Les propriétés des séries convergentes
$$ \forall a_n, \enspace \forall \lambda \in \hspace{0.05em} \mathbb{R},$$
-
Si les deux séries convergent
$$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr),$$
-
Si une des deux séries diverge
$$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr),$$
$$ \sum a_n \text{ converge et } \sum b_n \text{ diverge } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ diverge } $$
$$ \forall \bigl(c_n, d_n\bigr), \ l \in \mathbb{R}^*_+, $$
$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{\(\sum c_n\) et \(\sum d_n\) sont de même nature} $$
De plus, si \((l = 1)\) les deux suites sont équivalentes, alors :
$$ c_n \sim d_n \Longrightarrow \text{\(\sum c_n\) et \(\sum d_n\) sont de même nature} $$
Démonstrations
Soient \( \bigl(a_n, b_n\bigr) \) deux suites numériques et \(\lambda \in \mathbb{R}\) un réel.
Si \(\sum a_n\) converge, c'est-à-dire que la série tend vers une certaines limite \(l\) :
$$ \exists! \ l, \in \mathbb{R}, \ \lim_{n \to + \infty} \sum a_n = l $$
Alors, en multipliant les deux côtés par \(\lambda\), on a :
$$ \lambda \lim_{n \to + \infty} \sum a_n = \lambda \ l $$
Or, la limite d'un produit est le produit des limites :
$$ \forall f, \ \forall \lambda \in \mathbb{R},$$
$$ lim (\lambda f) = \lambda \ lim (f)$$
Alors,
$$ \lambda \lim_{n \to + \infty} \sum a_n = \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \lambda \sum a_n \biggr] = \lambda \ l $$
Et on peut mettre \(\lambda\) à l'intérieur de la somme,
$$ \lambda \lim_{n \to + \infty} \sum a_n = \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum (\lambda \ a_n) \biggr] = \lambda \ l $$
Par conséquent, on obtient que \(\sum (\lambda \ a_n)\) converge vers \(\lambda \ l\).
Soit finalement,
$$ \forall a_n, \enspace \forall \lambda \in \hspace{0.05em} \mathbb{R},$$
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Si les deux séries convergent
De la même manière que précédemment, si \(\sum a_n\) et \(\sum b_n\) convergent, alors :
$$
\exists! \ (l, l') \in \hspace{0.05em} \mathbb{R}^2, \ \left \{ \begin{gather*}
\lim_{n \to + \infty} \sum a_n = l \\ \\
\lim_{n \to + \infty} \sum b_n = l'
\end{gather*} \right \}
$$
Alors en sommant les deux expressions, on a :
$$ \lim_{n \to + \infty} \sum a_n + \lim_{n \to + \infty} \sum b_n = l + l' $$
La limite d'une somme étant la somme des limites :
$$ \forall (f, g),$$
$$ lim (f+g) = lim (f) + lim (g) $$
Alors on a maintenant :
$$ \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum a_n + \sum b_n \biggr] = l + l' $$
$$ \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum (a_n + b_n) \biggr] = l + l' $$
Par conséquent, on obtient que \(\sum (a_k + b_k) \) converge vers \((l + l')\).
Soit finalement,
$$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr),$$
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Si une des deux séries diverge
Si une des deux séries diverge, alors :
$$
\exists! \ l \in \mathbb{R}, \ \left \{ \begin{gather*}
\lim_{n \to + \infty} \sum a_n = l \\ \\
\lim_{n \to + \infty} \sum b_n = + \infty
\end{gather*} \right \}
$$
Alors en sommant les deux expressions, on a :
$$ \lim_{n \to + \infty} \sum a_n + \lim_{n \to + \infty} \sum b_n = l + \bigl[ + \infty \bigr] $$
De même que plus haut, on peut arranger comme ceci :
$$ \lim_{n \to + \infty} \biggl[ \sum a_n + \sum b_n \biggr] = \underbrace{l + \bigl[ + \infty \bigr]} _{\bigl[ + \infty \bigr]} $$
$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \sum (a_n + b_n) \right] = + \infty $$
Alors,
$$ \forall \bigl(a_n, b_n\bigr),$$
$$ \sum a_n \text{ converge et } \sum b_n \text{ diverge } \Longrightarrow \sum (a_n + b_n) \text{ diverge } $$
Soit \((c_n, d_n)\) deux suites à termes de signe constant et un réel \(l \in \mathbb{R}^*_+ \) tel que :
$$ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 $$
Puisque les deux sont suites sont à termes constants, alors \((l > 0)\). De même, il est possible de trouver deux réels \((l_1, l_2)\) tels que :
$$ l_1 < \frac{c_n}{d_n} < l_2 $$
En multipliant les tous les termes par \(d_n\), on a :
$$ l_1 \ d_n < c_n < l_2 \ d_n $$
$$ \sum (l_1 \ d_n) < \sum c_n < \sum (l_2 \ d_n) $$
Or, on a vu plus haut une propriété qui nous dit que pour une série associée à une suite \((a_n)_{n \in \mathbb{N}}\) :
$$ \sum a_n \text{ converge } \Longrightarrow \sum (\lambda \ a_n) \text{ converge } $$
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si \(\sum d_n\) converge
Si \(\sum d_n\) converge, alors il en est de même pour \(\sum (l_2 \ d_n)\).
Par suite, la série \(\sum c_n\) étant inférieure à une série convergente, elle converge aussi.
$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{\(\sum d_n\) converge \(\Longrightarrow \sum c_n\) converge} $$
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si \(\sum d_n\) diverge
De même, si \(\sum d_n\) diverge, alors il en est de même pour \(\sum (l_1 \ d_n)\).
De la même manière, la série \(\sum c_n\) étant supérieure à une série divergente, elle diverge aussi.
$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{\(\sum d_n\) diverge \(\Longrightarrow \sum c_n\) diverge} $$
Soit finalement,
$$ \forall \bigl(c_n, d_n\bigr), \ l \in \mathbb{R}^*_+, $$
$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = l > 0 \Longrightarrow \text{\(\sum c_n\) et \(\sum d_n\) sont de même nature} $$
De plus, si \((l = 1)\) les deux suites sont équivalentes :
$$ \lim_{n \to + \infty} \left[ \frac{c_n}{d_n} \right] = 1 \Longleftrightarrow c_n \sim d_n $$
On aura en bonus la relation :
$$ c_n \sim d_n \Longrightarrow \text{\(\sum c_n\) et \(\sum d_n\) sont de même nature} $$
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