suivantes que l'on peut remarquer sur la figure ci-dessus,

$$ \left \{ \begin{gather*} a^2 = m^2 + h_c^2 \\ b^2 = n^2 + h_c^2 \\ c^2 = (m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2 \end{gather*} \right \} $$

on voit que notre hypothèse :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

devient :

$$ \underbrace{ m^2 + h_c^2 } _\text{\(a^2\)} \enspace + \enspace \underbrace{ n^2 + h_c^2} _\text{\(b^2\)} \enspace = \enspace \underbrace{ m^2 + 2mn + n^2 } _\text{\(c^2\)}$$
$$ 2h_c^2 + m^2 + n^2 = 2mn + m^2 + n^2 $$
$$ h_c^2 = mn $$

Et enfin,

$$ h_c^2 - mn = 0 \qquad (6) $$

En injectant \( (6) \) dans \( (5) \) on obtient :

$$ cos(\gamma) = 0 \Longleftrightarrow \Biggl \{ \gamma = \frac{\pi}{2} \ ou \ \gamma = -\frac{\pi}{2} \Biggr \} $$

On a bien montré que l'angle \( \gamma \) est un angle droit, et donc que le triangle \(\{a, b, c\}\) est rectangle entre \(a\) et \(b\).

$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore (réciproque)} \bigr) $$

2. Par comparaison des aires

De la même manière, nous allons projeter la hauteur \( h_c \) qui coupe la longueur \( c \) à angle droit.



Nous savons que la surface d'un triangle répond à la formule suivante :

$$ S_{triangle} = \frac{base \times hauteur}{2} \qquad (7) $$

Or, la surface d'un triangle tel que celui plus haut vaut :

$$ S_{triangle} = \frac{1}{2} sin(\gamma) \times a b \qquad (8) $$

Et en combinant \((7)\) et \((8)\) :

$$ \frac{c.h_c}{2} = \frac{sin(\gamma) \times a b}{2} \Longleftrightarrow c.h_c = sin(\gamma) \times a b $$

Nous allons montrer que \(sin(\gamma) = 1\) afin de montrer que le triangle est bien rectangle.

Pour cela, repartons de notre hypothèse de départ :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Soit,

$$ a^2 + b^2 = (m + n)^2 \qquad (9) $$

On sait grâce au théorème de Pythagore que dans le triangle interne \(\{a, m, h_c\}\), on a :

$$ a^2 = m^2 + h_c^2 $$

Soit que :

$$ m^2 = a^2 - h_c^2 $$

$$ m = \sqrt{ a^2 - h_c^2} \qquad (10) $$

De même, dans l'autre triangle interne, on a :

$$ n = \sqrt{ b^2 - h_c^2} \qquad (11) $$

En injectant \( (10) \) et \( (11) \) dans \( (9) \), on a :

$$ a^2 + b^2 = \left(\sqrt{ a^2 - h_c^2 } + \sqrt{ b^2 - h_c^2} \right)^2 $$

En distribuant l'égalité remarquable, on obtient :

$$ a^2 + b^2 = a^2 - h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} + b^2 - h_c^2 $$

Le membre \( (a^2 + b^2) \) est présent de chaque côté, on le retire :

$$ 0 = -2h_c^2 + 2\sqrt{ (a^2 - h_c^2)( b^2 - h_c^2)} $$
$$ 2h_c^2 = 2\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$
$$ h_c^2 = \sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4} $$

On applique un carré pour retirer la racine du membre de droite :

$$ \left(h_c^2 \right)^2 = \left(\sqrt{a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4}\right)^2 $$
$$ h_c^4 = a^2b^2 -a^2h_c^2 - b^2h_c^2 + h_c^4 $$

On peut retirer les \( h_c^4 \) présents de part et d'autre.

$$ a^2b^2 = a^2h_c^2 + b^2h_c^2 $$

On factorise :

$$ a^2b^2 = h_c^2 (a^2 + b^2) $$

Mais, nous avions comme hypothèse de départ que :

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$

Alors :

$$ a^2 \ b^2 = h_c^2 \ c^2 $$
$$ \sqrt{a^2 \ b^2} = \sqrt{h_c^2 \ c^2 } $$

Et finalement,

$$ c \ h_c = a \ b $$

Or, on avait comme résultat précédent que :

$$c \ h_c = sin(\gamma) \times a b $$

Cela implique que \(sin(\gamma)= 1\), et donc que l'angle \(\gamma\) est droit.

On a bien prouvé, que que le triangle \(\{a, b, c\}\) est rectangle entre \(a \) et \( b \). D'où :

$$ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad \bigl(\text{Théorème de Pythagore (réciproque)} \bigr) $$

Équivalence du théorème de Pythagore

Deux implications forment une équivalence.

Alors, étant données les deux implications \((I_1)\) et \((I_2)\) :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a \perp b \Longrightarrow a^2 + b^2 = c^2 \qquad (I_1)\\ a^2 + b^2 = c^2 \Longrightarrow a \perp b \qquad (I_2) \end{gather*} $$

On peut les rassembler dans une l'équivalence :

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Exemple

Le théorème de Pythagore nous permet de mesurer des distances à la fois dans un plan, mais aussi dans l'espace.

1. Calculer une longueur dans le plan

Nous disposons d'un plan \((\vec{x}, \ \vec{y}) \) dans lequel il existe deux points \( A(x_a, \ y_a )\) et \(B(x_b, \ y_b )\).



En joignant en abscisses \( x_a \) et \( x_b\), ainsi qu'en ordonnée \( y_b \) et \( y_a\), on obtient un troisième point \( C\), et par conséquent un triangle rectangle \(ABC \), rectangle en \(C \).



On peut alors y appliquer le théorème de Pythagore :

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$AB^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 $$
$$AB = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

Alors, la distance \( AB\) dans un espace à deux dimensions vaut :

$$\forall (A, B) \in \hspace{0.04em} (O, \vec{x}, \vec{y})^2, $$
$$AB = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$

2. Calculer une longueur dans l'espace

On souhaite à présent calculer une longueur \(AB \) dans un espace à trois dimensions.



On a calculé précédemment que la longueur \(AC \), sur ce nouveau schéma, vaut :

$$AC = \sqrt{ (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2} $$


Par suite, on réapplique le théorème de Pythagore dans le triangle \(ABC \) :

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$
$$AB^2 = (x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 $$
$$AB = \sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 } $$

Alors, la distance \( AB\) dans un espace à trois dimensions vaut :

$$\forall (A, B) \in \hspace{0.04em} (O, \vec{x}, \vec{y}, \vec{z})^2, $$
$$AB =\sqrt{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2 }$$