Les propriétés des fractions
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, $$
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$
Multiplier des fractions entre elles revient à multiplier tous les numérateurs (resp. tous les dénominateurs) entre eux.
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}, \enspace (b, c, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^3, $$
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, $$
$$ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} $$
Additionner (resp. soustraire) des fractions entre elles nécessitent de le mettre sous un dénominateur commun.
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a + b} = \frac{d}{c + d} $$
Les mêmes relations sont possibles en remplaçant tous les \( (+) \) par des \( (-) \).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $$
$$ \forall F \in \mathbb{Q}, \enspace \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ F = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longrightarrow F = \frac{a+c}{b+d}$$
La même relation est possible en remplaçant le \( (+) \) par un \( (-) \).
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a-c}{b-d}$$
-
Généralisation
De manière générale, avec une série de \(n \) numérateurs et de \(m \) dénominateurs :
$$ \forall F \in \mathbb{Q}, \enspace \forall (a, c, e ...) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^n, \enspace (b, d, f...) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^m, \enspace \ \Bigl \{ (b \textcolor{#606B9E}{\pm} d \textcolor{#4A8051}{\pm} f \textcolor{#AF5F5F}{\pm} ...) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ F = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ ... \ \Longrightarrow F = \frac{a \textcolor{#606B9E}{\pm} c \textcolor{#4A8051}{\pm} e \textcolor{#AF5F5F}{\pm} \ ...}{b \textcolor{#606B9E}{\pm} d \textcolor{#4A8051}{\pm} f \textcolor{#AF5F5F}{\pm} \ ...}$$
$$ (\text{avec les signes de même couleurs étant les mêmes}) $$
Démonstrations
Soit \((a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 \) deux nombres réels et \((b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2 \) deux nombres réels non nuls.
Lorsque qu'on fait le produit de deux fractions tel que :
$$ P = \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} $$
Cela revient à faire la suite d'opérations :
$$ P = a \div b \times c \div d $$
Soit,
$$ P = a \times c \div b \div d $$
Étant donné qu'on divise le produit \(a \times c\) par \(b\) puis par \(d\), cela revient à la diviser par le produit \(bd\).
Par conséquent,
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, $$
$$ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} $$
Multiplier des fractions entre elles revient à multiplier tous les numérateurs (resp. tous les dénominateurs) entre eux.
Soit \(a \in \hspace{0.04em} \mathbb{N} \) un nombre réel et \((b, c, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2 \) trois nombres réels non nuls.
Lorsque qu'on fait la division de deux fractions tel que :
$$ D = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} $$
On peut alors réécrire cette division sous la forme d'une grande fraction :
$$ D = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} $$
À ce stade, on peut multiplier numérateur et dénominateur par la même quantité, qui va annuler le dénominateur.
$$ D = \frac{\frac{a}{b}\textcolor{#4A8051}{\times \frac{d}{c}}}{\frac{c}{d}\textcolor{#4A8051}{\times \frac{d}{c}}} $$
$$ D = \frac{\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}}{\frac{cd}{cd}} $$
Or, \(\frac{cd}{cd} = 1\), alors :
$$ \forall a \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}, \enspace (b, c, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^3, $$
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} $$
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Soit \((a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 \) deux nombres réels et \((b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2 \) deux nombres réels non nuls.
Lorsque qu'on fait la somme de deux fractions tel que :
$$ S = \frac{a}{b} + \frac{c}{d} $$
Les additionner directement n'aurait pas de sens. En revanche, en les mettant toutes deux sous un dénominateur commun :
$$ S = \frac{a}{b}\textcolor{#4A8051}{\times \frac{d}{d}} + \frac{c}{d}\textcolor{#4A8051}{\times \frac{b}{b}} $$
$$ S = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd} $$
On peut maintenant mettre en facteur \(\frac{1}{bd}\) :
$$ S = \frac{1}{bd} \left( ad + bc \right) $$
$$ S = \frac{ad + bc}{bd} $$
Idem pour une soustraction, la logique reste la même en tout point, alors :
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, $$
$$ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd} $$
Additionner (resp. soustraire) des fractions entre elles nécessitent de le mettre sous un dénominateur commun.
Soit \((a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2 \) deux nombres réels et \((b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2 \) deux nombres réels non nuls.
Et soit l'hypothèse \((H)\) suivante :
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
On démarre de l'hypothèse \((H)\).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
On multiplie les deux membres par le même nombre \( bd \) :
$$ \frac{abd}{b} = \frac{cbd}{d} $$
$$ ad = cb $$
Soit finalement,
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
On démarre de l'hypothèse \((H)\).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
Avec le résultat du produit en croix, on a :
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
On ajoute le terme \( ac \) de part et d'autre de l'équation :
$$ ad + ac = bc + ac $$
On factorise.
$$ a(d+c) = (a+b)c $$
$$ \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} \qquad(1) $$
Et de même, en appliquant les inverses de chaque membre de \((1)\) :
$$ \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \qquad(2) $$
À présent, les expressions \((1)\) et \((2)\) doivent supporter la condition d'existence supplémentaire suivante :
$$\Bigl \{ a, c, (a+b),(c+d) \Bigl \} \ \neq 0 $$
Soit finalement,
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a + b}{a} = \frac{c+d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a + b} = \frac{c}{c + d} $$
Par suite, en reproduisant le même processus en ajoutant respectivement le terme \( bd \), on obtient le résultat suivant :
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a+b),(c+d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d} \Longleftrightarrow \frac{b}{a + b} = \frac{d}{c + d} $$
Il est possible de trouver les mêmes expressions en remplaçant tous les \( (+) \) par des \( (-) \), non pas en ajoutant les termes mais en les retirant.
$$ \forall (a, b, c,d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^4, \ \Bigl \{ (a-b),(c-d) \Bigr \} \ \neq 0,$$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a - b}{a} = \frac{c-d}{c} \Longleftrightarrow \frac{a}{a - b} = \frac{c}{c - d} $$
On démarre de l'hypothèse \((H)\).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
Avec le résultat du produit en croix :
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
On ajoute le termes \( ac \) et \( (-bd) \) de part et d'autre de l'équation :
$$ ad + ac - bd = bc + ac -bd $$
Ensuite, comme par hypothèse \( ad = bc \), on peut ajouter \( (-bc) \) un d'un côté et ajouter \( (-ad) \) de l'autre.
$$ ad + ac - bd - bc = bc + ac -bd - ad $$
On factorise par \( a\) et par \( b\) :
$$ a(c+d) - b(c+d) = a(c-d) + b(c-d) $$
$$ (a-b)(c+d) = (a+b)(c-d) $$
$$ \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} \qquad(3) $$
Mais l'expression \((3)\) doit supporter la condition d'existence supplémentaire suivante :
$$\Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigl \} \ \neq 0 $$
De même générale, selon le facteur qui se retrouve au dénominateur, il va falloir lui ajouter la condition d'existence de ne pas s'annuler.
Soit finalement,
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2,, \Bigl \{ (a-b), (c-d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d} $$
On démarre de l'hypothèse \((H)\).
$$ \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \hspace{1em} \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \qquad (H) $$
Avec le résultat du produit en croix :
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longleftrightarrow ad = bc $$
On a ajoute \( cd \) à chaque membre de l'équation :
$$ ad + cd = bc + cd $$
$$ d(a + c) = c(b + d) $$
$$ \frac{a + c}{b + d} = \frac{c}{d} $$
Soit finalement :
$$ \forall F \in \mathbb{Q}, \enspace \forall (a, c) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^2, \enspace (b, d) \in \hspace{0.04em} \bigl[\mathbb{N}^* \bigr]^2, \enspace \ \Bigl \{ (b+d) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ F = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longrightarrow F = \frac{a+c}{b+d} $$
La même relation est possible en remplaçant le \( (+) \) par un \( (-) \), non pas en ajoutant le terme \( cd \) mais en le retirant.
$$ F = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Longrightarrow F = \frac{a-c}{b-d} $$
-
Généralisation
De manière générale, avec une série de \(n \) numérateurs et de \(m \) dénominateurs :
$$ \forall F \in \mathbb{Q}, \enspace \forall (a, c, e ...) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^n, \enspace (b, d, f...) \in \hspace{0.04em} \mathbb{N}^m, \enspace \ \Bigl \{ (b \textcolor{#606B9E}{\pm} d \textcolor{#4A8051}{\pm} f \textcolor{#AF5F5F}{\pm} ...) \Bigr \} \ \neq 0, $$
$$ F = \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \ ... \ \Longrightarrow F = \frac{a \textcolor{#606B9E}{\pm} c \textcolor{#4A8051}{\pm} e \textcolor{#AF5F5F}{\pm} \ ...}{b \textcolor{#606B9E}{\pm} d \textcolor{#4A8051}{\pm} f \textcolor{#AF5F5F}{\pm} \ ...}$$
$$ (\text{avec les signes de même couleurs étant les mêmes})$$
Retour en haut de page
