Actuelle

Autre

Index

Imprimer

Les propriétés des sommes

Soient \( \bigl(a_n, b_n\bigr) \) deux suites numériques.

Soit un entier naturel \( n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \).

1. Somme simple

1. Inversion du sens

$$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
$$ \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{i = 0}^n a_{n - i} $$

2. Décalage vers le zéro

$$ \forall (p, n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace p \leqslant n, $$
$$ \sum_{k = p}^n a_k = \sum_{i = 0}^{n - p} a_{p + i} $$

2. Somme double

1. Somme indépendante des indices

Dans le cas d'une somme double indéxée par un rectangle \( [\![1,m]\!] \times [\![1,n]\!] \) :

$$ \forall (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2,$$
$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^m a_{i, j} $$

2. Somme dépendante des indices

Dans le cas d'une somme double triangulaire :

$$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{i, j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^j a_{i, j} $$

Lorsqu'on soustrait deux termes consécutifs à l'intérieur d'une somme, on peut effectuer un téléscopage de termes :

Démonstrations

Soient \( \bigl(a_n, b_n\bigr) \) deux suites numériques.

Linéarité

Soient deux réels \( (\lambda , \mu) \in \hspace{0.04em} \mathbb{R}^2 \). On démarre de la somme suivante :

On peut séparer cette somme en deux éléments :

En développant les sommes, on peut mettre les coefficients en facteur :

Soit finalement,

Changement d'indice

1. Somme simple

Soit un entier naturel \( n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \).

1. Inversion du sens

On démarre de la somme suivante :

$$ \sum_{k = 0}^n a_k = a_0 + a_1 \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{n - 1} + a_n $$

Puis on inverse le sens :

$$ \sum_{k = 0}^n a_k = a_n + a_{n - 1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_1 + a_0 $$

Et finalement,

$$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
$$ \sum_{k = 0}^n a_k = \sum_{i = 0}^n a_{n - i} $$

2. Décalage vers le zéro

Soit un entier naturel \( p \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \) avec \((p \leqslant n)\).

On démarre de la somme suivante :

$$ \sum_{k = p}^n a_k = a_p + a_{p + 1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{n - 1} + a_n $$

En arrangeant les indices, on a :

$$ \sum_{k = p}^n a_k = a_{p + 0} + a_{p + 1} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{p + (n - p - 1)} + a_{p + (n - p)} $$

Et finalement,

$$ \forall (p, n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace p \leqslant n, $$
$$ \sum_{k = p}^n a_k = \sum_{i = 0}^{n - p} a_{p + i} $$

2. Somme double

Soit deux entiers naturels \( (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 \).

1. Somme indépendante des indices

On démarre de la somme double, indéxée par le rectangle \( [\![1,m]\!] \times [\![1,n]\!] \) :

$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} $$
$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{i = 1}^m \left( a_{i, 1} + a_{i, 2} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{i, n} \right) $$
$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{i = 1}^m a_{i, 1} + \sum_{i = 1}^m a_{i, 2} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \sum_{i = 1}^m a_{i, m} $$

On remarque que c'est la même somme somme en inversant les indices.

Alors, les sommes doubles où chacune des sommes ne dépendent pas des indices, on peut inverser les symboles sommes :

$$ \forall (m,n) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2,$$
$$ \sum_{i = 1}^m \sum_{j = 1}^n a_{i,j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^m a_{i, j} $$

De manière visuelle, on peu voir que faire la sommes des lignes ou la somme des colonnes reviendra au même.

Indice \(i\) Indice \(j\)	$$ 1 $$	$$ 2 $$	$$ 3 $$	$$ ... $$	$$ n $$
$$ 1 $$	$$ a_{1,1} $$	$$ a_{1,2} $$	$$ a_{1,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{1,n} $$
$$ 2 $$	$$ a_{2,1} $$	$$ a_{2,2} $$	$$ a_{2,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{2,n} $$
$$ 3 $$	$$ a_{3,1} $$	$$ a_{3,2} $$	$$ a_{3,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{3,n} $$
$$ ... $$	$$ ... $$	$$ ... $$	$$ ... $$	$$ ... $$	$$ ... $$
$$ m $$	$$ a_{m,1} $$	$$ a_{m,2} $$	$$ a_{m,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{m,n} $$

2. Somme dépendant des indices

On démarre de la somme double triangulaire suivante :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] $$

C'est la somme double où l'on a toujours \( (i \leqslant j) \).

1. Vision lignes

En adoptant une vision ligne, on a :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \textcolor{#606B9E}{a_{1,1} + a_{1,2} + a_{1,3} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{1,n}} + \textcolor{#4A8051}{a_{2,2} + a_{2,3} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{2,n}} + \textcolor{#AF5F5F}{a_{3,3} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{3,n}} + \textcolor{#7C578A}{a_{n,n}} $$

Indice \(i\) Indice \(j\)	$$ 1 $$	$$ 2 $$	$$ 3 $$	$$ ... $$	$$ n $$
$$ 1 $$	$$ a_{1,1} $$	$$ a_{1,2} $$	$$ a_{1,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{1,n} $$
$$ 2 $$	$$ $$	$$ a_{2,2} $$	$$ a_{2,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{2,n} $$
$$ 3 $$	$$ $$	$$ $$	$$ a_{3,3} $$	$$ ... $$	$$ a_{3,n} $$
$$ ... $$	$$ $$	$$ $$	$$ $$	$$ ... $$	$$ ... $$
$$ n $$	$$ $$	$$ $$	$$ $$	$$ $$	$$ a_{n,n} $$

Tous ces éléments sont la somme bouclée sur l'indice \(i\), dans laquelle chaque terme-somme démarre à \((j = i)\) :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \textcolor{#606B9E}{\sum_{j = 1}^n a_{1,j}} + \textcolor{#4A8051}{\sum_{j = 2}^n a_{2,j}} + \textcolor{#AF5F5F}{\sum_{j = 3}^n a_{3,j}} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \textcolor{#7C578A}{\sum_{j = n}^n a_{n,j}} $$

Soit finalement,

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{i, j} $$

2. Vision colonnes

En adoptant une vision colonne, on obtient la somme sous cette forme :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \textcolor{#606B9E}{a_{1,1}} + \textcolor{#4A8051}{a_{1,2} + a_{2,2}} + \textcolor{#AF5F5F}{a_{1,3} + a_{2,3} + a_{3,3}} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \textcolor{#7C578A}{a_{1,n} + a_{2,n} + a_{3,n} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} a_{n,n}} $$

Tous ces éléments sont la somme bouclée sur l'indice \(j\), dans laquelle chaque terme-somme va au maximum à \((i = j)\) :

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \textcolor{#606B9E}{\sum_{i = 1}^1 a_{i,1}} + \textcolor{#4A8051}{\sum_{i = 1}^2 a_{i,2}} + \textcolor{#AF5F5F}{\sum_{i = 1}^3 a_{i,3}} \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} ... \hspace{0.2em} + \hspace{0.2em} \textcolor{#7C578A}{\sum_{i = 1}^n a_{i,n}} $$

Soit finalement,

$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^j a_{i, j} $$

Alors, les sommes doubles où chacune des sommes dépendent des indices, on peut opérer le changement de variable suivant :

$$ \forall n \in \hspace{0.04em} \mathbb{N},$$
$$ \sum_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n}^n \Bigl[ a_{i,j} \Bigr] = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = i}^n a_{i, j} = \sum_{j = 1}^n \sum_{i = 1}^j a_{i, j} $$

Le téléscopage de termes d'une série numérique récurrente

On souhaite calculer la série \( \sum \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] \) de \( k = 0 \) jusque \( n \).

On aura,

En arrageant l'expression, les termes vont s'annihiler un à un.

Il ne restera plus que le le dernier moins le premier de la série. Soit finalement,

Exemple

1. Téléscopage de termes

Calculons la somme partielle la série suivante :

$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$

Pour effectuer ce calcul, il faut d'abord effectuer une décomposition en éléments simples de cette fraction.

1. Décomposition en éléments simples

Posons la fonction \(F(X) \) :

$$F(X) = \frac{1}{X(X+1)} \qquad (F(X))$$

Nous allons chercher les réels \( a \) et \(b\) tels que :

$$F(X) = \frac{a}{X} + \frac{b}{X+1}$$

En mettant au même dénominateur, on a :

$$F(X) = \frac{a(X+1) + b X}{X(X+1)} \qquad (\tilde{F}(X)) $$

L'idée est d'utiliser les deux formes \( (F(X)) \) et \( (\tilde{F}(X)) \) pour obtenir une équivalence et déterminer \( a \) et \(b\), on a :

$$F(X) X = \frac{1}{(X+1)} \qquad (F(X))$$
$$F(X) X = \frac{a(X+1) + b X}{(X+1)} \qquad (\tilde{F}(X)) $$

Alors,

$$ F(X) X = \frac{1}{(X+1)}= \frac{a(X+1) + b X}{(X+1)} $$
$$ F(X) X = \frac{1}{(X+1)}= a + \frac{ b X}{(X+1)} $$

En faisant \( (X = 0)\), on détermine \( a \) :

$$ \underset{(X=0)}{F(X)} X = \frac{1}{(X+1)}= a \Longrightarrow (a = 1) $$

On peut faire maintenant la même chose pour déterminer \(b\), en faisant \( (X = -1)\) il restera \( b \) :

$$ \underset{(X=-1)}{F(X)} (X+1) = \frac{1}{X}= b \Longrightarrow (b = - 1) $$

On alors notre couple de solutions :

$$ \Biggl \{ \begin{gather*} a = 1 \\ b = -1 \end{gather*} $$

Alors, \(F(X) \) peut s'écrire :

$$F(X) = \frac{1}{X} - \frac{1}{X+1}$$

2. Calcul de la somme partielle de la série par téléscopage

Grâce à la décomposition en éléments simples :

$$F(X) = \frac{1}{X(X+1)} =\frac{1}{X} - \frac{1}{X+1}$$

Notre série :

$$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}$$

devient,

$$S_n = \sum_{k=0}^n \Biggl[ \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \Biggr]$$

On retire le signe \((-)\) pour avoir une suite de type \( \bigl [a_{k+1} - a_k \bigr] \).

$$S_n = -\sum_{k=1}^n \Biggl[ \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k} \Biggr]$$

On pose :

$$ a_k = \frac{1}{k} $$

Pour avoir :

$$\sum_{k=1}^n \Biggl[ \frac{1}{k+1} -\frac{1}{k} \Biggr] = \sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr]$$

Ensuite on applique :

$$\sum_{k=0}^n \Bigl [a_{k+1} - a_k \Bigr] = a_{n+1} - a_{0} $$

On peut maintenant effectuer le télescopage.

$$S_n = -\Biggl[ \frac{1}{n+1} -\frac{1}{1} \Biggr]$$
$$S_n = 1 -\frac{1}{n+1} $$

Retour en haut de page