Les formules de Taylor-Young et Taylor-Laplace

Démonstration

Formule de Taylor-Young

1. Formation de la formule par intégration successives

   En démarrant avec l'équation du théorème fondamental de l'analyse :

   $$ f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)dt $$

   Soit,

   $$ f(x) = f(a) - \int_a^x -f'(t)dt $$

   En faisant une intégration par parties avec un choix judicieux pour \( u \) et \( v' \), on a :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} u(t) = f'(t) \\ v'(t) = -dt \end{gather*} $$

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} u'(t) = f^{(2)}(t)dt \\ v(t) = x-t \end{gather*} $$
   $$ f(x) = f(a) - \Biggl( \Bigl[f'(t)(x-t)\Bigr]_a^x - \int_a^x f^{(2)}(t)(x-t) \hspace{0.2em} dt \Biggr) $$
   $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \int_a^x f^{(2)}(t)(x-t)dt $$

   Puis on recommence avec :

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} u(t) = f^{(2)}(t) \\ v'(t) = (x-t)dt \end{gather*} $$

   $$ \Biggl \{ \begin{gather*} u'(t) = f^{(3)}(t)dt \\ v(t) = -\frac{(x-t)^2}{2} \end{gather*} $$
   $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \Biggl[ -\frac{f^{(2)}(t)}{2} (x-t)^2 \Biggr]_a^x + \int_a^x \frac{f^{(3)}(t)}{2}(x-t)^2 dt $$
   $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \int_a^x \frac{f^{(3)}(t)}{2}(x-t)^2 dt$$

   Et ainsi de suite...

   $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \Biggl[ \frac{f^{(3)}(t)}{6} (x-t)^3 \Biggr]_a^x - \int_a^x \frac{f^{(4)}(t)}{6}(x-t)^3 dt $$
   $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{6} (x-a)^3 + \int_a^x \frac{f^{(4)}(t)}{6}(x-t)^3 dt \qquad (2) $$

2. Du reste intégral à la notation de Landau

   Pour aboutir à la forme finale de Taylor-Young, il s'agit d'étudier le comportement asymptotique de ce reste intégral lorsque \(x\) tend vers \(a\). Notons ce reste \(R_3(x)\) :

   $$R_3(x) = \int_a^x \frac{f^{(4)}(t)}{6}(x-t)^3 \hspace{0.1em} dt $$

   L'objectif est de démontrer que ce reste est négligeable devant \((x-a)^3\) au voisinage de \(a\), ce qui se traduit avec la notation de Landau par \(o\bigl((x - a)^3\bigr)\). Par définition, nous devons donc vérifier que :

   $$\lim_{x \to a} \frac{R_3(x)}{(x-a)^3} = 0$$

3. Évaluation de l'intégrale

   La fonction \(f^{(4)}\) étant continue sur l'intervalle \(\bigl[a; x \bigr]\), elle y est bornée.

   Appelons \(M_x\) le maximum de sa valeur absolue sur cet intervalle : \(M_x = \max |f^{(4)}(t)|\).

   En utilisant l'inégalité triangulaire pour les intégrales , nous pouvons majorer notre reste :

   $$\Bigl| R_3(x) \Bigr| = \left| \int_a^x \frac{f^{(4)}(t)}{6}(x-t)^3 \hspace{0.1em} dt \right| \leqslant \frac{M_x}{6} \left| \int_a^x (x-t)^3 \hspace{0.1em} dt \right|$$

   Nous pouvons calculer explicitement l'intégrale de droite par rapport à la variable muette \(t\) :

   $$\int_a^x (x-t)^3 \hspace{0.1em} dt = \left[ -\frac{(x-t)^4}{4} \right]_a^x = 0 - \left(-\frac{(x-a)^4}{4}\right) = \frac{(x-a)^4}{4}$$

   En injectant ce résultat dans notre inégalité, nous obtenons l'encadrement de l'erreur :

   $$\Bigl| R_3(x) \Bigr| \leqslant \frac{M_x}{24}(x-a)^4$$

4. Le passage à la limite

   Divisons à présent cette expression par \((x-a)^3\) pour analyser le ratio de convergence :

   $$\left| \frac{R_3(x)}{(x-a)^3} \right| \leqslant \frac{M_x}{24} \cdot \frac{(x-a)^4}{(x-a)^3} = \frac{M_x}{24}(x-a)$$

   Lorsque \(x \to a\), le terme \((x-a)\) tend de toute évidence vers \(0\), tandis que la borne \(M_x\) converge vers la valeur finie \(|f^{(4)}(a)|\) par continuité.

   Par le théorème des gendarmes , nous en déduisons immédiatement :

   $$\lim_{x \to a} \frac{R_3(x)}{(x-a)^3} = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad R_3(x) \underset{x \to a}{=} o\bigl((x-a)^3\bigr)$$

   Le reste intégral se résorbe localement en un petit \(o\), ce qui nous donne la formule finale de Taylor-Young à l'ordre \(3\) :

   $$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2} (x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{6} (x-a)^3 + o\bigl((x-a)^3\bigr)$$

5. Généralisation à l'ordre \(n\)

   Par une logique strictement identique, en réitérant cette intégration par parties non pas \(3\) fois, mais \(n\) fois, on démontre par récurrence le cas général :

   $$ \forall n \in \mathbb{N}, \enspace \forall f \in \hspace{0.04em} \mathcal{C}^n[D_f, \mathbb{R}], \enspace \forall (x, a) \in D_f^2, $$
   $$ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + o\bigl((x - a)^n\bigr) \qquad \bigl(\text{Formule de Taylor-Young}\bigr) $$

   Où la notation \( o\bigl((x - a)^n\bigr) \) représente le reste de Landau (un petit "o"), signifiant que le reste est négligeable devant \( (x - a)^n \) quand \( x \to a \) :

   $$ \lim_{x \to a} \frac{R_{n,a}(x)}{(x - a)^n} = 0 $$
   
   

   Par ailleurs, en posant \( (x = a + h) \), on a la formule sous cette nouvelle forme :

   $$ f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}h^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n + o\bigl(h^n\bigr) \qquad \bigl(\text{Formule de Taylor-Young}\bigr)^* $$

Formule de Taylor-Laplace

Si l'on récupère la formule \((2)\) précédente :

En continuant à intégrer successivement par la même méthode, la formule générale vient naturellement :

Soit,

Exemples

1. La fonction sinus \( : f(x) = \sin(x) \)

1. Développement limité d'ordre 3 en zéro \( : DL_3(0) \)

Nous allons utiliser la méthode montrée précédemment afin de calculer un \( DL_3(0) \) de la fonction \( \sin(x) \).

On vérifie d'abord que la fonction \( \sin(x) \) est bien trois fois dérivable. Ces dérivées successives étant bien connues, nous savons alors que c'est bien le cas.

Ensuite, on calcule ses dérivées successives jusqu'à l'ordre \(3 \), et on récupère les images pour \( a = 0 \).

$$f(x) = \sin(x) \Longrightarrow \sin(0) = 0 $$
$$f'(x) = \cos(x) \Longrightarrow \cos(0) = 1$$
$$f^{(2)}(x) = -\sin(x) \Longrightarrow -\sin(0) = 0$$
$$f^{(3)}(x) = -\cos(x) \Longrightarrow -\cos(0) = -1 $$

Ensuite, on applique la formule de Taylor-Young des développements limités.

$$ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x - a)^2 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_{n, a}(x) $$

Dans notre cas, ce sera :

$$ \sin(x) \underset{0}{=} \sin(0) + \cos(0)(x - 0) + \frac{-\sin(0)}{2!}(x - 0)^2 + \frac{-\cos(0)}{3!}(x - 0)^3 + R_{3, 0}(x) $$
$$ \sin(x) \underset{0}{=} x -\frac{1}{6}x^3 +R_{3, 0}(x) $$

2. Encadrement avec reste intégral

$$ \sin(x) \underset{0}{=} x -\frac{1}{6}x^3 +R_{3, 0}(x) $$

Nous avons vu plus haut que ce reste vaut :

$$ R_{3, 0}(x) = \int_0^x \frac{\sin^{(4)}(t)}{3!}(x-t)^3 \hspace{0.2em} dt $$

Or, \(\sin^{(4)}(t) = \sin(t)\). Soit une nouvelle expression pour \( R_{3, 0}(x)\) :

$$ R_{3, 0}(x) = \int_0^x \frac{\sin(t)}{6}(x-t)^3 \hspace{0.2em} dt $$

Nous allons encadrer ce reste dans l'intervalle \( [-\pi, \pi]\).

$$ -\pi \leqslant t \leqslant \pi$$
$$ -1 \leqslant \sin(t) \leqslant 1$$
$$ -\frac{(x-t)^3}{6} \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{\sin(t)}{6}(x-t)^3 \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{(x-t)^3}{6} $$

Par la propriété de croissance de l'intégrale , on a :

$$ -\int_0^x \frac{(x-t)^3}{6} \hspace{0.1em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \int_0^x \frac{\sin(t)}{6}(x-t)^3 \hspace{0.1em}dt \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \int_0^x \frac{(x-t)^3}{6} \hspace{0.1em}dt$$
$$ -\Biggl[ -\frac{(x-t)^4}{24} \Biggr]_0^x \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} R_{3, 0}(x) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \Biggl[ -\frac{(x-t)^4}{24} \Biggr]_0^x $$
$$ -\frac{x^4}{24} \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} R_{3, 0}(x) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \frac{x^4}{24} $$

Or, on sait grâce à \((1)\) que :

$$ \sin(x) \underset{0}{=} \enspace T_{3,0}(x) + R_{3,0}(x) $$

Ce qui nous amène à un encadrement pour \( \sin_{3, 0}(x)\) :

$$ T_{3, 0}(x) -\frac{x^4}{24} \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} T_{3, 0}(x) + R_{3, 0}(x) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} T_{3, 0}(x) + \frac{x^4}{24} $$
$$ x -\frac{1}{6}x^3 -\frac{x^4}{24} \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \sin_{3, 0}(x) \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} x -\frac{1}{6}x^3 + \frac{x^4}{24} $$

3. Développement limité d'ordre n en zéro \( : DL_n(0) \)

En effectuant un développement limité d'ordre \(n\) en \((x=0)\) pour la fonction \(\sin(x)\), on obtiendra :

$$ \sin(x) = x -\frac{x^3 }{3!}+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + R_{n, 0}(x) $$

De plus, le reste de ce \(DL_n(0)\) s'écrit sous forme de reste de Laplace :

$$ R_{n, 0}(x) = \int_0^x \frac{\sin^{(2n+2)}(t)}{(2n+1)!}(x-t)^{2n+1} \hspace{0.2em} dt $$
$$ R_{n, 0}(x) = \int_0^x \frac{(-1)^{n+1}\sin(t)}{(2n+1)!}(x-t)^{2n+1} \hspace{0.2em} dt $$

Avec l'inégalité de Taylor-Lagrange , on peut encadrer ce reste.

L'inégalité de Taylor-Lagrange nout dit que :

Soit \( f \) une fonction de classe \( \mathcal{C}^{n+1} \) sur un intervalle \( I \) de \( \mathbb{R} \) (avec \( n \in \mathbb{N} \)).
On désigne par \( M_{n+1} \) un majorant de la valeur absolue de la dérivée \( (n+1) \)-ième de \( f \) sur cet intervalle :

$$ \forall t \in I, \quad \left| f^{(n+1)}(t) \right| \leqslant M_{n+1} $$

Alors, pour tout couple de réels \( (a, x) \in I^2 \), le reste de Taylor-Laplace \( R_{n,a}(x) \) vérifie l'inégalité suivante :

$$ \Bigl| R_{n,a}(x) \Bigr| \leqslant M_{n+1} \frac{|x - a|^{n+1}}{(n+1)!} $$

En appliquant l'inégalité triangulaire pour les intégrales sur notre expression précédente :

$$ \Bigl|R_{n, 0}(x) \Bigr| = \Bigl| \int_0^x \frac{(-1)^{n+1}\sin(t)}{(2n+1)!}(x-t)^{2n+1} \hspace{0.1em} dt \Bigr| \leqslant \int_0^x \frac{\bigl|(-1)^{n+1}\sin(t)\bigr|}{(2n+1)!}\bigl|(x-t)^{2n+1}\bigr| \hspace{0.1em} dt $$

Or, pour tout réel \( t \), on sait que \( \bigl|\sin(t)\bigr| \leqslant 1 \). On peut donc poser une borne supérieure majeure \( M = 1 \) et la sortir de l'intégrale :

$$ \Bigl|R_{n, 0}(x) \Bigr| \leqslant \frac{1}{(2n+1)!} \int_0^x (x-t)^{2n+1} \hspace{0.1em} dt $$

L'intégration du membre de droite donne directement :

$$ \int_0^x (x-t)^{2n+1} \hspace{0.1em} dt = \Biggl[ -\frac{(x-t)^{2n+2}}{2n+2} \Biggr]_0^x = 0 - \left( -\frac{x^{2n+2}}{2n+2} \right) = \frac{x^{2n+2}}{2n+2} $$

En combinant ces résultats, on retrouve bien l'inégalité de Taylor-Lagrange classique :

$$ \Bigl|R_{n, 0}(x) \Bigr| \leqslant \frac{1}{(2n+1)!} \cdot \frac{x^{2n+2}}{2n+2} \ \Longrightarrow \ \Bigl|R_{n, 0}(x) \Bigr| \leqslant \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} $$

Par passage à la limite sur cette inégalité lorsque \( n \to +\infty\), on obtient :

$$ \lim_{n \to +\infty} \enspace \Bigl |R_{n, 0}(x) \Bigr| \hspace{0.2em} \leqslant \hspace{0.2em} \lim_{n \to +\infty} \enspace \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!} $$

Par croissances comparées des limites , la factorielle l'emporte sur la puissance de x :

$$ \lim_{n \to +\infty} \enspace \Bigl |R_{n, 0}(x) \Bigr| \hspace{0.2em} \leqslant 0 $$

Enfin, avec le théorème des gendarmes :

$$ \lim_{n \to +\infty} \enspace R_{n, 0}(x) = 0 $$

Soit finalement un \(DL_n(0) \) global de la fonction \(\sin(x) \) :

$$ \sin(x) = x -\frac{x^3 }{3!}+ \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + R_{n, 0}(x) \qquad (\text{avec} \enspace \lim_{n \to +\infty} \enspace R_{n, 0}(x) = 0) $$