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Le théorème de Bézout nous dit que :
Le corollaire du théorème de Gauss nous dit que :
$$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*} \qquad \bigl(\text{Théorème de Bézout (corollaire)} \bigr) $$
On a de même, pour un produit simple :
$$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} $$
Et on peut ainsi généraliser ce corollaire à tout produit d'entiers relatifs :
$$ \left[ \ \prod_{i = 0}^n a_i \ \right] \wedge \Biggl[ \ \prod_{j = 0}^m b_j \ \Biggr] = 1 \Longleftrightarrow \forall (i, j) \in [\![1, n ]\!] \times [\![1, m ]\!], \enspace \Bigl \{a_i \wedge b_j = 1 \Bigr \} $$
Soient \((a, b) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2 \) deux entiers relatifs.
Prenons pour hypothèse que \(a \) et \(b \) sont premiers entre eux.
Autrement dit que,
On sait par l'identité de Bézout que :
Étant donné que nous avons comme hypothèse que \( a \wedge b = 1\), alors :
Réciproquement, prenons maintenant l'hypothèse que :
Considérons un diviseur \( d \) commun à \( a \) et à \( b\).
On sait par les propriétés de la divisibilité que :
\( d \) étant un diviseur commun à \( a \) et à \( b\), il divise \( a \), \( b \) ainsi que toute combinaison linéaire de \( a \) et de \( b \).
Or, \(au + bv = 1\), donc \( d / 1\).
Le seul nombre qui divise \( 1\) est lui-même, alors \( d = 1\).
C'est le seul diviseur commun à \( a \) et à \( b\), alors \( a \wedge b = 1 \).
Soit,
À partir des deux implications précédentes, il en résulte une équivalence,
Soient \((a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3 \) trois entiers relatifs.
Si \(a \wedge bc = 1 \), alors avec le théorème de Bézout, on a :
Et dans ce cas :
Et finalement,
$$ a \wedge bc = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*} $$
Si on a : \( \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*}\)
Alors, toujours avec le théorème de Bézout,
$$ \exists (u, v, u', v') \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^4, \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} au + bv = 1 \hspace{2.8em} (1) \\ au' + cv' = 1 \qquad (2) \end{gather*} $$
En effectuant le produit \((1) \times (2) \), on a :
$$ a U + bcV = 1 \Longleftrightarrow a \wedge bc = 1 , \enspace avec \enspace \Biggl \{ \begin{gather*} U = uau' + ucv' + bvu'\\ V = vv' \end{gather*} $$
Soit,
$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a \wedge b = 1 \\ a \wedge c = 1 \end{gather*} \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} a \wedge bc = 1 $$
À partir des deux implications précédentes, il en résulte l'équivalence suivante :
Si à présent nous prenons comme hypothèse que \(ab \wedge cd = 1 \), alors avec le théorème de Bézout, on a :
Et dans ce cas, peut réappliquer quatre fois le théorème à partir de cette équivalence :
$$ \left \{ \begin{gather*} a(bu) + c(dv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge c = 1 \\ a(bu) + d(cv) = 1 \Longleftrightarrow a \wedge d = 1 \\ b(au) + c(dv) = 1 \Longleftrightarrow b \wedge c = 1 \\ b(au) + d(cv) = 1 \Longleftrightarrow b \wedge d = 1 \end{gather*} \right \}$$
Et finalement,
$$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} $$
Si l'on repart à présent de l'implication précédente et que l'on tente de vérifer sa réciproque, on a comme hypothèse que :
$$ \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} $$
En appliquant le théorème de Bézout, on a :
$$ \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} \Longleftrightarrow $$
$$ \exists (u_1, v_1, u_2, v_2, u_3, v_3, u_4, v_4) \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^8, \enspace \left \{ \begin{gather*} au_1 + cv_1 = 1 \\ au_2 + dv_2 = 1 \\ bu_3 + cv_3 = 1 \\ bu_4 + dv_4 = 1 \\ \end{gather*} \right \}$$
En effet, en effectuant la multiplication de ces quatre expressions ensemble :
En distribuant toute cette expression, on obtiendra un arbre de ce type, où chaque terme contiendra soit \(ab\), soit \(cd\) :
tel que, après avoir regroupé tous les termes selon \(ab\) ou \(cd\) : \(\exists (U, V) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^2, \ abU + cdV = 1\).
En effet, pour démontrer plus simplement que tous les chemins possibles des suites de multiplications contiendront au moins une fois \(\textcolor{#AF5F5F}{ab}\) ou \(\textcolor{#4A8051}{cd}\), on peut utiliser les règles de logique booléennes :
Avec le schéma ci-dessus montrant tous les chemins possibles, on voit que \(\mathbb{E}\), l'ensemble des chemins possibles vaut :
Les expressions \(\cup\) et \(\cap\) étant associatives, on peut écrire :
On factorise maintenant les deux expressions entre crochets :
On factorise une deuxième fois :
On aura bien pour chaque terme au moins une fois \(\textcolor{#AF5F5F}{ab}\) ou \(\textcolor{#4A8051}{cd}\).
À partir des deux implications précédentes, il en résulte l'équivalence suivante :
$$ ab \wedge cd = 1 \hspace{0.2em} \Longleftrightarrow \hspace{0.2em} \left \{ \begin{gather*} a \wedge c = 1 \\ a \wedge d = 1 \\ b \wedge c = 1 \\ b \wedge d = 1 \\ \end{gather*} \right \} $$
En appliquant le raisonnement précédent mais à tout produit, on peut alors alors généraliser ce corollaire en disant que :
$$ \left[ \ \prod_{i = 0}^n a_i \ \right] \wedge \Biggl[ \ \prod_{j = 0}^m b_j \ \Biggr] = 1 \Longleftrightarrow \forall (i, j) \in [\![1, n ]\!] \times [\![1, m ]\!], \enspace \Bigl \{a_i \wedge b_j = 1 \Bigr \} $$
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