Le théorème des accroissements finis

Soit une fonction $f(x)$ continue sur un intervalle $\bigl[a,b \bigr]$, et dérivable sur $]a,b[$.

$$ f \text{ est continue sur } \bigl[a,b \bigr] \text{ et dérivable sur } ]a,b[ \ \Longrightarrow \ \exists c \in \hspace{0.05em} ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} \qquad \bigl(\text{Théorème des accroissements finis} \bigr) $$

Démonstration

Soit une fonction $f(x)$ continue sur un intervalle $\bigl[a,b \bigr]$, et dérivable sur $]a,b[$

Soient de même un réel $ c \in \bigl[a,b \bigr] $, la tangente $T_c(x)$ de la courbe de $f$ au point $c$, ainsi qu'une fonction affine $g(x)$ joignant les points $A$ et $B$.

Les points $A, B, C$ sont les points de la courbe de $f$ correspondants aux abscisses $a, b, c$.

Considérons une fonction $\Phi$ définie de même sur $\bigl[a,b \bigr]$ telle que :

Étant donné que la pente entre $a$ et un point dans $x \in \bigl[a, b\bigr]$ vaut :

$$ \forall x \in \bigl[a,b \bigr], \ \frac{g(x) - g(a)}{x-a} = \frac{ g(b) - g(a)}{b-a} $$

$$\Phi(x) = f(x) - f(a) - \frac{ f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) \qquad (\Phi^*) $$

Les fonctions $ f, g $ étant dérivables sur $ ]a, b[ $, elle sont dérivables sur ce même intervalle, il en sera de même pour $\Phi$.

Le théorème de Rolle nous dit que :

Pour une fonction $ f $ continue $ [a, b] $, et dérivable sur $]a, b[$ :

$$ f(a) = f(b) \Longrightarrow \ \exists c \in \hspace{0.05em} ]a, b[, \ f'(c) = 0 $$

$$ \Phi(a) = \Phi(b) \ \Longrightarrow \ \exists c \in \hspace{0.05em} ]a, b[, \ \Phi'(c) = 0 \qquad(1) $$

Et, en appliquant la dérivée à l'expression $(\Phi^*)$ on obtient $\Phi'$ :

$$ \Phi'(x) = f'(x) - \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} \qquad(\Phi ') $$

$$ \Phi'(c) = 0 \Longrightarrow f'(c) - \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} = 0 $$

$$\exists c \in \hspace{0.05em} ]a, b[, \ f'(c) = \frac{ f(b) - f(a)}{b-a} $$