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La suite de Fibonacci s'exprime de manière récurrente par :
En voici les premiers termes :
Le terme général de la suite de Fibonacci \((F_n)\) vaut :
La suite de Fibonacci s'exprime de manière récurrente par :
On sait que le terme général d'une suite récurrente d'ordre 2, combinaison linéaire de ces termes précédents peut être déterminé par :
Dans notre cas : \((p = q = 1)\).
Alors,
Où les coefficients \((\alpha, \ \beta)\) sont les solutions de \((E_c)\) :
On résoud alors :
Comme nous sommes face à une équation du second degré, on calcule d'abord le discriminant \((\Delta)\) :
Comme \((\Delta > 0)\), on a deux racines distinctes :
Par souci de simplicité, posons \(\varphi\), aussi appelé le nombre d'or :
De sorte que :
Alors, le terme général de la suite \((F_n)\) s'écrit :
Déterminons maintenant les coefficients \((A, \ B)\) grâce aux deux premiers termes de la suite. On sait que :
Alors,
Ce qui nous amène à résoudre le système \((\mathcal{S})\) :
En faisant la différence des deux lignes, on a :
Maintenant, en reprenant la première du système de départ, on y injecte la valeur de \(B\) :
Finalement, le terme général de la suite de Fibonacci \((F_n)\) vaut :
À partir de l'équation caractéristique \((E_c)\) vue précédemment :
Comme le nombre d'or \((\varphi)\) est solution, on peut écrire la relation suivante pour \(\varphi^2\) :
Par ailleurs, il est vrai que \((1 - \varphi)\) est aussi solution.
Mais en développant on se rend compte que cela revient au même :
En multipliant les deux membres par \(\varphi\), on obtient :
On voit que la relation de récurrence est assez évidente.
Tentons alors de démontrer par une récurrence double que :
Pour \((k = 0) \), c'est la formule précédente déjà avérée \((\varphi^2)\) :
Pour \((k = 1) \), on veut montrer que \((P_1)\) est vraie :
Alors, les deux propositions \((P_0)\) et \((P_1)\) sont vraies.
À partir de \((P_k)\) :
La relation de récurrence est directe en multipliant par \(\varphi\) :
Alors, les deux propositions \((P_{k + 1})\) et \((P_{k + 2})\) sont vraies.
La proposition \((P_n)\) est vraie pour ses deux premiers termes, \(n_0 = 0\) et \(n_1 = 1\), et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
Par le principe de récurrence double, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Alors :
En reprenant l'expression \((\varphi^3)\), verifiée plus haut :
Si l'on remplace \(\varphi^2\) par son autre valeur :
De même, si l'on continue ainsi avec \(\varphi^4\) :
On voit alors apparaître les termes de la suite de Fibonacci :
Notamment, dans \((\varphi^3)^*\) et \((\varphi^4)^*\) où :
Une deuxième fois, on est tenté de démontrer que récurrence que :
Pour \((k = 0) \) :
Alors, la proposition \((Q_0)\) est vraie.
On souhaite établir la relation :
Partons de \((Q_k)\) et multiplions par \(\varphi\) :
On a bien montré que si \((Q_{k})\) est vraie, alors \((Q_{k + 1})\) l'était aussi.
La proposition \((Q_n)\) est vraie pour son premier terme \(n_0 = 0\) et est héréditaire de proche en proche pour tout \(k \in \mathbb{N}\).
Par le principe de récurrence, elle ainsi est vraie pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Alors,
En reprenant l'expression déjà démontrée de \(\varphi^2\) :
En passant à la racine carrée :
Comme \(\varphi\) est exprimé en fonction de lui-même, on peut l'auto-injecter :
Et ainsi de suite...
De même que plus haut, on repart aussi de \(\varphi^2\) :
En divisant par \(\varphi\), on a maintenant :
Et par conséquent :
De la même manière, on exprime \(\varphi\) en fonction de lui-même, et on l'auto-injecte :
Et ainsi de suite...
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