Le théorème de Gauss et son corollaire

Démonstration

Théorème de Gauss

Soit \((a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3\) trois entiers relatifs.

Prenons pour hypothèse que \( a / bc \) et que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.

Si : \(\Biggl \{ \begin{gather*} a / bc \\ a \wedge b = 1 \end{gather*}\)

Alors,

$$ \exists (k, u, v) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3, \Biggl \{ \begin{gather*} bc = ka \qquad (1) \\ au + bv = 1 \qquad (2) \end{gather*} $$

Avec \( (2) \), on a :

Or, grâce à \( (1) \), on sait que \( bc = ka \), soit :

On a alors \( a / c \).

Soit finalement,

Corollaire du théorème de Gauss

Soit \((a, b, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{Z}^3\) trois entiers relatifs.

Prenons pour hypothèse que \( a / c \), \( b / c \) et que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.

Si : \( \Biggl \{ \begin{gather*} a / c \\ b / c \end{gather*}\)

Alors,

$$ \exists (k, k') \in \hspace{0.04em}\mathbb{Z}^2, \Biggl \{ \begin{gather*} c = ka \qquad (1) \\ c = k'b \qquad (2) \end{gather*} $$

Alors, de \( (1) \) et \( (2) \) on tire que :

On alors \( b/ak \), mais \( a \wedge b = 1 \).

D'où l'on peut en conclure que \( b/k \), soit que :

Mais \( c = ka \), soit,

On s'aperçoit finalement que \( ab / c \).

Soit finalement,